福建省师大附中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时， +≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0] C．[0，4）D．（﹣4，0）3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2 B．k1＜k＜k3 C．k1≤k≤k3 D．k＜k1或k＞k37．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．49 B．50 C．51 D．5210．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣201411．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）12．数列{a n}满足a1=1， =，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a= ．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n= ．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i ﹣b i，此时c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．2015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时， +≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0] C．[0，4）D．（﹣4，0）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2 B．k1＜k＜k3 C．k1≤k≤k3 D．k＜k1或k＞k3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．【解答】解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100==50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．∴=2（n﹣1）•cos．∵函数y=cos的周期T==4．∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)+4024•cos+4026•cos+4028•cos=4×503+0﹣4026=﹣2014．故选D．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．故选B．【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1， =，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1， =，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30•=7.5，而t为正整数，所以，t min=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a= 2 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n= ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是 4 ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99=299=．则b50=2．∴b8+b92≥=2b50=4，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故答案为：4．【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ===== ==．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时， =﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{ }是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵•=||2=9，解得AC=3，又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，∴d1+d2+d3=x+y﹣=，令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中， =即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k ＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，所以k＞﹣2；（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因且，故，即1＜k≤4；当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，且，故，解得；综上所述，【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i ﹣b i，此时c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．【考点】等差关系的确定．【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），又因为b1=a1﹣c1＜a1，所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，因此x n=b1．所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。

福建师大二附中2016—2017学年第一学期高三年期中考数 学 试 卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是 A ．()2x f x = B．()f x =．()lg f x x = D ．2()f x x =2．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}8221|{<<=x x B ，则A B 等于 A ．(2,12)B ．(2,3)C ．(1,3)-D ．(1,12)-3．“1a =”是“关于x 的方程220x x a -+=有实数根”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )5.已知]3,21[12)(2在x x x x f +-=的最小值为（ ） A ．21 B ．34C ．-1D ．0 6．已知y x ,满足221,1,0,x y x y y ⎧+≤⎪+≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是A．⎡⎤⎣⎦ B ．[]1,1- C．⎡⎣ D．⎡-⎣7．已知数列{x n }满足x n ＋3＝x n ，x n ＋2＝|x n ＋1－x n |(n ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，则数列{x n }的前2 014项的和S 2 014为( )A ．669B ．671C ．1 338D ．1 3438．若直线10(0,0)ax by a b +-=>>过曲线()1sin 02y x x π=+<<的对称中心，则12a b+的最小值为AB．．．69．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞单调递增，若(lg )0f x <，则x 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1,)+∞D ．(10,)+∞10．若曲线1,1,1,11x e x y x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩与直线1-=kx y 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是A ．)223,223(+- B．(0,3- C ．)223,0()0,(-⋃-∞ D ．)223,(--∞ 11．在数列{}n a 中，112a =，且55n n a a +≥+，11n n a a +≤+，若数列{}n b 满足1n n b a n =-+，则数列{}n b 是 A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列12． 已知函数的定义域为)(x f ),2[+∞-，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示. （ ）则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是 A ．2 B ．4 C ．5 D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．曲线21y x =+与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形的面积是 ． 14．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 15．对于数列{}n c ，如果存在各项均为正整数的等差数列{}n a 和各项均为正整数的等比数列{}n b ，使得n n n c a b =+，则称数列{}n c 为“DQ 数列”．已知数列{}n e 是“DQ 数列”，其前5项分别是：3,6,11,20,37，则n e = ．16．设()g x '是函数()g x 的导函数，且()()f x g x '=．现给出以下四个命题：①若()f x 是奇函数，则()g x 必是偶函数； ②若()f x 是偶函数，则()g x 必是奇函数； ③若()f x 是周期函数，则()g x 必是周期函数；④若()f x 是单调函数，则()g x必是单调函数．其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知函数()2cos cos 222x x x f x m =++的图象过点（56π，0）. （I ）求实数m 的值以及函数()f x 的单调递增区间；（II ）设()y f x =的图象与x 轴、y 轴及直线x t =（203t π<<）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数()S t 的解析式. 18. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，26S =。

