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第二十六章反比例函数26.1.2 反比例函数的图象与性质(1)【教学目标】1.会用描点法画出反比例函数的图象,归纳得到反比例函数的图象特征和性质.2.在类比探究中，体会“分类讨论”“数形结合”“从特殊到一般”的数学思想. 【教学重难点】重点：由反比例函数的图象，并结合解析式，探究反比例函数的性质.难点：结合图象，综合运用反比例函数的性质解决问题．【教学过程】对称地取值.2. 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点．3. 连线：用光滑的曲线从左至右顺次连接各点，即可得反比例函数的图象．k新知探究 2：反比例函数 y =(k > 0) 时的性质.x观察反比例函数 y = 6 与 y = 12的图象，x x回答下面的问题：(1) 每个函数的图象分别位于哪些象限？均分别位于第一、第三象限.（2）在每一个象限内,随着的增大, y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小.理由：在每个象限内，当 x 的取值逐渐增大时，由解析式计算出来的 y 值逐渐减小. (3) 对于所有的反比例函数 y = k(k > 0),你能得出同样的x 结论吗？通过观看视频，总结 y = k(k > 0)的图象特征和性质.x从特殊到一般当 k > 0 时，由反比例函数 y =k(k > 0)的x图象，并结合解析式，我们可以发现： (1)函数图象分别位于第一、第三象 限；(2)在每一个象限内，y 随 x 的增大而 减小.学生感受“形”的特征，类比对 一 次函数 y = kx (k ≠ 0)图象和性质的学习， 容易观察得到函数图象的形 状、位置和变化趋势，对反 比例函数的图象和性质形成 初步的印象.函数的表示法有解析式 法、列表法和图象法。
函数 图象是研究函数性质的直观载体，从图象上较容易整体 把握函数的性质，但是难以 深入局部和细节；而解析式 可以对函数性质进行无限 “解读”，但不够直观.学生观新知探究 3：反比例函数 y =k(k < 0) 时的图象和性质x回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数y = k(k > 0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例xk 函数 y =(k < 0)的图象和性质吗？x观察与思考：当 k = -2. - 6. - 4 时，反比例函数y =k(k < 0)的图象，有哪些共同特征？x对于所有的反比例函数 y = k(k < 0),你能得出同样的结论x 吗？k通过观看视频，总结 y = (k < 0)的图象特征和性质.x从特殊到一般一般地，当k < 0 时，对于反比例函数 y = k(k < 0)，由函x数图象，并结合解析式，我们可以发现：(1) 函数图象分别位于第二、第四象限；(2) 在每一个象限内，y 随 x 的 增大而增大.归纳：反比例函数的图象与性质结论：察函数图象，归纳得到函数的性质后，引导学生结合列表中数值的关系，或者观察解析式的特点，去解释说明这些性质，这样结合函数图象和解析式去研究函数的性质， 既深化了学生对函数性质的认识，又体现了数形结合的思想.从特殊到一般，归纳得到k < 0 时，反比例函数的图象特征和性质.通 过 观 察 几 个y =k(k < 0)的反比例函数x图象，从特殊到一般归纳得到k < 0 时，反比例函数的图象特征和性质.k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性.注意：(1)由于x ≠ 0, y ≠ 0，所以反比例函数的图象无限靠近坐标轴,但与坐标轴没有交点(不经过原点).(2)在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在每一个象限内”.(3)反比例函数图象的位置和函数的增减性由k 的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定k 的符号. 课堂练习：1．下列图象中是反比例函数图象的是（）A B C D2.如图所示的图象对应的函数解析式为( ).A.y = 5xB.y = 2x + 3C.y =4D.y =-3 x x3.填空：5(1)反比例函数y =的图象在第象限.x(2)已知反比例函数的图象如图所示，则k 0，且在图象的每一支上，y 随x 的增大而 .4.若点A(x1, y1), B(x2, y2)在反比例函数y =-5 的图象x上x1 <x2 < 0,且，则y1与y1的大小关系为( )A. y1 <y2B. y1 >y2C . y1 =y2 D. 不能确定借助图象，数形结合能更直接得出结论.1.反比例函数的图象与性质结论：2.数学思想方法：分类思想、数形结合、从特殊到一般.。
人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（1）》优秀教学设计一. 教材分析人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（1）》这一节，是在学生已经学习了正比例函数的基础上进行教学的。
本节内容主要介绍反比例函数的图象和性质，通过实例让学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象特征和性质，为后续的反比例函数应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于正比例函数的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，反比例函数相对于正比例函数来说，概念较为抽象，学生可能难以理解和接受。
