利用阿氏圆求几何最值应用举例一

中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。

这个定理叫阿波罗尼斯定理。

【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

②两点之间线段最短。

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。

②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。

③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。

所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。

总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。

【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。

（2）求13AP BP+的最小值为。

【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。

练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。

阿氏圆解决正余弦定理最值问题Trigonometry is a branch of mathematics that studies the relationships between the sides and angles of triangles. One of the most famous theorems in trigonometry is the sine, cosine, and tangent theorems, which are often used to solve various problems related to triangles. Among them, the cosine theorem is particularly useful for finding the maximum and minimum values of functions in the form of cosine.三角学是研究三角形的边和角之间关系的数学分支。

在三角学中最著名的定理之一就是正弦、余弦和正切定理，它们经常被用来解决与三角形相关的各种问题。

其中，余弦定理特别适用于解决余弦形式函数的最大值和最小值问题。

When dealing with optimization problems involving cosine functions, the first step is to set up the problem by defining the function to be optimized and the constraints that need to be satisfied. The next step is to find the critical points of the function by taking the derivative and setting it equal to zero. These critical points will giveus information about where the function reaches its maximum or minimum values.当处理涉及余弦函数的最优化问题时，第一步是通过定义要优化的函数和需要满足的约束条件来设置问题。

例谈阿波罗尼斯圆的应用吉㊀磊(兰州天庆实验中学ꎬ甘肃兰州７３００３０)摘㊀要:文章从阿波罗尼斯圆的定义入手ꎬ给出近年来中考相关试题的解法ꎬ为学生学习高中解析几何打下良好的基础.关键词:阿波罗尼斯圆ꎻ中考数学ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２３－００２０－０４收稿日期:２０２３－０５－１５作者简介:吉磊(１９８１.１－)ꎬ男ꎬ陕西省西安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀近年来ꎬ在各地中考中ꎬ对于重难点题型的考查多少都涉及到数形结合解决 极限值 的待定系数问题ꎬ在这里就不得不提到非常著名的 阿波罗尼斯圆 (简称 阿氏圆 )理论ꎬ这种方法可以帮助学生理解考查题型的设计初衷ꎬ从而整合所学相关知识的应用与拓展.１阿波罗尼斯圆的定义及定理定义㊀已知平面上两个定点Ａ㊁Ｂꎬ若一个动点Ｐ满足ＰＡＰＢ＝ｋ(ｋ>０且ｋʂ１)ꎬ其中ｋ为定值ꎬ则这个动点Ｐ的运动轨迹是一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现ꎬ这个点Ｐ所形成的圆就称为阿氏圆.也称之为圆的第二定义.当且仅当ｋ＝１时ꎬ点Ｐ的运动轨迹是线段ＡＢ的中垂线[１].定理㊀如图１ꎬＰ是平面上一动点ꎬＡ㊁Ｂ是两定点ꎬＰＡʒＰＢ＝ｋꎬＭ是ＡＢ的内分点ꎬＮ是ＡＢ的外分点且ＡＭʒＭＢ＝ＡＮʒＮＢ＝ｋꎬ则Ｐ点的轨迹是以ＭＮ为直径的圆.图１㊀点Ｐ轨迹图２ 阿氏圆 在初中阶段的应用２.１阅读材料型(显露阿氏圆)例１㊀(２０１９秋 山西期末)如图２ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ在ｘ轴ꎬｙ轴上分别有点Ｃ(ｍꎬ０)ꎬＤ(０ꎬｎ)ꎬ点Ｐ是平面内一动点ꎬ且ＯＰ＝ｒꎬ设ＯＰＯＤ＝ｋꎬ求ＰＣ＋ｋＰＤ的最小值.图２㊀例１题图阿氏圆的关键解题步骤:第一步:如图２ꎬ在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎻ第二步:证明ｋＰＤ＝ＰＭꎻ第三步:连接ＣＭꎬ此时ＣＭ即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分):解㊀在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ又ȵøＰＯＤ＝øＭＯＰꎬʑәＰＯＭʐәＤＯＰ.任务:(１)将以上解答过程补充完整.(２)如图２ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＡＣ＝４ꎬＢＣ＝３ꎬＤ为әＡＢＣ内一动点ꎬ满足ＣＤ＝２ꎬ利用(１)中的结论ꎬ请直接写出ＡＤ＋２３ＢＤ的最小值.考点:相似形综合题.专题:几何综合题ꎻ应用意识.分析㊀(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可.(２)利用(１)中结论计算即可.解㊀(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭʒＯＰ＝ＯＰʒＯＤ＝ｋꎬ又ȵøＰＯＤ＝øＭＯＰꎬʑәＰＯＭʐәＤＯＰ.ʑＭＰʒＰＤ＝ｋꎬʑＭＰ＝ｋＰＤꎬʑＰＣ＋ｋＰＤ＝ＰＣ＋ＭＰꎬ当ＰＣ＋ｋＰＤ取最小值时ꎬＰＣ＋ＭＰ有最小值ꎬ即ＣꎬＰꎬＭ三点共线时有最小值ꎬ利用勾股定理得ＣＭ＝ＯＣ２＋ＯＭ２＝ｍ２＋(ｋｒ)２＝ｍ２＋ｋ２ｒ２.(２)ȵＡＣ＝ｍ＝４ꎬＣＤＢＣ＝２３ꎬ在ＣＢ上取一点Ｍꎬ使得ＣＭ＝２３ＣＤ＝４３ꎬʑＡＤ＋２３ＢＤ的最小值为４２＋(４３)２＝４１０３.点评㊀本题属于相似形综合题ꎬ考查了相似三角形的判定和性质ꎬ勾股定理ꎬ两点之间线段最短等知识ꎬ解题的关键是理解题意ꎬ学会用数形结合转化的思想考虑问题ꎬ属于中考常考题型.２.２非材料阅读型(隐藏阿氏圆)例２㊀(２０１７ 兰州)如图３ꎬ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与直线ＡＢ交于Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)两点ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６交ｙ轴于点Ｃ.点Ｅ是直线ＡＢ上的动点ꎬ过点Ｅ作ＥＦʅｘ轴交ＡＣ于点Ｆꎬ交抛物线于点Ｇ.图３㊀例２题图(ａ)(１)求抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的表达式ꎻ(２)连接ＧＢꎬＥＯꎬ当四边形ＧＥＯＢ是平行四边形时ꎬ求点Ｇ的坐标ꎻ(３)①在ｙ轴上存在一点Ｈꎬ连接ＥＨꎬＨＦꎬ当点Ｅ运动到什么位置时ꎬ以Ａ㊁Ｅ㊁Ｈ㊁Ｆ为顶点的四边形是矩形?