实验3_离散信号的DTFT和DFT

数字信号处理实验报告实验1 常见离散信号的MATLAB产生和图形显示【实验目的】加深对常用离散信号的理解；【实验内容】（1）单位抽样序列（取100个点）程序设计：N=100;x=[1 zeros(1,N-1)];stem(0:N-1,x)结果（2）单位阶跃序列（取100个点）程序设计：N=100;x=ones(1,N);stem(0:99,x);axis([0 100 0 2])结果102030405060708090100（3） 正弦序列（取100个点） 程序设计： N=100; n=0:99; f=100; Fs=1000; fai=0.2*pi; A=2;x=A*sin(2*pi*f*n/Fs+fai); stem(n,x); grid 结果0102030405060708090100（4）复正弦序列（取100个点）程序设计：N=100;n=0:99;w=0.2*pi;x=exp(j*w*n);stem(n,x);结果（5）复指数序列（取41个点）程序设计：>> n=0:40;>> c=-0.02+0.2*pi*i;>> x=exp(c*n);>> subplot(2,1,1);>> stem(n,real(x));>> subplot(2,1,2);>> stem(n,imag(x));结果05101520253035400510152025303540（上部为实部，下部为虚部）（6）指数序列（取100个点）程序设计：>> n=0:99;>> a=0.5;>> x=a.^n;>> stem(n,x);结果：【实验要求】讨论复指数序列的性质。

由（5）的图形结果可以看出，复指数序列实部和虚部均为按指数衰减（上升）的序列，两者的均是震荡的，实部震荡周期与指数的实部有关，虚部震荡周期与指数的实虚部有关。

三、离散傅立叶变换（DFT)---有限长序列的离散频谱表示1三、离散傅立叶变换（DFT) ----有限长序列的离散频谱表示从有限长序列的DTFT到DFT 从DFS到DFT DFT的性质21、从有限长序列的DTFT到DFT X (e ) = ∑ x ( n)e = X (Ω )jΩ N −1 n =0 − jΩn非周期信号的频谱都是频率的连续函数，无法用 计算机进行计算。

离散信号的DTFT，它是Ω的连续周期函数，尽 管在理论上有重要意义，但在计算机上实现有困 难。

为此，需要一种时域和频域上都是离散的傅 里叶变换对，实现计算机的快速计算，这就是离 散傅里叶变换 DFT。

31 x ( n) = 2π∫2π0X (Ω)ejΩndΩ能量有限、时间长度为L的有限长序列的DTFT为X (Ω) = ∑ x(n)e − jΩnkΩ0 = k2π / N →Ω频率离散化L −1 2π ) = ∑ x(n)e − jk 2π n / N X (k N n=0n =0 L −1频率采样点数N已知，2π/N为定数X ( k ) = ∑ x ( n )en=0L −1− jk 2π n / NN点DFT是有限长序 列（L≤N)的DTFT 的N点均匀取样值， 也就是非周期序列 频谱的样值。