因此，在教学过程中，需要通过具体实例和实际操作，帮助学生理解和掌握反比例函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生通过具体实例，理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象特征和性质。
2.培养学生运用函数知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质的理解。
2.反比例函数图象的特征和性质的掌握。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握反比例函数的图象和性质。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.反比例函数的图象和性质的相关案例。
3.学生分组合作学习的任务单。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾正比例函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用PPT展示反比例函数的图象和性质，让学生通过观察和分析，发现反比例函数的特点。
3.操练（20分钟）让学生通过实际操作，绘制反比例函数的图象，进一步理解和掌握反比例函数的性质。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固反比例函数的知识，提高解题能力。
5.拓展（10分钟）让学生运用反比例函数的知识，解决一些实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生明确反比例函数的图象和性质。
第卫课时（£）教学目标rw 吗威課1.能用描点法画出反比例函数 y =的图象.2. 能根据图象理解和掌握反比例函数y =的性质.3.能运用反比例函数的性质解决有关问题 .W 新课导入导入一：【课件1展示】2校园内有一块矩形草坪面积为 200 m ，它的长y （单位:口与宽x （单位:m 之间满足的函数关系是什么 ？当它的长y （单位：m 增加时，它的宽x （单位:m 将怎样变化？26.1.2反比例函数的图像和性质 1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程 ，获得研究函数性质的经验.2.通过函数图象探究函数性质，进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.1. 经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动 ，获得研究问题和合作交流的方法与经验 探索性和创造性.2. 在数学学习过程中，体验与领悟数学发现的成功感，感受数学美，发现学习的乐趣.卩；教学重难点，体验数学活动中的【重点】用描点法画反比例函数的图象 探索反比例函数的图象特点和性质 【难点】探究反比例函数的图象特点和性质的过程.♦教学准备【教师准备】多媒体课件1〜4.在练习本上画两个平面直角坐标系教学过程【师生活动】学生思考回答，并观察该反比例函数中y随x的增大而减小，教师引出课题.［设计意图］由生活实际情景导入新课，让学生体会生活中处处有数学，激发学生学习兴趣，同时通过观察，思考问题中长y与宽x之间的关系，很自然地由实际问题抽象岀本课时学习重点之一的反比例函数图象的增减性.导入二：【复习提问】(1) 以前学习一次函数、二次函数时，是用什么思路和方法研究的？(先根据函数解析式画岀函数的图象，然后观察、分析、归纳得到函数的性质)(2) —次函数、二次函数的图象分别是什么？(直线、抛物线)(3) 请你说岀一次函数、二次函数的性质是什么.(一次函数增减性、图象所经过象限；二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等)(4) 画函数图象的基本步骤是什么？(列表、描点、连线)【导入语】我们可以类比研究一次函数、二次函数性质的方法来研究反比例函数的性质，如果可以，应先研究什么？［设计意图］通过复习画函数图象的基本步骤，为本节课的学习做好铺垫，复习通过画函数图象来研究一次函数、二次函数性质的方法，让学生用类比的方法自然地构建岀新知识，降低本节课的学习难度.陋新知构建一、描点法画反比例函数图象画函数丫=与y=的图象.思路一教师引导，师生共同完成，同时展示画图象的过程.(1) 自变量x的取值范围是什么？函数值y的取值范围是什么？(2) 画函数图象时取哪些x的值列表，使函数图象完整、准确？(师生共同完成列表)(3) 在平面直角坐标系中描点.(4) 如何用平滑的曲线连接各点？(5) 从左到右连线时，图象与x轴、y轴有没有交点？为什么？教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接，由自变量x、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴没有交点，故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同，坐标轴把图象分成两部分.［设计意图］通过师生合作，经历用描点法画函数图象的过程，培养学生动手操作能力，理解描点法画函数图象的本质，经历知识的形成，进一步体会数形结合思想，通过课件展示画图的过程，直观形象，学生既感兴趣又记忆深刻.思路二【任务】同桌合作，每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象【师生活动】学生独立完成列表、描点、连线，画图后，小组合作交流，发现组内成员的画图错误，并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误，进行汇总，在展示完整画图过程后展示典型画图错误.【课件2展示】(1) 列表:在x的取值范围内列岀函数对应值表：(教师强调：列表时取值不能太少，也不能只取正值)⑵描点.(教师强调：描点时横、纵坐标易混淆)(3) 连线.