求出此时点ＥꎬＨ的坐标ꎻ②在①的前提下ꎬ以点Ｅ为圆心ꎬＥＨ长为半径作圆ꎬ点Ｍ为☉Ｅ上一动点ꎬ求１２ＡＭ＋ＣＭ的最小值.考点:二次函数综合题.专题:综合题.分析㊀(１)利用待定系数法求出抛物线方程ꎻ(２)先利用待定系数法求出直线ＡＢ的方程ꎬ进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可ꎻ(３)①先判断出要以点ＡꎬＥꎬＨꎬＦ为顶点的四边形是矩形ꎬ只有ＥＦ为对角线ꎬ利用中点坐标公式建立方程即可ꎻ②先取ＥＧ的中点Ｐ进而判断出әＰＥＭʐәＭＥＡ即可得出ＰＭ＝１２ＡＭꎬ连接ＣＰ交圆Ｅ于Ｍꎬ再求出点Ｐ的坐标即可得出结论.解㊀(１)ȵ点Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)在抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ上ꎬʑ－１６－４ｂ＋ｃ＝－４ꎬｃ＝４{ꎬʑｂ＝－２ꎬｃ＝４{ꎬʑ抛物线的方程为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋４ꎻ(２)设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｎ过点ＡꎬＢꎬʑｎ＝４ꎬ－４ｋ＋ｎ＝－４{ꎬʑｋ＝２ｎ＝４{ꎬʑ直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋４ꎬ设Ｅ(ｍꎬ２ｍ＋４)ꎬʑＧ(ｍꎬ－ｍ２－２ｍ＋４)ꎬȵ四边形ＧＥＯＢ是平行四边形ꎬʑＥＧ＝ＯＢ＝４ꎬʑ－ｍ２－２ｍ＋４－２ｍ－４＝４ꎬʑｍ＝－２ꎬʑＧ(－２ꎬ４).(３)①如图４ꎬ由(２)知ꎬ直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋４ꎬ设Ｅ(ａꎬ２ａ＋４)ꎬȵ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６ꎬʑＦ(ａꎬ－１２ａ－６)ꎬ设Ｈ(０ꎬｐ)ꎬȵ以点ＡꎬＥꎬＨꎬＦ为顶点的四边形是矩形ꎬȵ直线ＡＢ:ｙ＝２ｘ＋４ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６ꎬʑＡＢʅＡＣꎬʑＥＦ为对角线ꎬʑＥＦ与ＡＨ互相平分ꎬʑ１２(－４＋０)＝１２(ａ＋ａ)ꎬ１２(－４＋ｐ)＝１２(２ａ＋４－１２ａ－６)ꎬʑａ＝－２ꎬｐ＝－１ꎬʑＥ(－２ꎬ０).Ｈ(０ꎬ－１)ꎻ㊀图４㊀例２题图(ｂ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５㊀例２题图(ｃ)②如图５ꎬ由①知ꎬＥ(－２ꎬ０)ꎬＨ(０ꎬ－１)ꎬＡ(－４ꎬ－４)ꎬʑＥＨ＝５ꎬＡＥ＝２５ꎬ设ＡＥ交☉Ｅ于Ｇꎬ取ＥＧ的中点ＰꎬʑＰＥ＝５２ꎬ连接ＰＣ交☉Ｅ于Ｍꎬ连接ＥＭꎬʑＥＭ＝ＥＨ＝５ꎬʑＰＥＭＥ＝５２５＝１２ꎬȵＭＥＡＥ＝５２５＝１２ꎬʑＰＥＭＥ＝ＭＥＡＥ＝１２ꎬȵøＰＥＭ＝øＭＥＡꎬʑәＰＥＭʐәＭＥＡꎬʑＰＭＡＭ＝ＭＥＡＥ＝１２ꎬʑＰＭ＝１２ＡＭꎬʑ１２ＡＭ＋ＣＭ最小值为ＰＣꎬ设点Ｐ(ｐꎬ２ｐ＋４)ꎬȵＥ(－２ꎬ０)ꎬʑＰＥ２＝(ｐ＋２)２＋(２ｐ＋４)２＝５(ｐ＋２)２ꎬȵＰＥ＝５２ꎬʑ５(ｐ＋２)２＝５４ꎬʑｐ＝－５２或ｐ＝－３２(由于Ｅ(－２ꎬ０)ꎬ所以舍去)ꎬʑＰ(－５２ꎬ－１)ꎬȵＣ(０ꎬ－６)ꎬʑＰＣ＝(－５２)２＋(－１＋６)２＝５５２ꎬ即:１２ＡＭ＋ＣＭ的最小值为５５２.例３㊀(２０２１ 沙坪坝区校级模拟)在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＣ交ＢＤ于点ＥꎬәＡＤＥ为等边三角形.(１)若点Ｅ为ＢＤ的中点ꎬＡＤ＝４ꎬＣＤ＝５ꎬ求әＢＣＥ的面积ꎻ(２)若ＢＣ＝ＣＤꎬ点Ｆ为ＣＤ的中点ꎬ求证:ＡＢ＝２ＡＦꎻ(３)如图６ꎬ若ＡＢʊＣＤꎬøＢＡＤ＝９０ʎꎬ点Ｐ为四边形ＡＢＣＤ内一点ꎬ且øＡＰＤ＝９０ʎꎬ连接ＢＰꎬ取ＢＰ的中点Ｑꎬ连接ＣＱ.当ＡＢ＝６２ꎬＡＤ＝４２ꎬｔａｎøＡＢＣ＝２时ꎬ求ＣＱ＋１０１０ＢＱ的最小值.