2016-2017学年福建省福州市高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则3．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，那么（）A．a＜0，△≥0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0 4．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=575．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6．（5分）若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形7．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．3609．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）若acosB+bcosA=csinC，S△ABCA．30°B．45°C．60°D．90°10．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．1011．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．412．（5分）将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）. 13．（5分）不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为．14．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=．16．（5分）如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1，2，3，…），则第n个图形中边的个数a n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．18．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且sin（A）=（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．21．（12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n构成等差数列如图所示．（1）求a n表达式；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．四、填空题（共1小题，每小题0分，满分0分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为．五、解答题（共1小题，满分0分）24．已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，b n是a n 的等比中项．和a n+1（Ⅰ）设，求证：{c n}是等差数列；（Ⅱ）设，求证：．2016-2017学年福建省福州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：根据数列的前4项分别是，可得奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的绝对值等于||，故此数列的一个通项公式为，故选：C．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则【解答】解：若a＞b，且c=0，则ac2=bc2，A不正确；若a＞b，c＜d，比如a=1，b=0，c=﹣2，d=﹣1，则＜，则不成立；若a＞b，c＞d，比如a=0，b=﹣3，c=2，d=﹣6，则a﹣c＜b﹣d，a﹣c＞b﹣d不成立；若ab＞0，a＞b，则﹣=＜0，可得＜成立．故选：D．3．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，那么（）A．a＜0，△≥0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0【解答】解：不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，可得a＞0，△≤0；若a＜0，抛物线开口向下，函数值不可能小于0，故选：C．4．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=57【解答】解：数列列{a n}是等差数列，则：当m+n=p+q时，则：a m+a n=a p+a q．由于等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则：a1+a101=a2+a100=a3+a99=0．故选：C．5．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选：D．6．（5分）若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形【解答】解：∵三条线段的长为5、6、7，∴满足任意两边之和大于第三边，∴能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，∵52+62﹣72=25+36﹣49=12＞0，∴cosA＞0，∴能组成锐角三角形．故选：B．7．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+【解答】解：基本不等式的应用要把握三条：一正，二定，三相等，缺一不可．故选项A，x≠0不能满足一正；选项C，y=x+（x＞0）≥=4；选项D，当时取等号，此时x2=﹣1，矛盾；故只由选项B正确．故选：B．8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．360【解答】解：由等比数列的前n项和公式的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，∴=S3•（S9﹣S6），∴（60﹣12）2=12×（S9﹣60），解得S9=252．故选：C．9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）若acosB+bcosA=csinC，S△ABCA．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选：B．10．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故选：D．11．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（6，8），化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．∴．则+=（）（）=．当且仅当a=b=时上式等号成立．故选：A．12．（5分）将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580【解答】解：设各行的首项组成数列{a n}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）叠加可得：a n﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=，∴a n=+1∴a20=+1=571∴数阵中第20行从左至右的第3个数是577．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）. 13．（5分）不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1），联立，解得C（2，1），又A（0，﹣1），∴|AB|=4，则．故答案为：2．14．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=1．【解答】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=64．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•（）=2=2，当n=3或4时，M n的最大值=2=64．故答案是：64．16．（5分）如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1，2，3，…），则第n个图形中边的个数a n=n2+5n+6．【解答】解：由已知中的图形我们可以得到：当n=1时，边共有12=3×4（条），n=2时，边共有20=4×5（条），n=3时，边共有30=5×6（条），n=4时，边共有42=6×7（条），…由此我们可以推断：第n个图形共有边（n+2）（n+3）=n2+5n+6条，故答案为：n2+5n+6．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．【解答】解：（1）依题意可得：ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2=﹣，解得：a=﹣2；（2）将a=﹣2代入不等式得：＞3，即﹣3＞0，整理得：＞0，即（x+1）（x+2）＜0，可得或，解得：﹣2＜x＜﹣1，则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}．18．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且sin（A）=（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．【解答】解：（1）∵A为锐角，，且sin（A）=，∴=，…（4分）∴=．（2），bc=60，b=10，∴c=6…（6分），sinA=，cosA=…（8分）由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，，∴=64，∴a=8…（12分）19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，=b n﹣1+b n，∴a n﹣1∴a n﹣a n=b n+1﹣b n﹣1．﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．20．（12分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．【解答】解：（1）因为，所以∠ABC为钝角，且，，因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD=，在△ABC中，可得=，可得AC==8；（2）因为AB∥CD，所以∠BCD=180°﹣∠ABC，可得cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，在△BCD中，，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以．21．（12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n构成等差数列如图所示．（1）求a n表达式；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？【解答】解：（1）如图，a 1=2，a2=4，∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．即从第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，当且仅当n=5时，年平均收益最大．所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，∴，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）知，a n=2n﹣1．则b n===（﹣），所以T n=（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣）=；﹣T n=﹣=＞0，（3）T n+1∴{T n}单调递增，∴T n≥T1=．∵T n=＜，∴≤T n＜＜T n＜对一切n∈N*恒成立，则≤﹣＜∴≤m＜∵m是自然数，∴m=2．四、填空题（共1小题，每小题0分，满分0分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为[﹣1，1]∪[5，+∞）．【解答】解：∵二次函数f （x ）≥0的解的区间是[﹣1，5]，∴f （x ）=0的根分别是﹣1，5，且二次项的系数＜0．∴不等式（1﹣x ）•f （x ）≥0⇔（x ﹣1）（x +1）（x ﹣5）≥0， 如图所示：上述不等式解集为[﹣1，1]∪[5，+∞）． 故答案为[﹣1，1]∪[5，+∞）．五、解答题（共1小题，满分0分）24．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N*，b n 是a n 和a n +1的等比中项． （Ⅰ）设，求证：{c n }是等差数列；（Ⅱ）设，求证：． 【解答】证明：（I ）∵b n 是a n 和a n +1的等比中项．∴=a n a n +1，∴c n =﹣=a n +1a n +2﹣a n a n +1=2da n +1．∴c n +1﹣c n =2da n +2﹣2da n +1=2d•d=2d 2， ∴{c n }是等差数列，公差为2d 2． （II ）T n =（﹣+）+（﹣）+…+（﹣+）=2d （a 2+a 4+…+a 2n ）=2d ×=2d 2n （n +1）．∴==＜．。

福建省师大附中高二上学期期中考试（数学理）（满分：150分，时间：1）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1、设2(2),(1)(3),M a a N a a =-=+-则有（ **** ） A ．M N > B ．M N ≥ （等号定能取到） C ．M N < D ．M N ≤ （等号定能取到）2、在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S ( **** ) A ．18B ．99C ．198D ．2973、若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（****）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，11a b<则C ．若0a b <<,b a a b>则 D ．若0a b <<，则22a ab b >> 4、下列函数中，最小值为4的是 （**** ） A ． 4y x x =+（3x ≥） B ． 4sin sin y x x=+ (0)x π<< C ． e 4exxy -=+ D ．3log 4log 3x y x =+5、已知ABC ∆满足sin 2cos sin C B A =，则ABC ∆的形状是（ **** ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 6、记等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则105S S 等于（ **** ） A ． 3- B ． 5 C ． -31 D ．33 7、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ **** ） A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b=2 ,∠A=30°C ． a=1,b=2,∠A=100°D ． b=c=1, ∠B=45°8、北京第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为，则旗杆的高度为( **** )A ．10米B ．30米 C．米 D．9、若不等式组0024x y y x y x s≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是 ( **** )A ．0<s ≤2或s ≥4B ．0<s ≤2C ．2≤s ≤4D ．s ≥410、如果数列{}n a 满足:121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a 等于（ **** ）。