(教师强调：连线时用平滑曲线，不能画成折线，因为自变量x不等于0,所以画函数图象时，不能将左右两个图象连接起来)［设计意图］通过动手操作，让学生自己经历画反比例函数图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，培养学生动手操作能力，经历知识的形成过程.通过小组合作交流，培养学生合作精神，在讨论画图结果时互相纠错的过程中，加深了学生对画函数图象的理解和认识.二、反比例函数y=(k>0)的性质思路一观察教材图26.1 - 2的函数图象，学生在教师的引导下思考回答：(1) 你能描述反比例函数图象的形状吗？(教师给出双曲线定义)⑵反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗？与函数解析式之间有什么关系？(因为自变量X、函数值y不能等于0,所以函数图象与x轴、y轴没有交点)(3) 函数图象在哪个象限内？该图象关于原点O对称吗？(在第一、第三象限，关于原点O对称)(4) 观察函数图象，当x<0时，随着x的增大，y如何变化？当x>0时呢？你能根据函数解析式说明理由吗(当x<0时，随着x的增大,y减小；当x>0时，随着x的增大，y也减小)(5) 对于反比例函数y=(n>0)，以上结论还成立吗？【师生活动】学生在教师设计的问题下边思考边回答，教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思考解决问题，对回答有困难的问题，教师要给学生足够的时间思考、交流.［设计意图］将探究函数的性质设计成问题的形式，使学生在探究过程中有方向和目的，降低学习新知识的难度，同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法【共同总结(课件3展示)】(1) 反比例函数y=(k>0)的图象是双曲线( 2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;(3)在每个象限内,y 随着x 的增大而减小;( 4)两支双曲线向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;( 5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.思路二类比以前研究的一次函数、二次函数的性质的方法,根据所列表格、函数解析式、所画函数图象, 你能得到哪些结论?看看哪个小组得到的正确结论最多.【师生活动】学生观察函数图象后先独立思考,再小组合作交流,然后学生展示,教师在巡视过程中及时帮助有困难的学生,发现学生思考片面时,可以及时提醒学生从图象形状、增减性、对称性等多个角度观察思考, 学生展示后, 教师点评,师生共同归纳函数的性质.【共同总结】(板书)( 1)反比例函数y=(k>0) 的图象是双曲线;( 2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;(3)在每个象限内,y 随着x 的增大而减小;( 4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;( 5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.[ 设计意图] 通过小组合作交流,归纳反比例函数的性质,学生之间的合作交流,培养了学生合作精神,同时提高分析问题的能力. 类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结, 让学生体会数学中重要的学习方法——类比法, 同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.三、反比例函数y=(k<0)的图象与性质【导入语】回顾以上探究过程，你能用同样的方法探究函数y=(k<0)的图象与性质吗？【师生活动】学生在刚才的平面直角坐标系中画函数y=-与y=-的图象.观察函数图象，小组合作交流归纳反比例函数y=(k<0)的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生，引导学生归纳反比例函数的性质【共同归纳】(1)反比例函数y=(k<0)的图象是双曲线；( 2)双曲线的两支分别位于第二、第四象限;(3) 在每个象限内,y随着x的增大而增大；(4) 双曲线两支向两边无限延伸，与坐标轴没有交点；(5) 双曲线两支关于坐标原点成中心对称.四、归纳反比例函数y=(k丰0)的图象与性质【课件 4 展示】一般地，反比例函数y=(k工0)的图象是双曲线，它具有以下性质：(1) 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；(2) 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；(3) 反比例函数图象向两边无限延伸，与两坐标轴没有交点，两支双曲线关于原点成中心对称.【追加思考】(1) 反比例函数图象的位置及函数的增减性是由谁决定的 ?(2) 反比例函数的性质“在每个象限内，y 随x 的增大而减小”中,可不可以去掉“在每个象限内”？为什么？［设计意图］通过归纳反比例函数的性质，培养学生的归纳总结能力，追加问题的思考，强化学生对性质的 理解和掌握，并强化应用性质时的易错点.五、例题讲解反比例函数y =的图象大致是〔解析〕 (1)反比例函数解析式y =(k 工0)中,哪个量决定函数图象的位置 ?(比例系数k 决定函数图象的位置)(2)已知函数丫=中，用哪个代数式表示比例系数 k ?(k 2+1表示比例系数k ,决定函数图象的位置)(3)你能判断 k 2+1的正负吗？(因为k 2> 0,所以k 2+1>0)(4)你能确定函数图象的位置吗 ?(由k 2+1>0得函数图象在第一、 三象 限)(5)自变量x 的取值范围是什么？