㊀图６㊀例３题图(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７㊀例３题图(ｂ)考点㊀相似形综合题.专题:图形的相似ꎻ推理能力.分析㊀(１)如图７中ꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈꎬ设ＥＨ＝ｘ.利用勾股定理构建方程求出ｘꎬ即可解决问题.(２)如图８中ꎬ延长ＡＦ到Ｇꎬ使得ＡＦ＝ＦＧꎬ连接ＤＧꎬＣＧꎬ延长ＧＣ交ＢＤ于Ｔꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈ.想办法证明әＡＥＢɸәＡＤＧ(ＳＡＳ)ꎬ可得结论.(３)如图９中ꎬ取ＡＤ的中点Ｏꎬ连接ＯＰꎬＯＢꎬＯＣꎬ取ＯＢ的中点Ｊꎬ连接ＱＪꎬＣＪꎬ过点Ｃ作ＣＦʅＡＢ于Ｆꎬ在ＪＢ上取一点Ｔꎬ使得ＪＴ＝５５ꎬ连接ＱＴꎬＴＣ.想办法证明әＱＪＴʐәＢＪＱꎬ推出ＱＴＢＱ＝ＪＴＪＱ＝５/５２＝１０１０ꎬ推出ＱＴ＝１０１０ＢＱꎬ推出ＣＱ＋１０１０ＢＱ＝ＣＱ＋ＱＴȡＣＴꎬ求出ＣＴꎬ可得结论.(１)解㊀如图７中ꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈꎬ设ＥＨ＝ｘ.ȵәＡＤＥ是等边三角形ꎬʑＡＤ＝ＤＥ＝４ꎬøＡＥＤ＝øＣＥＨ＝６０ʎꎬȵøＣＨＥ＝９０ʎꎬʑＣＨ＝ＥＨ ｔａｎ６０ʎ＝３ｘꎬȵＣＤ２＝ＣＨ２＋ＤＨ２ꎬʑ２５＝３ｘ２＋(ｘ＋４)２ꎬʑ４ｘ２＋８ｘ－９＝０ꎬʑｘ＝－２＋１３２或－２－１３２(舍弃)ꎬʑＣＨ＝３９－２３２ꎬʑＳәＢＥＣ＝１２ˑ４ˑ３９－２３２＝３９－２３.图８㊀例３题图(ｃ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀例３题图(ｄ)(２)证明:如图８中ꎬ延长ＡＦ到Ｇꎬ使得ＦＧ＝ＡＦꎬ连接ＤＧꎬＣＧꎬ延长ＧＣ交ＢＤ于Ｔꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈ.ȵＡＦ＝ＦＧꎬＣＦ＝ＦＤꎬʑ四边形ＡＣＧＤ是平行四边形ꎬʑＡＣʊＤＧꎬＧＣʊＡＤꎬʑøＣＡＤ＋øＡＤＧ＝１８０ʎꎬȵәＡＤＥ是等边三角形ꎬʑＡＥ＝ＡＤꎬøＡＥＤ＝øＡＤＥ＝øＥＡＤ＝６０ʎꎬʑøＡＥＢ＝øＡＤＧ＝１２０ʎꎬʑøＣＧＤ＝øＥＡＤ＝６０ʎ＝øＧＤＴꎬʑәＤＧＴ是等边三角形ꎬʑＤＧ＝ＤＴꎬøＣＴＥ＝øＣＥＴ＝６０ʎꎬʑәＣＥＴ是等边三角形ꎬʑＣＴ＝ＣＥꎬøＣＴＥ＝øＣＥＴ＝６０ʎꎬȵＣＢ＝ＣＤꎬＣＨʅＢＤꎬʑＢＨ＝ＤＨꎬＴＨ＝ＥＨꎬʑＢＴ＝ＤＥꎬʑＢＥ＝ＤＴ＝ＤＧꎬʑәＡＥＢɸәＡＤＧ(ＳＡＳ)ꎬʑＡＢ＝ＡＧ＝２ＡＦ.(３)解:如图９中ꎬ取ＡＤ的中点Ｏꎬ连接ＯＰꎬＯＢꎬＯＣꎬ取ＯＢ的中点Ｊꎬ连接ＱＪꎬＣＪꎬ过点Ｃ作ＣＦʅＡＢ于Ｆꎬ在ＪＢ上取一点Ｔꎬ使得ＪＴ＝５５.连接ＱＴꎬＴＣ.ȵＡＢʊＣＤꎬøＢＡＤ＝９０ʎꎬʑøＡＤＣ＝９０ʎꎬȵＣＦʅＡＢꎬʑøＣＦＡ＝９０ʎꎬʑ四边形ＡＦＣＤ是矩形ꎬʑＡＤ＝ＣＦ＝４２ꎬȵｔａｎøＣＢＡ＝ＣＦＢＦ＝２ꎬʑＢＦ＝２２ꎬȵＡＢ＝６２ꎬʑＡＦ＝４２ꎬʑＡＤ＝ＡＦꎬʑ四边形ＡＦＣＤ是正方形ꎬȵＢＣ＝ＢＦ２＋ＣＦ２＝(２２)２＋(４２)２＝２１０ꎬＣＯ＝ＯＤ２＋ＣＤ２＝(２２)２＋(４２)２＝２１０ꎬＯＢ＝ＯＡ２＋ＡＢ２＝４５ꎬʑＣＢ＝ＣＯꎬȵＣＦ＝ＣＤꎬøＣＦＢ＝øＣＤＯ＝９０ʎꎬʑＲｔәＣＦＢɸＲｔәＣＤＯ(ＨＬ)ꎬʑøＢＣＦ＝øＤＣＯꎬʑøＢＣＯ＝øＤＣＦ＝９０ʎꎬȵＢＪ＝ＪＯꎬʑＣＪ＝１２ＯＢ＝２５ꎬʑＣＴ＝ＴＪ２＋ＣＪ２＝(５５)２＋(２５)２＝５０５５ꎬȵＢＱ＝ＱＰꎬＢＪ＝ＪＯꎬʑＱＪ＝１２ＯＰ＝２ꎬȵＱＪ２＝２ꎬＴＪ ＪＢ＝５５ˑ２５＝２.ʑＱＪ２＝ＪＴ ＪＢꎬʑＱＪＪＴ＝ＪＢＱＪꎬȵøＱＪＴ＝øＱＪＢꎬʑәＱＪＴʐәＢＪＱꎬʑＱＴＢＱ＝ＪＴＪＱ＝５５２＝１０１０ꎬʑＱＴ＝１０１０ＢＱ.ʑＣＱ＋１０１０ＢＱ＝ＣＱ＋ＱＴȡＣＴ＝５０５５ꎬʑＣＱ＋１０１０ＢＱ的最小值为５０５５.参考文献:[１]方立洋ꎬ经凯强.阿波罗尼斯圆的性质及应用[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０２３(０１):１５－１８.[责任编辑:李㊀璟]。