2016-2017学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（创新班）一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分）1．在△ABC中,若,则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．在等差数列｛a n｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7﹣a8的值为（）A．4 B．6 C．8 D．103．若ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4},那么对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（) A．f(5）＜f(﹣1）＜f（2）B．f（2)＜f(﹣1）＜f（5）C．f（﹣1）＜f(2）＜f(5） D．f（5）＜f（2)＜f（﹣1）4．若a，b，c为实数,下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0,则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0,则D．若a＜b＜0，则5．等差数列｛a n｝中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和,对任意自然数n，若点（n，S n）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A．B．C．D．6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定7．已知函数f（x）=4x2﹣1,若数列｛｝前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．C．D．8．不等式的解集是（）A．(﹣3，﹣2）（0,+∞）B．（﹣∞，﹣3）（﹣2，0）C．（﹣3,0）D．（﹣∞，﹣3）（0,+∞)9．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+B=C B．B2=AC C．(A+B）﹣C=B2D．A2+B2=A（B+C）10．设 a ＞b ＞0，那么 a 2+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 11．已知数列{a n ｝满足:a 1=1，a n +1=(n ∈N *）．若b n +1=(n ﹣λ）（+1）,b 1=﹣λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范为（ ）A ．λ＞2B ．λ＞3C ．λ＜2D ．λ＜312．若实数a ，b 满足,则的最大值为（ )A ．1B ．C ．D ．2二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）13．(6分)《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为 磅．14．(6分)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°，则塔AB 的高是 米．15．（6分）已知｛a n ｝是由正数组成的数列，前n 项和为S n ,且满足:a n +=（n ≥1,n ∈N +），则a n = ．16．（6分）若对于任意实数x,|x +a |﹣｜x +1｜≤2a 恒成立，则实数a 的最小值为 ． 17．(6分）设f （x)=，则f （﹣5）+f （﹣4）+…f(0）+…+f(5）+f （6)的值为 ． 18．（6分)研究问题:“已知关于x 的不等式ax 2﹣bx +c ＞0，令y=，则y ∈（，1），所以不等式cx 2﹣bx +a ＞0的解集为（，1)”．类比上述解法,已知关于x 的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于x 的不等式+＜0的解集为 ．三、解答题（共5小题，满分54分）19．（12分)已知｛a n}是由正数组成的等比数列，a2=2，且a4,3a3，a5成等差数列．(1）求数列{a n}的通项公式；(2）数列{a n+1﹣λa n｝的前n项和为S n，若S n=2n﹣1(n∈N*）,求实数λ的值．20．（12分）已知△ABC中,A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边,2(sin2A﹣sin2C）=(a﹣b)sinB,△ABC的外接圆半径为，（1）求角C；(2）求△ABC面积S的最大值．21．(6分）（1）已知a、b∈R+,且a+b=3，求ab2的最大值．（2）设函数f（x)=｜2x+1|﹣｜x﹣2|，求不等式f（x）＞2的解集．22．（10分）某工厂要制造A种电子装置42台，B种电子装置55台，为了给每台装置配上一个外壳，需要从甲乙两种不同的钢板上截取．已知甲种钢板每张面积为2m2,可作A外壳3个B外壳5个；乙种钢板每张面积为3m，可作A外壳和B外壳各6个．用这两种钢板各多少张,才能使总的用料面积最小？23．（14分）已知数列｛a n｝满足：a1=1,a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1(n≥2，n∈N+)．(Ⅰ)设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列;(Ⅱ）(i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证:对于任意n∈N+都有++…++＜成立．2016—2017学年福建省师大附中高二(上）期中数学试卷(理科）（创新班）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题,每小题5分，满分60分）1．在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】根据所给的等式和正弦定理,得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角形的内角得到角的度数只能是45°．【解答】解：∵，又由正弦定理知，∴sinB=cosB，∵B是三角形的一个内角，∴B=45°，故选B．【点评】本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时，一定要说清楚这个角的范围，这样好确定角度．2．在等差数列{a n｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7﹣a8的值为(）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】等差数列的性质．【专题】整体思想．【分析】利用等差数列的性质先求出a6的值，再用a1与d表示出a7﹣•a8,找出两者之间的关系，求解即可．【解答】解：由已知得:（a2+a10）+（a4+a8）+a6=5a6=80,∴a6=16，设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a7﹣a8=a1+6d﹣（a1+7d）=（a1+5d）=a6=8．故选C．【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，应用了基本量思想和整体代换思想．等差数列的性质:{a n}为等差数列，当m+n=p+q（m,n，p，q∈N+)时，a m+a n=a p+a q．特例:若m+n=2p（m，n,p∈N+），则a m+a n=2a p．3．若ax2+bx+c＞0的解集为｛x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f(x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f(﹣1）＜f（2）B．f（2）＜f(﹣1）＜f(5）C．f（﹣1)＜f（2）＜f（5）D．f（5）＜f（2）＜f(﹣1）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由已知，可知﹣2，4是ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系,得出，化函数f（x)=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a（x2﹣2x﹣8），利用二次函数图象与性质求解．【解答】解：ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，可知﹣2，4是ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系，所以且a＜0，所以,函数f（x）=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a（x2﹣2x﹣8)，抛物线对称轴为x=1，开口向下,所以f（5）＜f（﹣1)＜f（2）故选A【点评】本题为一元二次不等式的解集的求解，结合对应二次函数的图象是解决问题的关键,属基础题．4．若a，b，c为实数，下列结论正确的是（）A．若a＞b,c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0,则D．若a＜b＜0，则【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题；转化思想;定义法；不等式．【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可【解答】解：对于A：若a＞0，b，c，d均小于0，则不正确，对于B：若a＜b＜0,则a2＞ab＞b2，正确，对于C:若a＜b＜0,则＜，即＜，故C不正确，对于D：若a＜b＜0,则a2＞b2，则＞，即＞，故D不正确，故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质,属于基础题5．等差数列｛a n}中，a1＞0，公差d＜0,S n为其前n项和,对任意自然数n，若点（n，S n)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】等差数列的前n项和，等价于二次函数，根据二次函数的图象和性质即可到答案．【解答】解：∵等差数列{a n｝中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和,∴S n=na1+×d=n2+（a1﹣）n,∴点（n，S n）在曲线y=x2+（a1﹣）x，∵d＜0，∴二次函数开口向下，∵对称轴x=﹣＞0，∴对称轴在y轴的右侧,故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式以及二次函数的性质，属于基础题．6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角,得到三角形为锐角三角形．【解答】解:设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边,其对应角最大．而（a+x）2+（b+x)2﹣(c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角,那么它为锐角三角形．故选A【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力,以及掌握三角形一些基本性质的能力．7．已知函数f（x）=4x2﹣1，若数列{｝前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由f(x）=4x2﹣1得到，然后利用裂项相消法求得S2015的值．【解答】解:由f（x)=4x2﹣1，得=，∴S2015==．故选:D．【点评】本题考查数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．8．不等式的解集是（）A．（﹣3，﹣2)（0,+∞） B．（﹣∞，﹣3）（﹣2，0)C．（﹣3,0）D．(﹣∞，﹣3）(0，+∞）【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】原不等式等价于＞0．把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．【解答】解:不等式等价于＞0．如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为（﹣3，﹣2)∪(0,+∞）,故选A．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想,属于中档题．9．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A,B，C，则（）A．A+B=C B．B2=AC C．（A+B）﹣C=B2D．A2+B2=A（B+C）【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．【解答】解：由题意可得：S n=A，S2n=B，S3n=C．由等比数列的性质可得：，，所以，所以整理可得：A2+B2=A（B+C）．故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质,并且进行正确的运算，一般以选择题的形式出现．10．设a＞b＞0，那么a2+的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】先利用基本不等式求得b（a﹣b）范围,进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．【解答】解：因为a＞b＞0，，所以，当且仅当，即时取等号．那么的最小值是4,故选C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立．11．已知数列｛a n}满足：a1=1，a n+1=(n∈N＊）．若b n+1=(n﹣λ)（+1），b1=﹣λ,且数列｛b n｝是单调递增数列，则实数λ的取值范为（）A．λ＞2 B．λ＞3 C．λ＜2 D．λ＜3【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】,分别令n=1，2，3，依次求出a2=，a3=，a4=，=(n﹣λ）（+1）=由此猜想a n=,并用用数学归纳法证明．由a n=．知b n+1（n﹣λ）•2n，再由b1=﹣λ，数列{b n}是单调递增数列，能求出λ的取值范围．【解答】解:∵，∴a2==，a3==,a4==，由此猜想a n=．用数学归纳法证明：①当n=1时，=1，成立；②假设n=k时，等式成立，即,===,成立．则当n=k=1时，a k+1∴a n=．=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ)•2n，∴b n+1∴b2=（1﹣λ）•2=2﹣2λ，∵b1=﹣λ,数列{b n}是单调递增数列，∴b1=﹣λ＜b2=2﹣2λ，解得λ＜2．故选C．