(自变量x 的取值范围是 g 0)故选D横坐标和纵坐标满足函数解析式 )(3)已知函数解析式和自变量的值，怎样求岀对应的函数值?(把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值 )(4)你能分别求出y i ,y 2,y 3的值吗？三者的大小关系是什么?(把X i =-2,x 2=-1,X 3=1分别代入函数解析式求出 y i ,y 2,y 3)(5)反比例函数y =的图象及增减性是怎样的?(反比例函数 的图象在第一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断 y i ,y 2,y 3的大小关系 吗?(第三象限图象上的点的纵坐标小于 0,且y 随x 的增大而减小；第一象限图象上的点的纵坐标大于 0)【师生活动】 学生独立思考，并回答问题，教师及时点评，然后归纳两种比较函数值大小的方法 .解法1：把三个点的横坐标分别代入 y =.得 y i =- ,y 2=-1 y=1，•: y 3>y i >y 2 .故选C .A.y i >y 2>y 3 C .y 3>y i >y 2B .y 2>y i >y 3Dy 3>y 2>y i〔解析〕 (1)已知三点的横、纵坐标分另提什么 ？(2)函数值y i ,y 2,y 3与已知点的横坐标有什么关系 ？(点的若点(-2 ,yj,(-l ,y 2),(l,y 3)在反比例函数丫=的图象上，则下列结论中正确的是( )解法2:可以看出点(-2 ,y i),(-1 ,y2)在同一象限，T k=1>0,在每个象限内，y随x的增大而减小•/ -2<-1<0，二y< y i<0,又'/ 1>0, /. y3>0, —y3>y i>y2 .故选C.［设计意图］通过例题加深学生对反比例函数的图象和性质的理解与掌握，体会运用数形结合思想解决函数问题的方法和技巧，提高学生分析问题、解决问题的能力.例2中用不同思路解决问题，培养学生多角度思考问题的能力.［知识拓展］(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两支，它的两个分支是断开的.(2) 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限.(3) 反比例函数y=(k工0)的图象的两个分支关于原点成中心对称.(4) 反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交这是因为x工0,y工0.(5) 反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.(6) 反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”，当k>0时，在每一个象限内,y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k>0时,y随着x的增大而减小.同样，当k<0时，在每一个象限内,y随着x的增大而增大，也不能笼统地说：当k<0时,y随着x的增大而增大.吃课堂小结4检测反馈1. 当x>0时，函数y二的图象在()A. 第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析：T反比例函数y=-中,k=-5<0,「.此函数的图象位于第二、四象限，当x>0时，函数的图象位于第四象限故选A2. 对于反比例函数y=,下列说法正确的是()A. 图象经过点(1,-3)B. 图象在第二、四象限C. x>0时,y随x的增大而增大D. x<0时,y随x的增大而减小解析：T反比例函数y=,「. xy=3,故图象经过点(1,3),故A错误；T k>0,「.图象在第一、三象限，故B错误;T k>0,^ x>0时,y随x的增大而减小，故C错误;T k>0, x<0时,y随x的增大而减小，故D正确.故选D.3. 反比例函数丫=的图象如图所示，以下结论：①常数m<-1 ;②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A(-1 ,h),B(2,k)在图象上，则h<k;④若P(x,y)在图象上，则P'(-x,-y)也在图象上.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：由图象在第一、三象限可得m>0,所以①错误;观察图象可得，在每个象限内,y随x的增大而减小，所以②错误；当x=-1时,y=h<0,当x=2时,y=k>0,所以h<k,所以③正确；反比例函数图象关于原点成中心对称，所以点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y),所以④正确.故选C4. _______________________________________________________________________________ 设有反比例函数y=,(R y),(x2,y?)为其图象上两点，若x i<0<x z,y i>y2,则k的取值范围是 __________________________ .解析：因为x i<0<X2时,y i>y2,所以双曲线在第二、四象限，则k+2<0,解得k<-2 .故填k<-2.5. 已知反比例函数y=(m2).(1) 求m的值；(2) 它的图象位于哪些象限？(3) 当w x< 2时，求函数值y的取值范围.解:(1)依题意可得m-5=-1，且m2工0,解得m=-2.当m=-2时，函数y=(m2)是反比例函数.(2) 当n=-2时,代入函数解析式可得y=-.T k=-4<0，二它的图象位于第二、第四象限.(3) T反比例函数图象在每个象限内,y随x的增大而增大，且w x w 2,-8 w y w -2 .第i课时i. 描点法画反比例函数图象2. 反比例函数y=(k>0)的性质3. 反比例函数y=(k<0)的图象与性质4. 归纳反比例函数y=(k z 0)的图象与性质5. 例题讲解例1例。