初中数学最值一阿氏圆模型初中数学中的最值问题是数学中的重要问题之一。

数学教学中经常涉及到最大值和最小值的求解，而阿氏圆模型是解决这类问题的一种方法。

阿氏圆模型是一种简便的方法，可以用来解决初中数学中的最值问题。

它可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。

下面我将通过详细的论述来介绍阿氏圆模型的原理和应用。

首先，我们来看最大值问题。

最大值是一组数中的最大数，我们要找出这个最大值。

在阿氏圆模型中，我们可以通过绘制一个圆形来表示一组数。

圆的半径表示这组数中的最大值。

圆心表示这组数的平均值。

通过观察圆的大小和位置，我们可以快速确定最大值。

例如，给定一组数{3，5，7，9}，我们可以计算它们的平均值为6。

然后，我们绘制一个以6为圆心的圆，然后找到圆上的最大值。

在这种情况下，最大值为9。

我们可以通过阿氏圆模型很容易地找到最大值。

接下来我们来看最小值问题。

最小值是一组数中的最小数，我们要找出这个最小值。

阿氏圆模型同样可以用来解决这类问题。

与最大值问题类似，我们也是通过绘制一个圆形来表示一组数。

圆的半径表示这组数中的最小值。

圆心代表平均值。

通过观察圆的大小和位置，我们可以迅速确定最小值。

例如，给定一组数{2，4，6，8}，我们计算它们的平均值为5。

然后，我们可以绘制以5为圆心的圆，并找到圆上的最小值。

在这种情况下，最小值为2。

阿氏圆模型同样帮助我们很容易地找到最小值。

阿氏圆模型不仅可以用来解决最大值和最小值问题，还可以扩展到其他数学问题中。

例如，我们可以用阿氏圆模型来求一组数的平均值。

通过将这组数放在一个圆的周围，我们可以找到圆心的位置，这个位置就是这组数的平均值。

这使得求平均值变得非常简单。

此外，阿氏圆模型还可以用来解决其他问题，如中位数、众数等统计问题。

阿氏圆模型在初中数学中的应用非常广泛，通过它我们可以更好地理解和解决各种数学问题。

总结起来，阿氏圆模型是一种在初中数学中解决最值问题的简便方法。

它通过绘制一个圆形来表示一组数，圆心代表平均值，圆的半径代表最大值或最小值。

阿氏圆经典例题阿氏圆是数学中一个经典的几何图形，也是圆锥曲线的一种形式。

它的定义是一个平面上到两个给定点P和Q的距离之比为常数的点的集合。

其中，给定点P称为焦点，给定点Q称为直线的定点。

对于阿氏圆，有一些经典的例题可以帮助我们更好地理解它的性质和特点。

例题1：已知阿氏圆的焦点为点P(-1,0)，定点为直线y=2的交点Q，求该阿氏圆的方程。

解：由题意可知，阿氏圆的焦点为点P(-1,0)，定点为直线y=2的交点Q。

首先，我们可以确定阿氏圆的离心率为2，因为焦点到定点的距离为2。

由于焦点在x轴上，所以阿氏圆的方程为：(x + 1)^2 + y^2 = 4x(x - 2)化简得到：x^2 + y^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 8x化简后再整理得到：3x^2 - 10x + y^2 + 2x + 1 = 0所以，阿氏圆的方程为3x^2 - 8x + y^2 + 1 = 0。