【点评】本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题,仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用．12．若实数a，b满足，则的最大值为（)A．1 B．C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题;不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】由题意作平面区域，化简=+，从而可知是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数，从而解得．【解答】解:由题意作平面区域如下,,=+，是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数，故当过点A（，）时，k OA==3，故此时有最小值，此时有最大值=+=+=，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用及直线的斜率的应用,同时考查了化简运算．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分)13．《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为磅．【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想;转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设此等差数列为｛a n}，公差为d,可得d=10，（a3+a4+a5）×=a1+a2,解出即可得出．【解答】解：设此等差数列为{a n}，公差为d,则d=10，(a3+a4+a5)×=a1+a2,即=2a1+d．解得a1=，d=．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°,则塔AB的高是米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题．【分析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有,在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=60°，AB=x, 从而有，在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得,可得,=则x=10故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用,解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．15．已知{a n}是由正数组成的数列,前n项和为S n，且满足:a n+=(n≥1，n∈N+），则a n=n．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想;等差数列与等比数列．【分析】a n+=(n≥1，n∈N+）,n=1时，a1+=,解得a1．n≥2时，平方相减可得﹣=2a n，化为:（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，可得a n﹣a n﹣1=1,再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+=（n≥1，n∈N+），∴n=1时，a1+=，解得a1=1,n≥2时，=2S n+，=2，∴﹣=2a n,化为：﹣=0,∴(a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1,∴数列｛a n｝是等差数列，首项为1,公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．故答案为:n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．若对于任意实数x,｜x+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想;转化法；函数的性质及应用．【分析】利用绝对值的几何意义求解．【解答】解：由题意:|x+a|﹣｜x+1｜表示数轴上的x对应点到﹣a对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，故它的最大值为|a﹣1|．由于对于任意实数x,有|x+a｜﹣|x+1|＜2a恒成立，可得｜a﹣1｜＜2a，解得：a．∴实数a的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查了绝对值的几何意义．属于基础题．17．设f(x）=,则f(﹣5）+f（﹣4）+…f(0）+…+f（5）+f（6）的值为．【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；探究型．【分析】此题数值较多，探究其形式发现，此十二个数的自变量可分为六组,每组的自变量的和为1，故解题思路寻求到﹣﹣即验证自变量的和为1时,两数的函数值的和是多少．【解答】解:令x+y=1，则f(x）+f（y）=+=+=+=+=（1+）═×=故f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0)+…+f(5）+f（6)=6×=3故应填3【点评】本题考查根据题设条件探究规律的能力与意识，此类题最明显的标志是数据较多,一一求值运算较繁,如果想到了探究其规律,则会使解题过程变得简单，请注意此类题的特征及做题方式．18．研究问题:“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0，令y=，则y∈（，1），所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（，1）”．类比上述解法，已知关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）(2，3），则关于x的不等式+＜0的解集为（﹣，﹣)∪（，1）．【考点】类比推理．【专题】综合题;转化思想；演绎法；推理和证明．【分析】先明白题目所给解答的方法，然后依照所给定义解答题目即可．【解答】解：关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2,﹣1）∪（2，3），用﹣替换x,不等式可以化为:+＜0,可得﹣∈（﹣2，﹣1）∪（2，3），可得﹣＜x＜﹣或＜x＜1．故答案为：（﹣，﹣）∪（,1）．【点评】本题是创新题目,考查理解能力，读懂题意是解答本题关键，将方程问题和不等式问题进行转化是解答本题的关键．三、解答题（共5小题，满分54分）19．（12分）（2016春•眉山期末）已知｛a n}是由正数组成的等比数列,a2=2，且a4，3a3，a5成等差数列．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2)数列{a n+1﹣λa n}的前n项和为S n,若S n=2n﹣1(n∈N*），求实数λ的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；定义法;转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系求出公比即可,（2)根据等比数列的求和公式利用分组法求出S n的值，利用对比法进行求解即可．【解答】解：（1）∵a2=2，且a4，3a3，a5成等差数列．∴a4+a5=2×3a3,即qa3+q2a3=6a3，即q2+q﹣6=0，得q=2或q=﹣3，∵｛a n}是由正数组成的等比数列，∴q＞0，即q=2，则a n=a2q n﹣2=2•2n﹣2=2n﹣1．（2）∵数列｛a n+1﹣λa n｝的前n项和为S n，∴S n=（a2+a3+a4+…+a n+1）﹣λ（a1+a2+a3+a4+…+a n)=﹣λ•=2（2n﹣1）﹣λ(2n﹣1)=(2n﹣1）（2﹣λ），若S n=2n﹣1（n∈N*），∴S n=2n﹣1=(2n﹣1）（2﹣λ），则2﹣λ=1,则λ=1．【点评】本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算,根据方程组法求出公比是解决本题的关键．20．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB,△ABC的外接圆半径为，（1）求角C;（2）求△ABC面积S的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC 的值,由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；(2)由C的度数求出A+B的度数,用A表示出B,利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入,利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．【解答】解:（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2(a2﹣c2）=2b（a﹣b)，整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab，∵c2=a2+b2﹣2abcosC,即a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=ab，即cosC=，则C=；（2）∵C=,∴A+B=，即B=﹣A，∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，=absinC=absin=×2sinA×2sinB×∴S△ABC=2sinAsinB=2sinAsin(﹣A）=2sinA（cosA+sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A+（1﹣cos2A)=sin2A﹣cos2A+=sin(2A﹣)+,=．则当2A﹣=，即A=时，S△ABCmax【点评】此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式,以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．(1）已知a、b∈R+,且a+b=3，求ab2的最大值．(2）设函数f（x）=｜2x+1｜﹣|x﹣2|，求不等式f（x)＞2的解集．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【专题】转化思想；转化法;不等式．【分析】（1）化简得a=3﹣b，0＜b＜3；从而可得f(b）=ab2=（3﹣b）b2=﹣b3+3b，f′（b）=﹣3b2+3=﹣3(b+1）（b﹣1)，从而求得；（2）通过讨论x的范围,去掉绝对值,求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）解:∵a，b∈R+且a+b=3，∴a=3﹣b，0＜b＜3；f（b）=ab2=（3﹣b）b2=﹣b3+3b，f′（b）=﹣3b2+3=﹣3（b+1）（b﹣1),故f(b）在（0,1）上是增函数，在（1，3）上是减函数；（2）f（x）=，当x＜﹣时，﹣x﹣3＞2,解得：x＜﹣5,所以x＜﹣5，当﹣≤x＜2时，3x﹣1＞2，解得:x＞1，所以1＜x＜2，当x≥2时，x+3＞2，解得：x＞﹣1，所以x≥2，综上所述，不等式f（x)＞2的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞)．【点评】本题考查了导数的综合应用及单调性的判断与应用,考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．22．（10分)（2016秋•福建期中）某工厂要制造A种电子装置42台，B种电子装置55台，为了给每台装置配上一个外壳,需要从甲乙两种不同的钢板上截取．已知甲种钢板每张面积为2m2，可作A外壳3个B外壳5个；乙种钢板每张面积为3m，可作A外壳和B外壳各6个．用这两种钢板各多少张,才能使总的用料面积最小？【考点】简单线性规划的应用．【专题】综合题；转化思想;演绎法;不等式．【分析】根据已知条件中解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种的外壳分别为3x+6y个,B种的外壳分别为5x+6y个，由题意得出约束条件，及目标函数,然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解:设用甲种钢板x张,乙种钢板y张，总的用料面积为zm2由题意得：z=2x+3y且作出可行域如图:…（4分)解方程组,得A点坐标为（，）,z=2x+3y=24非整数．调整,可得最优整数解是（5，5）和（8,3)），此时z min=25．答：用甲种钢板5张，乙种钢板5张或用甲种钢板8张，乙种钢板3张才能使总的用料面积最少．…（10分）【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组,即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．23．（14分）（2015•温州二模）已知数列｛a n}满足:a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n ∈N+)．（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证｛b n}是等比数列；(Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式;（ii）求证：对于任意n∈N+都有++…++＜成立．【考点】数列的求和；等比关系的确定;数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】(Ⅰ)利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列．(Ⅱ）（i）根据(Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式．(ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．【解答】证明:（Ⅰ）已知数列｛a n｝满足：a1=1,a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n∈N+）．则:a n+1+a n=3（a n+a n﹣1）即：,所以：，数列{b n}是等比数列．（Ⅱ)（i)由于数列{b n}是等比数列．则:，整理得：所以:则:是以（)为首项，﹣1为公比的等比数列．所以：求得:（ii)由于:,所以:，则：(1）当n为奇数时，，当n为偶数时,，所以：=…++＜1++++…=1++,所以：n∈k时，对任意的k都有恒成立．【点评】本题考查的知识要点:利用定义法证明数列是等比数列，利用构造数列的方法来求数列的通项公式，放缩法的应用．。

