高中数学竞赛函数辅导

函数方程与迭代1.迭代法先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴55|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -．一些简单函数的n 次迭代如下：（1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =；（3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax =+，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1nn na f x a xb a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法．1．求迭代后的函数值例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N *∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(;169)94()49()11(;49)61()16()11(;164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f所以(11)n f （n N *∈）的值域为{4,16,49,169,256}。

高中数学竞赛讲义（三）──函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。

定义2 单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, x y, 都有f(x)f(y)则称之为单射。

定义3 满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A →B是A到B上的满射。

定义4 一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B。

定义5 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。

A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。

集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.定义6 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A →B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7 函数的性质。

（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1)<f(x2)(f(x-)>f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂：n m n mn nn m nm nnaa a aa a a a1,1,,1====--。

3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。

当0<a <1，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数。

4．对数的性质（M>0, N >0）；1）a x=M ⇔x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ；3）log a （NM）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).5. 函数y =x +xa（a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[),a -和(]a ,0。

（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a <b , f (x )在[a , b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )=0在（a ,b ）上至少有一个实根。

二、方法与例题 1．构造函数解题。

例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。

高中数学奥赛辅导第五讲高斯函数知识、方法、技能这一讲介绍重要的数论函数][x y ，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y的定义域为R ，值域为Z ；}{x y的定义域为R ，值域为)1,0[（2）对任意实数x ，都有1}{0},{][x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ][1,1][][.（4）][x y是不减函数，即若21x x 则][][21x x ，其图像如图I －4－5－1；}{x y 是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x.其中N nR x,.（6）ni ii ni i R x x x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，（7）][][][y x xy ，其中R yx,；一般有ni ii ni i R x x x 11],[][；特别地，N n R x x x nn ,],[][.（8）]][[][nx nx ，其中N nR x,.【证明】（1）—（7）略. （8）令Z m m nx ,][，则1m nx m，因此，)1(m n xnm.由于nm ，N m n )1(，则由（3）知，),1(][m n x nm于是，.]][[,1][m nx m nx m故证毕.取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.定理一：N nR x ,，且1至x 之间的整数中，有][nx个是n 的倍数.【证明】因n nxxn nxn x n xnx )1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n的倍数的正整数只有这nx][个：定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][pn 个p 的倍数，有][2pn 个p 2的倍数，…，所以.][][)!(2pn pn n p 此定理说明：M pn n p )!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于]72000[]72000[)!2000(72+…=285+40+5=330，则2000！=7330·M ，其中7 M.定理三：（厄米特恒等式）][]1[]2[]1[][,,nx nn xnxnxx N n R x 则【证法1】引入辅助函数].1[]2[]2[]1[][][)(nn x n n xnx n xx nx x f 因)1(n x f …)(x f 对一切R x成立，所以)(x f 是一个以n1为周期的周期函数，而当]1,0[nx 时，直接计算知0)(x f ，故任意R x，厄米特恒等式成立.【证法2】等式等价于}].{[][]1}[{]1}[{}][{][x n x n nn x n x x x n 消去][x n 后得到与原等式一样的等式，只不过是对)1,0[x ，则一定存在一个k 使得nk xn k 1，即k n xk )1(，故原式右端.1][knx 另一方面，由nk xnk 1知，nn k xnn k ni kxni kn k nxnk n k n xnk 12,,1,,221,11在这批不等式的右端总有一个等于1，设k n t n tk 即,1. 这时，]1[][nxx 0][nk n x，而1]1[]1[nn xnk n x，因此原式的左端是1k 个1之和，即左端.1k 故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为)1,0[的问题；第二步对)1,0[分段讨论.高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理.定理四：设函数],[)(b a x f y在上连续而且非负，那么和式bt a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平面区域)(0,x f yb x a内的格点个数.特别地，有（1）位于三角形：d xcb axy,0内的格点个数等于dx c x b ax且]([为整数）；（2）1),(q p ，矩形域]2,0;2,0[pq 内的格点数等于（3）0r ，圆域222r yx内的格点个数等于2/0222]2[4][8][41r x r x rr .（4）0n，区域：n xy y x,0,0内的格点个数等于n x n xn02][][2.这些结论通过画图即可得到.赛题精讲例1：求证：,2!211k n nn 其中k 为某一自然数.（1985年第17届加拿大数学竞赛试题）[证明]2为质数，n!中含2的方次数为若1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n 反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t ，使]2[]2[)!(22!,222211p p n n ps s t st的方次数为中所含于是由于12,2)!(22!,2]2[,221n ts ts n n n p 则的方次数中含故则n!.这与已知矛盾，故必要性得证.例2：对任意的01].22[,K k kn S N n计算和（第10届IMO 试题）【解】因]212[]22[11k k n n 对一切k=0,1,…成立，因此，].2[]22[]212[111k k k n n n 又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,121n nn Sn n K k kkk故从而例3：计算和式.]503305[502的值n n S（1986年东北三省数学竞赛试题）【解】显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x 则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305n 可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[n 故例4：设M 为一正整数，问方程222}{][x x x，在[1，M]中有多少个解？（1982年瑞典数学竞赛试题）【解】显然x=M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解. 设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x代入原方程，化简得}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数.例5：求方程.051][4042的实数解x x （第36届美国数学竞赛题）【解】.0][,1][][不是解又因x x x x 经检验知，这四个值都是原方程的解.例6：.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x 证明（第10届美国数学竞赛试题）这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】.,2,1,][2]2[][k kkx x x A k令由于.,1],[1命题成立时则n x A 例7：对自然数n 及一切自然数x ，求证：【证明】则},{][x x x例8：求出]31010[10020000的个位数字.（第47届美国普特南数学竞赛试题）【解】先找出3101010020000的整数部分与分数部分.3101010020000=31033103)10(100200100200200100其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.。