42、从DFS到DFTπ 1 N −1 1 N −1 − j 2N nk − % (k ) = % N ( n )e % N (n) wNnk XN = ∑x ∑x N n=0 N n=0 DFS: 2π N −1 N −1 j kn % (k )e N = X (k ) wnk % % x ( n) = XN∑k =0N∑k =0NN% 为了计算的方便，通常将1/N移到 xN (n)中，而且二者所具有的物理意义和性质都相同% X N (k ) =% ∑xn=0N −1N −1N( n )ejπ − j 2N nk1 % % x N ( n ) = ∑ X N ( k )e N k =02π kn N52、从DFS到DFT设DFS % xN (n) ←⎯⎯ X N (k ) → %,令RN(n) 为矩形 % ⎧ X N (k ), k = 0 ~ N − 1 序列 % X (k ) = RN (k ) X N (k ) = ⎨ 0, k = 其他 ⎩% ⎧ xN (n), n = 0 ~ N − 1 % x(n) = RN (n) xN (n) = ⎨ 0, n = 其他 ⎩DFT又可看作以 有限长序列x(n) 为一个周期，进 行周期延拓后所 形成的周期序列 xp(n)的离散频谱x(n)、X(k)分别称作X ( k ) = ∑ x ( n) wn=0 N −1 − nk N% % xN (n)、X N (k ) 的主值1 x ( n) = Nnk X (k ) wN ∑ k =0 N −1DFTIDFT6x p (n)−Nn0DFSX p (k )N2N−N 20x(n)0N 2NknNDFTX (k )0Nk7DFT小结DFT 是 DFS 的主值序列 DFS 是严格按傅立叶分析的概念得来的 DFT 只是一种借用形式，一种算法 用DFT 计算信号的频谱时 采样频率必须大于两倍的信号最高截止 频率 对周期信号要取一个整周期83、DFT的性质线性 对称性 圆周位移 圆周卷积9(1) 线性若DFT x1 (n) ←⎯⎯ X 1 (k ) →DFT x2 (n) ←⎯⎯ X 2 (k ) →如果x1(n)、x2(n) 如果x1(n)、x2(n) 长度不同，长度 长度不同，长度 短的序列要补 短的序列要补 零，使它与另一 零，使它与另一 序列长度相同 序列长度相同那么DFT ax1 (n) + bx2 (n) ←⎯⎯ aX 1 ( k ) + bX 2 ( k ) →1011(2)对称性若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性：若x(n)为虚序列，则X(k)具有共轭反对称性：(N-k)mod N 表示“N －k 对N 取模”，即：如果N －k 写成N-k=qN+l ，q 、l 为整数，，则有()()(()mod )X k X k X N k N ∗∗=−=−()()(()mod )X k X k X N k N ∗∗=−−=−−0l N ≤≤()mod N k N l−=12(3)圆周位移序列x(n)的圆周位移定义 n 0是位移值，R N (n)是矩形序列%00(()mod )()()()N N N x n n N R n x n n R n −=−圆周位移的概念n若)()()(k H k X k Y =17例6计算x 1(n)、x 2(n)的N 点圆周乘积，其中解：x 1(n)、x 2(n)的N 点DFT 为11200()()0N nk Nn N k X k X k w −−==⎧===⎨⎩∑其他12101()()0n N x n x n ≤≤−⎧==⎨⎩其他 因此，有2120()()()0k N X k X k X k =⎧===⎨⎩其他x 1(n)、x 2(n)的N 点圆周卷积是X(k)的反DFT 变换01()0n N N x n ≤≤−⎧=⎨⎩其他频域圆周卷积定理若19四、快速傅立叶变换（FFT）DFT 的计算量DFT 的特点FFT 的基本思想FFT 应用中的注意事项1 DFT22π222、DFT 的特点（3）由于DFT 计算量与N 成几何级数增长，可以将长序列分解成多个短序列信号，然后分别求各个短序列的DFT ，最后将它们组合，得到原序列的DFT 。

实验一 离散时间系统的时域分析一、实验目的１. 运用MATLAB 仿真一些简单的离散时间系统，并研究它们的时域特性。

２. 运用MATLAB 中的卷积运算计算系统的输出序列，加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。

二、实验原理离散时间系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 00][][当输入信号为冲激信号时，系统的输出记为系统单位冲激响应 ][][n h n →δ，则系统响应为如下的卷积计算式：∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当h[n]是有限长度的（n ：[0，M]）时，称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。

在MA TLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数 y=Conv(x,h)计算卷积。

例1clf;n=0:40;a=1;b=2;x1= 0.1*n;x2=sin(2*pi*n);x=a*x1+b*x2;num=[1, 0.5,3];den=[2 -3 0.1];ic=[0 0]; %设置零初始条件y1=filter(num,den,x1,ic); %计算输入为x1(n)时的输出y1(n)y2=filter(num,den,x2,ic); %计算输入为x2(n)时的输出y2(n)y=filter(num,den,x,ic); %计算输入为x (n)时的输出y(n)yt= a*y1+b*y2;%画出输出信号subplot(2,1,1)stem(n,y);ylabel(‘振幅’)；title(‘加权输入a*x1+b*x2的输出’)；subplot(2,1,2)stem(n,yt);ylabel(‘振幅’)；title(‘加权输出a*y1+b*y2’)；(一)、线性和非线性系统对线性离散时间系统，若)(1n y 和)(2n y 分别是输入序列)(1n x 和)(2n x 的响应，则输入)()()(21n bx n ax n x +=的输出响应为)()()(21n by n ay n y +=，即符合叠加性，其中对任意常量a 和b 以及任意输入)(1n x 和)(2n x 都成立，否则为非线性系统。