福建师大二附中2016—2017学年第一学期高二年期中考数 学 试 卷(满分：150分，完卷时间：120分钟）一。

选择题(每题5分，共60分） 1. 若a b >，则下列正确的是（ ) A ．22ab > B ．ac bc > C ．22acbc > D ．a c b c ->-2. 等差数列{}na 中，15410,7a aa +==,则数列{}n a 的公差为（)A ．1B ． 2C ．3D ．4 3。

一船自西向东匀速航行上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ )A ．2617海里/小时 B ．634海里/小时 C ．2217海里/小时 D ．234海里/小时 4。

若集合2{4}M x x=>，3{0}1xN xx -=>+，则M N ＝（ ）A ．{2}x x <-B ．{23}x x <<C ．{23}x x x <->或D ．{3}x x >5。

已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项,B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是( ） A.A B <B. A B > C 。

A B = D.11A B< 6。

在ABC ∆中，内角A ,B ，C 对应的边分别为a ,b ，c ，若222()tan a b c C ab +-=,则角C 等于（ )A ．30 B ．60 C ．30或150 D.60或1207. 在等差数列{}na 中，若14,a a 是方程260x x --=的两根，则23a a +的值为（ )A.6 B 。

—6 C 。

—1 D.1 8. 已知数列}{na 满足10,a=*1)n a n N +=∈,则前200项的和为( )A ．0B ．3-C ．3D ．23 9. 若b a ab b a +=+则）（,log43log 24的最小值是（）A.326+ B.327+ C.346+D.347+10。

福建省师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知a ，R b ∈，下列结论成立的是( )A ．若a b <，则ac bc <B ．若a b <，c d <，则ac bd <C ．若0a b <<，则11a b> D ．若a b <，则n n a b <（n *∈N ，2n ≥） 2．下列函数中，最小值为的是( )A ．=y 32322+++x x B ．xx y 2+= C ．)0(sin 2sin π<<+=x x x y D ．xx y lg 2lg +=0(>x 且)1≠x 3．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，则64S S = ( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3 4．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，已知1596a a a -+=，则9S 的值为( )A ．54B ．45C ．27D ．185．若关于x 方程22(1)20x m x m +-+-=的一个实根小于1-，另一个实根大于1，则实数m 的取值范围是( )A．( B ．(2,0)- C ．(2,1)-D ．(0,1) 6．已知0,0>>b a ，若不等式ba mb a +≥+212恒成立，则实数m 的最大值是( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．77．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知)sin sin sin a A c C b B -=-，则角C 的大小为( ) A.34π B.4π C.3π D.2π8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足65S S <且876S S S >=，则下列结论错误．．的是( ) A ．6S 和7S 均为n S 的最大值 B ．07=a C ．公差0d < D ．59S S >9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B a A b tan tan 22=，则△ABC 的形状是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形10．已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围为( )A. (,1)-∞-B. (0,1)C. (1,)+∞D. [1,)+∞11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60A =，b =，为使此三角形有两个，则a 满足的条件是( )A. 6a <<B. 06a <<C. 0a <<D. a ≥6a =12．设数列}{n a 是集合{33|0,s ts t +≤<且,}s t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝4，a 2＝10，a 3＝12，a 4＝28，a 5＝30，a 6＝36，…. 将数列}{n a 中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表，则200a 的值为()A ．91933+B ．101933+C ．92033+D ．102033+第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知关于x 的不等式210mx nx +-<的解集为11{|,}32x x x <>或，则m n +等于 .14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30O 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75O 的方向上，仰角为30O ，则此山的高度CD =____ m.15．在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，2,1,30AB AC BAD ==∠=,则AD = . 16．已知数列{}n x 满足21||()n n n x x x n N *++=-∈，若121,(1,0)x x a a a ==≤≠，且n n x x =+3对于任意正整数n 均成立，则数列{}n x 的前2015项和2015S 的值为 .（用具体的数字表示）三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37a =，5726a a +=.（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B . （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积． 19．（本小题满分12分）某小型餐馆一天中要购买,A B 两种蔬菜，,A B 蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，A 蔬菜至少要买6公斤，B 蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，,A B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？20．(本小题满分12分)在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍. （Ⅰ）求CB ∠∠sin sin ；（Ⅱ）若22,1==DC AD ，求BD 和AC 的长. 21．(本小题满分12分)某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？22．（本小题满分14分）已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足122n n n S a +=-,其中*n ∈N ．{}n b 是等差数列； （Ⅱ）设2n n n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T <；（Ⅲ）设14(1)2n bn n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立．：。

