刚体平面平行运动习题ppt课件

r
rr
arP 刚aarrr体AA 上 任drrd一tr 点rrrPrr的加2速rrr度ddrrt
y
y P
rrP rr
rrA A
x
aA a an
O
x
5
3、运动学特例—圆柱体的纯滚动
纯滚动：摩擦力足够大，接触点间无相对滑动。
滑滚运动：摩擦力不够大，刚体既滚动又滑动。
1）纯滚动的运动学判据：
•A
Fx max Fy may
Mc Jc
注：也可以用动能定理或机械能守恒定律求解
11
例1. 沿固定斜面的纯滚动 一半径为R、质量为m
的匀质圆柱体,沿倾角为的固定斜面无滑动的滚下。
若不计滚动摩擦。试求圆柱体质心的加速度。
解：方法一 利用运动叠加 原理， 质心的平动加绕质心的转动。
r
Ny
动力学方程为
转动惯量越小加速度 越大
ac
1 2
g
sin
实心圆柱体：
Jc
1 2
mR2
ac
2 3
g
sin
实心球体：
Jc
2 5
mR2
ac
5 7
g
sin
2）根据纯滚动的 动力学判据： f ≤ N
临界角
≥ tan 1 mR2 JC , tanc 1 mR2 J13C
方法二 用机械能守恒定律。 由于圆柱体作纯滚动，接触点 无相对滑动，静摩擦力不做功，只有重力做功，机械能守恒。
C vrc F
A
vr A
vrc 0
vr F
任一点E的速度为
vrE vrC r rrCE
可见，vrC 代表刚体整体的速度，刚体上的每一点
都具有这个平动速度。
7
以接触点A为基点：
r vA 0
任一点 P 的速度为
vrP vrrArrArP rrAP
因此有
r vC
r
r rAC
vrD r rrAD
刚体平面平行运动习题课
刚体的平面平行运动: 刚体运动时，刚体内每个
点的轨迹都是一条平面曲线，各曲线所在平面都某
一固定平面平行。
1
运动的特点： 1）刚体的质心始终位于同一个平面上。 2）刚体内垂直于固定平面的直线上各点具有完全相
同运动状态。 3）刚体内平行于固定平面的各平面有相同的运动特
征。
只须研究质心所在平面的运动:
2 7
a
17
例3. 何时开始纯滚动 有一缓慢改变倾角的固 定斜面，如图所示。一质量为m ，半径为R 的匀质圆 柱体从高h 处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙
水平面运动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数,求：
1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。 2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。
质心运动+绕质心转动
三个自由度
两个平动自由度 一个转动自由度
2
y
1、运动学方程
如图所示，取质心所在
的平面为研究对象，任取一
点A为基点（一般取质心）。
则P点的运动方程为
O
y P
r rP
rr
rA
x
rA
x
xA xt , yA yt , t .
3
P点运动
随基点A平动
绕基点的转动
基点A可以任意取
mg sin f mac
ar c
o
Cr Af
N mg cos 0
mgr
fR Jc
x
ac R （纯滚动条件） mgR2 sin
解上述四式可得
ac Jc mR2
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f mg sin 1 mR2 JC , N mg cos
【讨论】
mgR2 sin
1）根据 ac
薄圆筒：
Jc mR2 Jc mR2
基点A的平动量（ rrA ,vrA ,ar A ）因基点而异；绕
基点A的转动的角量（ , , ）都相同。
y
y
P
rrP rr
rA
x
rA
O
4x
2、 刚体上任一点P的速度和加速度
根据： rrP rrA rr
r （r
为定长旋转矢量）
vrP刚体v上rA任一vr点 P的vrA速度r rr
vr
drr dt
球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦
力的大小。
y
解：以球为研究对象、
平板为参考系（非惯性 系），则动力学方程为
ma C ac
f ma mac
mg f
fR 2 mR2
o
N a x
5
ac R
16
由以上三式解得：
ac
5 7
a
,
f 2 ma 7
因此，球心的加速度为
ac
a
ac
a
5 7
a
D vrD vrE
E
C vrc F
r vA
A
0
vr F
可见，对于纯滚动，若取接触点A 为基点，在某
瞬时刚体的平面平行运动，可视为A点的单纯转动。
8
瞬时转动中心 ： 在任何瞬时，作平面平行运动的刚体（或它的延
伸体）上总有一点O，其速度v0=0 。此刻刚体只能绕
此点旋转。 这个点称为瞬时转动中心 ，简称 瞬心 。
1 2
mvc2
1 2
Jc 2
mgxcBiblioteka sinE0常量
对上式求导数得
mvc ac Jc mg vc sin 0 r
其中 vc R ac R
解得
ac
mgR2 sin
Jc mR2
Ny
r ac
o
Cr Af
r
mg
x
14
方法三 视为绕瞬心 A 的纯转动。
注意：一般情况对瞬心的角动量定理不成立，当满足条件
A• c•
c•
质心C的位移为： xc R
质心C的速度为： vc R
质心C的加速度为： ac R
运动学判据
6
2）纯滚运动的速度分布：
D vrD
以质心C为基点：
vrE
最高点D的速度为
E
vrD vrC r rrCD 2vrC
接触点A的速度为
r vA
r vC
r
r rCA
r vC
vrCr0rrcA
“瞬心到质心的距离保持不变”时，对瞬心可用角动量定
理动.力学方程为
MA JA
其中 解得
M A mgR sin
J A Jc mR2
r N
ac R
ac
mgR2 sin
Jc mR2
r C
ac
A
r
mg
y
r f
o
x 15
例2. 沿加速平板表面的纯滚动 在水平板上放一
半径为 R,质量为m的匀质球。设平板具有加速度a ，
a以r A质心Ca为rC基点有ar
r an
其中
ar v rrCA arC
所以
ar A arn 2rrCA
v
r rCA
r
C ac 2rrCA
r
A
ac
10
4. 平面运动动力学
刚体的平面 平行运动
随质心平动
绕质心的转动
三个自由度：两个平动自由度和一个转动自由度
取质心为基点 动力学方程
质心运动定理 角动量定理
作纯滚动的刚体，与平面的接触点就是它的瞬心。
确定瞬心的几何方法：
r
r vA
1）若已知 vc 和 ，
瞬心O在与 vc 垂直且
C vc
vc
A
r
B vB
相距 vc 的地方。
O
2）若已知刚体上A、B两点同一时刻速度的 O
方向，则它们垂线的交点即为瞬心。
9
注意
刚体作纯滚动时，接触点的速度为零，但加速 度不为零。