实验三 离散信号的DTFT 和DFT一、实验目的：加深对离散信号的DTFT 和DFT 的及其相互关系的理解。

DFT-Discrete Fourier Transform 离散傅立叶变换DTFT- Discrete Time Fourier Transform 离散时间傅立叶变换二、实验原理：1、傅里叶级数任何周期函数都可以用正弦函数的级数表示，有周期函数： )2()(L x f x f +=那么： ∑∞=++=10)sin cos (2)(k k k Lxk b L x k a a x f ππ根据欧拉公式： )(2-)(21)sin(Lx k jLx k jLx k jLxk jeej eejL x k πππππ---=-=，)(21)cos(Lx k j Lxk je eL x k πππ-+=可以得：∑∞=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10222)(k L xk j L x k j n L x k j L x k j ne e bj e e a a x f ππππ ∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=10222k L x k j nn L x k j n n e jb a e jb a a ππ 将20a 看成L x j e c c π000=，2n n n jb a c -=，2nn n jb a c -=-则傅里叶级数的复指数形式： ∑∞-∞==k Lxk jkec x f )()(π或者：dx e x f L c Lxk j LLk π--⎰=)(21复指数序列n jw e n x 0)(=定义，角频率Lk πω=0。

2、离散时间傅里叶变换DTFT计算机只能处理数字信号，首先需要将模拟信号在时域离散化，即在时域对模拟信号采样， 再根据在一个域的相乘等于另一个域的卷积，得到序列x[n] 的DTFT 定义：∑=∞-∞=-n jn ωj ωx[n]e )X(e)(n x 是离散时间信号，得到的频谱是连续的。

实验一 常见离散信号的MATLAB 产生和图形显示实验目的：加深对常用离散信号的理解； 实验原理：1．单位抽样序列⎩⎨⎧=01)(n δ≠=n n 在MATLAB 中可以利用zeros()函数实现。

;1)1();,1(==x N zeros x如果)(n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到)(k n -δ即：⎩⎨⎧=-01)(k n δ≠=n kn2．单位阶跃序列⎩⎨⎧01)(n u00<≥n n 在MATLAB 中可以利用ones()函数实现。

);,1(N ones x =3．正弦序列)/2sin()(ϕπ+=Fs fn A n x在MATLAB 中)/***2sin(*1:0fai Fs n f pi A x N n +=-=4．复正弦序列n j e n x ϖ=)(在MATLAB 中)**ex p(1:0n w j x N n =-=5．指数序列n a n x =)(在MATLAB 中na x N n .^1:0=-=实验内容：编制程序产生上述5种信号（长度可输入确定），并绘出其图形。

实验要求：讨论复指数序列的性质。

实验过程： 1. 单位冲击序列：>> n=0:10;>> x1=[1 zeros(1,10)];>> x2=[zeros(1,8) 1 zeros(1,8)]; >> subplot(1,2,1); >> stem(n,x1);>> xlabel ('时间序列n'); >> ylabel('幅度');>> title('单位冲激序列δ（n ）'); >> subplot(1,2,2); >> stem(x2);>> xlabel('时间序列n'); >> ylabel('幅度');>> title('延时了8个单位的冲激序列δ（n-8）'); >>>> n=0:10;>> u=[ones(1,11)];>> stem(n,u);>> xlabel ('时间序列n');>> ylabel('信号幅度');>> title('单位阶跃序列u（n）');>>3.正弦序列：>> n=1:30;>> x=2*sin(pi*n/6+pi/4);>> stem(n,x);>> xlabel ('时间序列n');>> ylabel('振幅');>> title('正弦函数序列x=2*sin(pi*n/6+pi/4)'); >>>> n=1:30;>> x=5*exp(j*3*n);>> stem(n,x);>> xlabel ('时间序列n');>> ylabel('振幅');>> title('复指数序列x=5*exp(j*3*n)');>>5.指数序列：>> n=1:30;>> x=1.8.^n;>> stem(n,x);>> xlabel ('时间序列n');>> ylabel('振幅');>> title('指数序列x=1.8.^n');>>复指数序列的周期性讨论：为了研究复指数序列的周期性质，我们分别作了正弦函数x1=1.5sin(0.3πn)和x2=sin(0.6n); 的幅度特性图像。

信息科学与技术学院实验报告一、实验综述1、实验目的及要求应用离散傅里叶级变换（DFT），分析离散信号想x[k]的频谱。

深刻理解DFT分析离散信号频谱的原理。

掌握改善分析过程中产生的误差的方法。

2、实验仪器、设备或软件计算机，MATB7.4.0二、实验过程（实验步骤、数据记录）1、验证性试验。

2、程序设计试验。

⑴周期序列由3个频率组成，x[k]=cos（7πk/16）+cos(9πk/16)+cos(πk/2),利用FFT分析频谱。

如何选取FFT的点数计算N？这三个频率分别对应FFT计算结果X [m]的哪些点？若选取的N不合适，FFT计算的频率X[m]会出现什么情况？⑵离散序列x[k]=cos(2πk/16)+0.75cos(2.3πk/15),0≤k≤63，利用FFT分析其频谱。