福建师大附中2016-2017学年第一学期模块考试卷高二数学（文科）本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若a ＞b ＞0，下列不等式成立的是（***）A ．a 2＜b 2B ．a 2＜ab C ．＜1 D ．＞ 2．在△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a=，c=，∠A=，则∠C 的大小为（***） A ．或B ．或C ．D ．3．原点和点（1，1）在直线x+y ﹣a=0两侧，则a 的取值范围是（***） A ．0≤a ≤2 B ．0＜a ＜2 C ．a=0或a=2 D ．a ＜0或a ＞2 4．在△ABC 中，已知C b B c C B bc 2222sin sin cos cos 2+=，则这个三角形一定是（***） A ．等腰三角形 B ． 等腰直角三角形 C ． 直角三角形 D ． 等边三角形 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d=2，S k+2﹣S k =24，则k=（***） A ．8 B ． 7 C ． 6 D ． 5 6．下列命题正确的是（***） A ．143107+<+ B ．对任意的实数x ，都有x 3≥x 2﹣x+1恒成立．C ．()R x x x y ∈++=2224 的最小值为2 D ．y=2x （2﹣x ），（x ≥2）的最大值为2 7．已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（***） A ．15 B ．18C ．21D ．248．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小，则a 的取值范围是（***） A ．20a -<< B ．10a -<< C ．31a -<< D ．02a << 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（***） A ．尺 B ．尺C ．尺 D ．尺10.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（***）A ．10≤<a 或34≥aB ． 10≤<aC ．10<≤a 或34>a D ．10<<a11．数列{a n }的通项公式a n =ncos+1，前n 项和为S n ，则S 2014=（***）A ．1005B ．1006C ．1007D ．100812．已知单调递增数列{a n }满足a n =3n ﹣λ•2n （其中λ为常数，n ∈N +），则实数λ的取值范围是（***）A ．λ≤3B ．λ<3C ．λ≥3D ．λ>3第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答卷的相应位置. 13.已知关于x 的不等式ax 2﹣（a+1）x+b ＜0的解集是{x|1＜x ＜5}，则a+b= *** 14.设,x y R +∈且291=+yx ,则x y +的最小值为 *** 15．数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，111,3(1)n n a a S n +==≥，则n a = ***16.如图，第1个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正 三角形，并擦去中间一段，得第2个图，如此继续下去，得第3个图，……，用n a 表示第n 个图的边数，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于 ***三、解答题：本大题有6题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分） 在ABC △中，5cos 13B =-，3sin 5C = 第1个图 …第2个图第3个图（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．18.（本题满分12分） （Ⅰ）若函数2()f x x kx k =--定义域为R ，求k 的取值范围;（Ⅱ）解关于x 的不等式（x ﹣a ）（x+a ﹣1）＞0．19.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，满足22243()S a b c =+- （I ）求角C 的大小；（II ）若边长2c =，求ABC ∆的周长的最大值．20．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足122()n n n a a a n N *++=+∈，它的前n 项和为n S ，且575,28a S ==。