例题2：已知直线y = 2x + 1与阿氏圆x^2 + y^2 - 4x - 4 = 0相交于两个点A和B，求点A和点B的坐标。

解：首先，将直线的方程代入阿氏圆的方程中，得到：x^2 + (2x + 1)^2 - 4x - 4 = 0化简后整理得到：5x^2 - 12x - 4 = 0通过求解这个二次方程，可以得到两个解x = 2和x = -0.4。

将这两个x的值分别代入直线的方程中，即可得到点A和点B的坐标。

当x = 2时，代入直线的方程得到y = 2(2) + 1 = 5，所以点A的坐标为(2, 5)。

当x = -0.4时，代入直线的方程得到y = 2(-0.4) + 1 = 0.2，所以点B的坐标为(-0.4, 0.2)。

通过这个例题，我们可以看到阿氏圆与直线的两个交点的坐标是如何求解的。

阿氏圆是数学中一个重要的几何图形，它具有许多有趣的性质和应用。

通过解决阿氏圆的经典例题，我们可以更深入地理解其特点和性质，并且能够应用这些知识解决更复杂的问题。

中考必考的阿氏圆原理应用什么是阿氏圆原理阿氏圆原理是由法国数学家阿氏发现的一种几何学原理。

根据阿氏圆原理，对于平面上一个确定的圆，通过圆上任意三个非共线点，都可以确定这个圆。

这个原理在实际生活中有着广泛的应用，特别是在中学数学中的几何部分经常被考察。

阿氏圆原理的重要性阿氏圆原理在中学数学中被广泛应用，不仅在解题中起到了重要的作用，而且在培养学生的几何思维和逻辑推理能力方面也是非常重要的。

因此，掌握阿氏圆原理的应用是中学数学学习中必不可少的一部分。

阿氏圆原理的应用范围阿氏圆原理的应用范围广泛，下面列举几个常见的应用：1.圆心和半径已知，求圆上任意一点的坐标2.通过圆上三点的坐标求圆心坐标和半径3.平面上两条切线交点的连线与圆心连线垂直4.求过已知点的切线方程5.求两条切线的交点坐标案例分析：通过圆上三点的坐标求圆心坐标和半径假设有一个平面上的圆O，已知圆上的三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，现在要求解这个圆的圆心坐标和半径。