①对x[k]做N=64点FFT，绘制信号的频率，能够分辨出其中的两个频谱吗？②对x[k]补零到N=256点后计算FFT，能够分辨出1其中的两个频率吗？③选用非矩形窗计算FFT，能够分辨出其中的两个频率吗？④若不能够很好的分辨出其中的两个频率，应采取哪些措施？三、结论1、实验结果1、证性试验：2、程序设计实验：⑴①N应该选取所有因子的公倍数32；②该周期N=32，基频 W0=p/16；N=32;k=0:N-1;x=cos(pi*7*k/16)+cos(9*pi*k/16)+cos(8*pi*k/16); X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency(rad)');subplot(2,1,2);stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));ylabel('Phase');③若N的值选取不合适，则无法区分两个频率。

⑵可以分辨出两个频率，如下：①该周期N=64，基频w0=p/15；N=64;k=0:N-1;x=cos(pi*2/15*k)+0.75*cos(2.3*pi/16*k);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency(rad)');subplot(2,1,2);stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));ylabel('Phase');xlabel('Frequency(rad)');②对x[k]补零到256点后计算FFT；可以分辨出两个频率，如下：N=256;k=0:N-1;x=cos(pi*2*k/15)+0.75*cos(2.3*pi*k/15);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency(rad)');subplot(2,1,2);stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));ylabel('Phase');xlabel('Frequency(rad)');③采用窗函数，可以分辨出两个频率，如下：汉宁窗：N=64;w=hanning(N);k=0:N-1;n=cos(pi*2*k/15)+0.75*cos(2.3*pi*k/15);a=w.*n';X=fft(a,N);subplot(2,1,1);stem(k,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency(rad)');subplot(2,1,2);stem(k,angle(fftshift(X)));ylabel('Phase');xlabel('Frequency(rad)');汉明窗：N=64;w=hamming(N);k=0:N-1;n=cos(pi*2/15*k)+0.75*cos(2.3*pi/15*k);a=w.*n';X=fft(a,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency(rad)');subplot(2,1,2);stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));ylabel('Phase');xlabel('Frequency(rad)');④应该增加N的值，使其为因子周期的公倍数。

实验4 离散信号的DTFT 和DFT 及其FFT 算法的应用实验目的：1 加深对离散信号的DTFT 和DFT 及其相互关系的理解。

2 加深对离散信号的FFT 算法的运用。

实验原理：1 序列x[n]的DTFT 定义：∑=∞-∞=-n jn ωj ωx[n]e)X(eN 点序列x[n]的DFT 定义：∑∑-=-=-===1122][][)(][N n knNN n knNjkN j W n x en x eX k X ππ在MATLAB 中，对形式为ωωωωωωωjN N j jM M j j j j ed ed de p e p p eD e p eX ----++++++==......)()()(1010的DTDFT 可以用函数H=Freqz （num ，den ，w ）计算；可以用函数U=fft （u ，N ）和u=ifft （U ，N ）计算N 点序列的DFT 正、反变换。

2 N 点序列的DFT 和IDFT 变换定义式如下：1[][]N k nNn X k x n W -==∑， 11[][]N k nNk x n X k W N--==∑利用旋转因子2j n kk nNNW eπ-=具有周期性，可以得到快速算法（FFT ）。

在MATLAB 中，可以用函数X=fft （x ，N ）和x=ifft （X ，N ）计算N 点序列的DFT 正、反变换。

实验内容：1、分别计算16点序列 150,165cos)(≤≤=n n n x π的16点和32点DFT ，绘出幅度谱图形，并绘出该序列的DTFT 图形。

2、2N 点实数序列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=+=n N n n Nn N n x 其它,012,...,2,1,0),192cos(21)72cos()(ππ N=64。

用一个64点的复数FFT 程序，一次算出N n x DFT k X 2)]([)(=，并绘出)(k X 。

3、已知某序列)(n x 在单位圆上的N=64等分样点的Z 变换为63,...,2,1,0,8.011)()(/2=-==-k ek X z X Nk j k π用N 点IFFT 程序计算)]([)(_k X IDFT n x =，绘出)(_n x 。