福建师大附中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 已知抛物线y=ax2（a>0）的焦点到准线距离为1,则a=（）A. 4B. 2C.D.4 22. 双曲线厂'二的焦点到渐近线的距离为（）4 12A. TB. 2C. -D. 11=2― 2_t3. 方程■+_+（t为参数）表示的曲线是（）A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆JT H 2 / 24 .已知0 V 0< —-，则双曲线^ ■与C2 :°cos 0 sin 8 sin 9=1的（sin2 B tan2 9A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等5 .若正数x，y满足xy2=4，则x+2y的最小值是（）A. 3 匚B. 一C. 4 二D. - U6. 下列命题：其中正确命题的个数是（）（1）若a< b，则am2< bm2”的逆命题；（2）全等三角形面积相等”的否命题；（3）若a> 1，则关于x的不等式ax2> 0的解集为R'的逆否命题; （4）命题q为假”是命题“p q为假”的充分不必要条件A. 1B. 2C. 3D. 422L,7.设R 、F 2是椭圆C ： —+_匕=1 （a >b >0）的左、右焦点，P 为直线x=- b 2 2上一点，△ RPR 是底角为30°的等腰三角形，贝U C 的离心率为（ ） A . B. ' C. D .：23458. 已知抛物线C : y 3 4 5 6=8x 的焦点为F ,准线为I , P 是I 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若="=4 ［，则| QF| =（ ）7瓦A . —B . 3C 三222 29. 已知椭圆E ：的右焦点为F （3, 0）,过点F 的直线交椭_ b若AB 的中点坐标为（1,- 1）,贝U E 的方程为（）2 2G ： —+=1 (a >b >0)与圆 C 2： x 2+/=b 2，若在椭圆 G 上不a b存在点P,使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆 Ci 的离心率的 取值范围是（）C. —D.B. B. 3C.D . 2圆E 于A 、B 两点.二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应 位置. 13•设x € Z ,集合A 是奇数集，集B 是偶数集•若命题p ： ? x € A , 2x € B ；则 命题p 的否定是 ______ .14. 过抛物线x 2=8y 焦点F 作直线I 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的 纵坐标为4,则|AB|= _____ .15. 已知双曲线x 2-y 2=1，点F i ，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若 PF 丄 PF 2,则 |PF i |+| PE| 的值为 _.2 216. 已知F 是双曲线」'二的左焦点，A （1，4），P 是双曲线右支上的动412点，则| PF+| PA|的最小值为 _____ . 17. 如图是抛物线形拱桥，当水面在I 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位 下降1米后，水面宽为—米.2 ?A.-B.CLD.1 2 「C：：'一 -，=1上的一点，F 1, F 2是C 的两个焦2点，若叮"叮v 0,则y o 的取值范围是（ ）A 」_ _ _C " -D -一11.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已 知| AB| =4 7,10.已知M （x o , y o ）是双曲线B - 7一D .二二| DE|=2匚则C 的焦点到准线的距离为（ A . 2 B. 4C. 6 D . 812.已知椭圆418. A ABC的顶点A （- 5，0），B （5，0），^ ABC的内切圆圆心在直线x=3 上，则顶点C的轨迹方程是—.三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤■2 v219. （12分）已知命题P：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q:Zm y —m双曲线J —二=1的离心率e€ (害“若p或q为真命题，p且q为假5 m 2命题，求实数m的取值范围.20. (10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点Q( 1，2)，P是动点，且厶POQ 的三边所在直线的斜率满足丁［+,..=』？•(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点F (1, 0)作倾斜角为60°勺直线L,交曲线C于A, B两点，求△ AOB 的面积.2 221. (14分)已知椭圆C: 「「=1 (a>b>0)的顶点B到左焦点F1的距离a b〜为2,离心率e=.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M , N (M , N不与左、右顶点重合)，试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.［选修4-4 :坐标系与参数方程］r』a22. ( 12分)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为’_" ( a为参|y=sinCt数)，M为C1上的动点，P点满足=2 ”，点P的轨迹为曲线C2.(I)求C2的普通方程；(n)设点(x, y)在曲线C2上，求x+2y的取值范围.[ 选修4-5 ：不等式选讲] 23．(12分)已知函数f(x)=| x+1| ．(I)求不等式f (x)v |2x+1| - 1的解集M ;(U)设a, b€ M，证明：f (ab)> f (a) - f (- b)科）参考答案与试题解析、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求.1.已知抛物线y=ax 6 （a >0）的焦点到准线距离为1,则a=（ ）A . 4B. 2C. 'D .抛物线的简单性质.6 22.双曲线丁'二的焦点到渐近线的距离为（71JL £A .「一B. 2 C. ― D . 1【考点】双曲线的简单性质.2016-2017学年福建师大附中高（上）期末数学试卷（理【考点】 【分析】 (a > 0) 【解答】抛物线y=a« （a >0）化为「一丄•.-，可得1 .再利用抛物线y=a«a 4a•••焦点到准线距离为丁_，• 1，故选D.【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.即可求出结论.【解答】解：由题得：其焦点坐标为（-4, 0），（4，0），渐近线方程为y=【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程, 再代入点到直线的距离公式所以焦点到其渐近线的距离d= =2二 故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离 公式的应用，属于基础题.3 •方程 "（t 为参数）表示的曲线是（）7=2^2 tA .双曲线B .双曲线的上支C.双曲线的下支 D .圆【考点】参数方程化成普通方程.【分析】方程亠+ （t 为参数），消去参数，即可得出表示的曲线【解答】解：』（t 为参数），可得 x+y=2?2，y — x=2?2 ，I 尸2沖2、•••（x+y ）（y — x ） =4 （y >x >0）, 即卩 y 2— x 2=4 （y >x >0）,f x =27 _ 2 _亡•方程■ （t 为参数）表示的曲线是双曲线的上支，故选B .【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化， 考查学生的计算能力，比较基础.焦距2,离心率 _ ,cos y=1的（A .实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等 D .离心率相等【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案.4 .已知兀0 v 0< —，则双曲线x 2cos 28 sin 2e•与C :2 2双曲线c9：—暫一 ----- 戶--- r—=1的实轴长为2sin 0虚轴长2sin 9 tan, 9 sin2B sin20 tan"日焦距2tan 0,离心率,,COS w故它们的离心率相同.故选D.【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题.5 .若正数x, y满足xy2=4,则x+2y的最小值是( )A. 3 UB. - 二C. 4 二D.-弓【考点】基本不等式.【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.4【解答】解：•••正数x, y满足xy2=4,A x=.y则x+2y=—：“+2y=—，+y+y-丁= -匚，当且仅当y=二,x=2 时取等号. y y Vy ••• x+2y的最小值是-匚，故选：A.【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6. 下列命题：其中正确命题的个数是()(1)若a< b,则am2< bm2”的逆命题；(2)全等三角形面积相等”的否命题；(3)若a> 1,则关于x的不等式ax2> 0的解集为R'的逆否命题;(4)命题“p q为假”是命题“p q为假”的充分不必要条件”A. 1B. 2C. 3D. 4【考点】命题的真假判断与应用.【分析】(1)原命题的逆命题为：若am2< bm2,则a< b”，当m=0时不正确；(2)原命题的否命题为：不全等三角形面积不相等”，即可判断出正误；(3)由于原命题正确，因此其逆否命题也正确；(4)命题“M q为假”？命题“叭q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p V q为真，即可判断出正误.【解答】解：(1)若a< b，则am2< bm2”的逆命题为：若am2< bm2，则a< b”，当m=0时不正确；(2)全等三角形面积相等”的否命题为：不全等三角形面积不相等”，不正确；(3)若a> 1,则关于x的不等式ax2> 0的解集为R'正确，因此其逆否命题也正确；(4)命题“p q为假”？命题“叭q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p V q为真••••命题“V q为假”是命题“p q为假”的充分不必要条件”，正确.综上可知：正确的命题只有(3)( 4).故选：B.【点评】本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7. 设F i、F2是椭圆C: =1 (a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=-一a b /上一点，△ RPD是底角为30°的等腰三角形，贝U C的离心率为( )A 1 c 2 c f 4B.「C.D.，-【考点】椭圆的简单性质.【分析】由AR PR是底角为30°的等腰三角形，得| PF| =| F1F2I且/ PFF2=120°, 3设沪亠子飞交x轴于点M，可得|PF|=2|RM|，由此建立关于a、c的等式，解之即可求得椭圆E的离心率.3【解答】解：设工一三二交x轴于点M，•••△ RP冃是底角为30°的等腰三角形•••/ PFF2=120°, |PF|=|F2F1|，且| PR| =2| RM| ....P为直线工1—.二上一点，••• 2 (- c+—) =2c,解之得3a=4c•••椭圆E的离心率为e===.a 4故选：C【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率.着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题.8 •已知抛物线C: y2=8x的焦点为F,准线为I, P是I上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若祚=4瓦，则| QF =( )7 瓦A. ,B. 3C.D. 2【考点】抛物线的简单性质.【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用| QF| =d可求.【解答】解：设Q到I的距离为d，则| QF =d，「: =4 '，•| PQ =3d，•不妨设直线PF的斜率为-—^ =-2 7，d••• F (2, 0)，•直线PF的方程为y=-2 - (x-2)，与y2=8x联立可得x=1，•| QF| =d=1+2=3，故选：B.【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础 题.2 29. 已知椭圆E ： .：： 的右焦点为F （3, 0），过点F 的直线交椭2 L若AB 的中点坐标为（1，— 1），贝U E 的方程为（）为a 2=2b 2，再利用c=3= 「］,即可解得a 2, b 2.进而得到椭圆的方程. 【解答】解：设 A （x i ，y i ），B （X 2，y 2），2 2a 2b 2_12 2 ， la 2b 22 2 2 _ 2 相减得…. ab圆E 于A 、B 两点.B.2眾#+fr =1D.2 “2話讣1【考点】椭圆的标准方程.【分析】设A （ x i ，y i ），B （ X 2，y 2），代入椭圆方程得“ a 22 x 2~2 a一），利用点差b 2法”可得,=o .利用中点坐标公式可得 b 2 x i +X 2=2,y i +y 2= —2,利用斜率计算公式可得•y t - -i-o I「于是得到代入椭圆方程得.冲+二冲=。