根据阿氏圆原理，我们可以采用以下步骤来求解：1.求取点A和B之间的中垂线的方程，设中垂线的方程为L1。

2.求取点B和C之间的中垂线的方程，设中垂线的方程为L2。

3.求解L1和L2的交点坐标，即为圆心坐标。

4.计算圆心坐标和点A、B、C之间的距离，即为圆的半径。

通过以上步骤，我们可以利用阿氏圆原理求解出圆的圆心坐标和半径。

小结阿氏圆原理作为中学数学中的重要部分，在中考中经常被考察。

掌握了阿氏圆原理的应用，可以帮助我们解决一些与圆相关的几何题目。

在学习过程中，我们不仅要理解阿氏圆原理的概念，还要掌握它的具体应用方法，并运用到实际的解题中去。

通过不断的练习和实践，我们能够提高我们的几何思维和解题能力。

以上就是中考必考的阿氏圆原理应用的文档内容，简单介绍了阿氏圆原理的定义和重要性，列举了其常见的应用范围，并以通过圆上三点的坐标求圆心坐标和半径为例进行了分析。

专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m(≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP+BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP+BP ＝AP+PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP 的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP 的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A+PB 的最小值．【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2P A，得到2P A+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．【解答】解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2P A，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD ∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．例题2、问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．【分析】问题初探：设AC＝x，则AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2x﹣x＜4且2x+x ＞4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；问题再探：设CD＝a、AD＝b，证△DAC∽△DBA得＝＝，据此知，解之可得；问题解决：设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝2m，由余弦定理可得cosC，代入化简S△ABC＝，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：问题初探，设AC＝x，则AB＝2x，∵BC＝4，∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，解得：＜x＜4，取x＝3，则AC＝3、AB＝6，故答案为：6、3；问题再探，∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA，则＝＝，设CD＝a、AD＝b，∴，解得：，即CD＝；问题解决，设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝AC?BCsinC＝2msinC＝2m，由余弦定理可得cosC＝，∴S△ABC＝2m＝2m＝＝＝由三角形三边关系知＜m＜4，所以当m＝时，S△ABC取得最大值．【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质．例题3、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为 4，点 D 是⊙C上的动点，连接AD，BD，则12AD BD的最小值为_________【解答】210例题4、在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB，PC，则3PC+2PB的最小值为___________【解答】21练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则AP+BP的最小值是．【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得＝＝，推出PK＝PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长．【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，∴＝＝，∵∠POK＝∠AOP，∴△POK∽△AOP，∴＝＝，∴PK＝P A，∴PB+P A＝PB+PK，在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长，∵B（4，4），K（1，0），∴BK＝＝5．故答案为5．【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于．【分析】在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3，可证△PBE∽△CBP，可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE 有最小值，即PD+PC有最小值，【解答】解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBP，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝，推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE?BC＝4，∴PB2＝BE?BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE?BD＝×4＝4，∴BP2＝BE?BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小，根据PC+PD＝PM+PD＝DM＝AD﹣AM即可计算．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．【点评】本题考查切线的性质、轴对称﹣最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD～△ACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+F A的最小值．【分析】（1）结论：相切．作CM⊥AB于M．，只要证明CM＝4，即可解决问题；（2）由CF＝4，CD＝2，CA＝8，推出CF2＝CD?CA，推出＝，由∠FCD＝∠ACF，即可推出△FCD∽△ACF；（3）作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．由△FCD∽△ACF，可得＝＝，推出DF＝AC，推出EF+AF＝EF+DF，所以欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF 的最小值；【解答】（1）解：结论：相切．理由：作CM⊥AB于M．在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，∴CM＝AC＝4，∵⊙O的半径为4，∴CM＝r，∴AB是⊙C的切线．（2）证明：∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，∴CF2＝CD?CA，∴＝，∵∠FCD＝∠ACF，∴△FCD∽△ACF．（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．∵△FCD∽△ACF，∴＝＝，∴DF＝AC，∴EF+AF＝EF+DF，∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值＝DE′＝AD＝3．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题．6．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝6，AF＝6，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF＝AP，即AP+PC＝PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF＝2AP，即2PA+PB＝PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．【解答】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝6，AF＝6∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3∴AD＝＝3∴AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5∴AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴∴PF＝2AP∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点．7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．由△PBG∽△CBP，推出＝＝，推出PG＝PC，推出PD+PC＝DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P 共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．由PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5；（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入代入y＝﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，然后解方程即可得到此时G 点坐标；（3）先确定C（0，﹣6），再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，∠BAC ＝90°，接着根据圆周角定理，由∠AHF＝∠AEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），则M（﹣2，﹣），然后根据HM＝EF得到22+（t+）2＝×52，最后解方程即可得到H点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），∵OB∥GE，∴当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，∴﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，解得x1＝x2＝﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；（3）存在．当x＝0时，y＝﹣x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），∵AB2＝42+82＝80，AC2＝42+22＝20，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△BAC为直角三角形，∠BAC＝90°，∵∠AHF＝∠AEF，∴点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），∵G（﹣2，4），∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），∴M（﹣2，﹣），∵HM＝EF，∴22+（t+）2＝×52，解得t1＝﹣1，t2＝﹣4，∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．9．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．（3）在y轴上取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′？OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′？OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．。