福建省师大附中2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题福建师大附中2016-2017学年第一学期模块考试卷高二数学必修5(理科) 命题人：黄晓滨（满分：150分，时间：120分钟）审核人：江泽说明：试卷分第I卷和第II卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.第I卷共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若a＞b＞0，下列不等式成立的是（***** ）A．a2＜b2 B．a2＜ab C．＜1 D．＞2．原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是（***** ）A．0≤a≤23．在?ABC中，AB．0＜a＜2 C．a=0或a=2 D．a＜0或a＞2 ***** ）AB?1,AC??A?600，则?ABC的面积为（B．3CD4．等比数列{an}4C．8 D．2+log35，c=，∠A= ，的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（***** ）A．12 B．10 5．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=则∠C的大小为（***** ）A．或B．或C．D．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．2若sin B?sin C=sinA，则△ABC的形状是（***** ）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（***** ）A．尺B．尺C．尺D．尺8.若{an}是等差数列，首项a1?0,a1007?a1008?0,a1007?a1008?0,则使前n项和Sn?0成立的最大自然数n是( ***** )A．2 012 B．2 013 C．2 014D．2 0159.若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（***** ）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．71y满足+=1，10．若两个正实数x，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（******* ）A．(?1,4) B．(??,?1)?(4,??) C．(?4,1) D．(??,0)?(3,??) 11．已知函数f（x）=4x2﹣1，若数列{A．B．1前n项和为Sn，则S2015的值为（*****）f(n) D．C．12．已知数列{an}，{bn}满足a1?1，的n为（******* ）an?11?，anbn?1，则使bn?101的最小an3an?2D．7 A．4 B．5 C．6第Ⅱ卷共90分二、填空题：（每小题5分，共30分）13．在数列{an}中，a1??2,an?1?1?an, 则a2016?. 1?an14．若x?3?x?5?a对于任意x?R均成立，则实数a的取值范围******* .15．设a,b?R?，且a?b?2,则ab2的最大值为16．在数列{an}中，a1?1,an?1?an?2n,n?N?,则an??y?xy2?2xy?3x2?17．已知x，y满足?x?y?4，则的取值范围为******* ．2x?x?1?18．如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求?ACB?600，BC的长度大于1米，且AC比AB 长0.5米为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为.三、解答题：（本大题共5小题，共60分）19．（本小题满分12分）已知函数f(x)?x?a?x?2（1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；2 C B（2）若f(x)?x?4的解集包含[1,2]，求a的取值范围.20.（本小题满分12分）、C是三内角，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知在?ABC中，A、B2A?sin2C)?(a?b)sinB，?ABC(1) 求角C；(2) 求?ABC面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知数列{an}是单调递增的等差数列，首项a1?3，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1?1，且a2b2?12，S3?b2?20．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）求{anbn}的前n项和Tn．22．（本小题满分12分）某企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为210元，生产一件产品B的利润为90元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为多少元.23．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an?Sn?1?2 (n?2)，a1?2．（1）求数列{an}的通项公式；3（2）设bn?1,T=b+b+…+b2n，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有log2annn+1n+2Tn＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 4福建师大附中2016-2017学年第一学期模块考试卷解答一、选择题：C B B B D；CACBB；DC第Ⅱ卷共90分三、填空题：13．3 ；14．a?8 15．32 16．2n?1 17．[2,6] 18．2?27三、解答题：（本大题共5小题，共60分）19．（本小题满分12分）（1）当a??3时，f(x)?3?x?3?x?2?3x?2x?3??2?x?3? ??或??或??3?x?2?x?33?x?x?2?3x?3?x?2?3????x?1或x?4，解集为{x|x?4或x?1}.（2）原命题?f(x)?x?4在[1,2]上恒成立?x?a?2?x?4?x在[1,2]上恒成立??2?x?a?2?x在[1,2]上恒成立??3?a?020.（本小题满分12分）解：(1)由已知，由正弦定理得：2a2?c2?ab?b，a2cb)?()2]?(a?b)，因为R，所以2R2R2R2abcosC?ab，a2?b2?c2?ab，即：由余弦定理得：所以cosC?(2)由正弦定理得：c?2RsinC?sin所以a?b?6?ab?2ab，即：ab?6所以S=221?．又0?C??，所以C=．23?3?a2?b2?ab?6 11a?b?S absinC??6?2221．（本小题满分12分）解：（1）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②可得，（3d+7）（d﹣3）=0∵{an}是单调递增的等差数列，d＞0．则d=3，q=2，∴an=3+（n﹣1）×3=3n，bn=2n﹣1…5（2）Tn=3?1+6?2+9?4+…+3n?2n﹣1，①2Tn=3?2+6?4+9?8+…+3n?2n，②①﹣②得：?Tn=3+3（2+4+…+2n﹣1）-3n?2n=3（1+2+4+…+2n﹣1）-3n?2n 1?2n=3-3n?2n 1?2∴Tn=3+3（n﹣1）?2n22．（本小题满分12分）y解：设生产产品A、产品B分别为x、件，利润之和为z元，那么由题意得约束条件：?1.5x?0.5y?150, ?x?0.3y?90,? ??5x?3y?600, ?x…0, ? ??y…0.目标函数z?2100x?900y.?3x?y?300,约束条件等价于?10 x?3y?900,①?? ?5x?3y?600, ?x…0,? ??y…0.作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7z7y??x?y??x3900，作直线：3并平移，当直线将z?2100x?900y 变形，得7zy??x?3900经过点M时，z 取得最大值.6?10x?3y?900?解方程组?5x?3y?600，得M的坐标为(60,100).所以当x?60，y?100时，z?210?60?90?100?21600. max故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为21600元.23．（本小题满分12分）解：（1）由已知an=Sn﹣1+2，①an+1=Sn+2，②②﹣①，得an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1 （n≥2），∴an+1=2an （n≥2）．又a1=2，∴a2=a1+2=4=2a1，∴an+1=2an （n=1，2，3，…）∴数列{an}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，∴an=2?2n﹣1=2n．（2）bn===，∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2（n+1）=++…+++++…+，+﹣．∴Tn+1﹣Tn===．∵n是正整数，∴Tn+1﹣Tn＞0，即Tn+1＞Tn．∴数列{Tn}是一个单调递增数列，又T1=b2=，∴Tn≥T1=，要使Tn＞恒成立，则有＞，即k＜6，恒成立．又k是正整数，故存在最大正整数k=5使Tn＞7。