阿氏圆及其应用举例一、什么是阿氏圆？阿氏圆是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DPMPDCBA分析：注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，连BM 即可． 二、应用举例例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（ ） A ．7B ．5C ．D ．B PO解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴＝，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝P A，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（）A．B．6C．2 D．4解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A．例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．解：∵2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵求23AD BD +最小值即可,在CA 上截取CM ，使得CM ＝4，连接DM ，BM ． ∵CD ＝6，CM ＝4，CA ＝9，∴CD 2＝CM •CA ，∴＝，∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△ACD ，∴＝＝，∴DM ＝AD ，∴AD +BD ＝DM +BD ，∵DM +BD ≥BM ，在Rt △CBM 中，∵∠CMB ＝90°，CM ＝4，BC ＝12，∴BM ＝＝4，∴AD +BD ≥4，∴AD +BD 的最小值为4．例4、如图，矩形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝8，P 为矩形内部一点，且PB ＝4，则AP +PC 的最小值为 ．A BCDP解：如图2，在AB 上截取BF ＝2，连接PF ，PC ， ∵AB ＝8，PB ＝4，BF ＝2，∴＝＝，且∠ABP ＝∠ABP ，∴△ABP ∽△PBF ，∴＝＝，∴PF ＝AP ，∴AP +PC ＝PF +PC ，∴当点F ，点P ，点C 三点共线时，AP +PC 的值最小，∴CF ＝＝＝2，∴AP +PC 的值最小值为2，例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B 为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是 ．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连结EF，OE，∵，∠EOB为公共角，∴△OBE∽△OEF，∴，∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF，即A、E、F三点共线时取得最小值.即由勾股定理得：AF＝＝. 例6、如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC 的最大值为．解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵＝2，＝2，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝＝5．三、练习巩固1、（2019•郫都区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是．解：如图，在CB 上取一点F ，使得CF ＝2，连接FD ，AF ． ∴CD ＝4，CF ＝2，CB ＝8，∴CD 2＝CF •CB ，∴＝，∵∠FCD ＝∠DCB ，∴△FCD ∽△DCB ，∴＝＝，∴DF ＝BD ， ∴BD +AD ＝DF +AF ，∵DF +AD ≥AF ，AF ＝＝2，∴BD +AD 的最小值是2，2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为 .解：在BM 上截取BQ=23， 2,3BQ BM QBM M BA BM BA '''==∠=∠'Q，.BQM BM A ''∴∆∆∠: 1,3QM BQ M A BM '∴==''1,3QM M A ''∴= 2122()2()33CM AM CM AM CM QM ''''''∴+=+=+当Q M C '、、三点共线时，=CM QM QC ''+有最小值为：22222237=()4.33QC BQ BC +=+=223CM AM ''∴+的最小值为4373.3、已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，则2P A +PB 的最小值为 ．解：延长OA 到点E ，使CE ＝6，∴OE ＝OC +CE ＝12，连接PE 、OP ， ∵OA ＝3，∴，∵∠AOP ＝∠AOP ，∴△OAP ∽△OPE ，∴，∴EP ＝2P A ，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13.4、如图，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，则2P A+PB 的最小值为．解：如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴∴PF＝2AP，∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．5、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．。

阿氏圆经典例题篇一：阿氏圆是指以点P为圆心,以距离点P为半径的圆的圆心角等于直角的圆。

下面是阿氏圆的经典例题:例题:一个直径为4的圆上,点P位于圆心,点Q在圆上某一点R处,已知点P、Q、R共线,求点R的坐标。

解:因为点P、Q、R共线,所以可以得出点P和点R、点Q和点R的共线。

假设点R的坐标为(x,y),则根据阿氏圆的定义,可以得出:圆心角POQ=直角因为点P、Q、R共线,所以点P和点Q的横坐标相等,纵坐标也相等,即P的横坐标为2,Q的纵坐标为2。

根据勾股定理,可以得出:x2+y2=42将x2+y2=42代入点R的坐标(x,y)中,可以得出:x2+2y2=42因为点R在直径4上,所以可以得出:x2+2y2=4因为点Q在圆上某一点R处,所以可以得出:x2+2y2=4-2y2将上述两个式子联立起来,可以得出:x2+y2=4x2+4y2+y2=4化简后可以得出:y2=0因此,点R的坐标为(0,0)。

拓展:阿氏圆的应用非常广泛,无论是在数学、物理、工程等领域,都需要应用到阿氏圆的知识。

下面列举一些阿氏圆的应用:1. 在物理学中,阿氏圆可以用来描述物体在运动过程中的位置和速度变化。

2. 在工程学中,阿氏圆可以用来描述机械零件的几何形状和尺寸,以及设计机械运动的平衡。

3. 在计算机科学中,阿氏圆可以用来描述图形的旋转和变换。

4. 在语言学中,阿氏圆可以用来描述语音的旋转和变化。

阿氏圆是一个非常重要的数学概念,不仅在数学领域有着广泛的应用,同时也有着广泛的应用前景。

篇二：阿氏圆是几何学中一个重要的概念,指的是以任意一点为圆心,任意一段圆弧为半径所构成的圆。

阿氏圆的经典例题包括以下两种:例题1:将一个半径为2的圆剪成两个相等的直角三角形和一个小圆弧,求小圆弧的长度。

解析:将圆剪成两个相等的直角三角形和一个小圆弧,可以看作是将圆沿着一条直角边切割成两个直角三角形,然后将小圆弧沿着另外一条直角边剪出来。

根据阿氏圆的定义,小圆弧的长度等于以圆心为起点,沿着直角三角形斜边的长度,即:L = r × s其中,L是小圆弧的长度,r是圆的半径,s是直角三角形的斜边长度。