全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常考的考点之一、掌握好三角函数相关的知识，在竞赛中起到事半功倍的效果。

本文将从基本概念、常用公式、性质以及解题方法等几个方面全面介绍三角函数在数学竞赛中的应用。

首先，我们来了解一下基本概念。

在直角三角形中，三角函数是指与一个锐角的对边、邻边和斜边之间的关系。

其中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）是最常用的三种三角函数。

它们分别表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角。

在解题时，我们常常需要利用这些基本概念进行推导和计算。

其次，我们要掌握一些常用的三角函数公式。

比如，角的加减关系公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)这些公式可以帮助我们更方便地计算复杂的三角函数式子。

此外，还有一些特殊角的值，如0°、30°、45°、60°和90°等。

熟记这些特殊角的三角函数值对于解题时的计算非常重要。

然后，我们要了解一些三角函数的性质。

三角函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。

另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数在一个周期内有无穷多个零点。

最后，我们来谈一谈解题方法。

在解三角函数的题目时，我们首先要根据题目给出的条件建立方程，然后进行简化和变形，最终求解出未知量。

常见的解题方法有两角和差的公式、倍角公式、半角公式和三角恒等式等。

我们在解题时要熟练运用这些公式，灵活选择适合题目情况的公式来求解。

除此之外，我们还可以利用三角函数的图像性质来解题。

通过观察函数图像的变化规律，可以快速找到题目中所求的解。

因此，熟悉和掌握基本的函数图像是十分必要的。

高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。

无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。

熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。

一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。

相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方,这里的n为正整数。

从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。

一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a b=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

a b=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。

当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。

指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaM n=nloga M(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a logax；m logan=n logam4．负数和零没有对数；1的对数是零,即loga1=0；底的对数是1,即logaa=15．对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：loga m N n=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。

第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了． 一．反正弦函数1．定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数，记为y ＝arcsin x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ，即2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2]．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即⑷ y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的图象关于y ＝x 对称．⑸ arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ，即2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]． ⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即⑷ y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arccos(cos x )的值及y ＝arccos(cos x )的图象：三．反正切函数1．定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的反函数就是反正切函数，记为y ＝arctan x (x ∈R )．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2 )内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2)．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是R 上的奇函数，即⑷ y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的图象关于y ＝x 对称．⑸ arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．A 类例题例1证明：⑴ cos(arcsin x )＝1－x 2；sin(arccos x )＝1－x 2； tan(arccot x )＝1x．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x )＝x1＋x2； tan(arcsin x )＝ x1－x2；cos(arctan x )＝11＋x2； tan(arccos x )＝1－x2x．证明：⑴ 设arcsin x ＝α，则α∈[－π2，π2]，且sin α＝x ，于是，cos α＝1－x 2，即cos(arcsin x )＝ 1－x 2；同理可证其余．⑵ 设arctan x ＝α，则α∈(-π2，π2)，tan α＝x ．于是，sec α＝1＋x 2，所以，sin α＝tan α·cos α＝x1＋x2，就是sin(arctan x )＝x1＋x2；同理可证其余．说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例2证明：⑴ arcsin x ＋arccos x ＝π2， x ∈[－1，1]⑵ arctan x ＋arccot x ＝π2， x ∈R证明：令arcsin x ＝α，arccos x ＝β，则α∈[-π2 ，π2 ]，β∈[0，π]，π2 －β∈[-π2 ，π2 ]而 sin α＝x ，sin(π2 －β)＝cos β＝x ，即sin α＝sin(π2 －β)，但α与β都在区间[-π2 ，π2 ]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而α＝π2 －β．就是arcsin x ＋arccos x ＝π2．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例3计算：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )；x ，y ∈[－1，1] ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )．x ，y ∈[－1，1]解：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )＝x 1－y 2＋y 1－x 2．⑵ cos(arccos x ＋arccos y )＝xy －1－x 2·1－y 2．情景再现1．若arctan x ＋arctan y ＋arctan z ＝π，证明：x ＋y ＋z ＝xyz ； ⑵ 证明：cot[arctan x＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．2．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－ 54),则A ．f (α)＞f (β)＞f (δ)＞f (γ)B ．f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ)C ．f (δ)＞f (α)＞f (β)＞f (γ)D ．f (δ)＞f (α)＞f (γ)＞f (β)3．函数y ＝arc cos(12-x 2)的值域是A ．[-π2，π6] B ．[-π2，π3] C ．[π6，π] D ．[π3，π]B 类例题例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．解：设 arccot3＝α，arccot7＝β，arccot13＝γ，arccot21＝δ，则0<δ<γ<β<α<π4．∴ tan α＝13，tan β＝17，tan γ＝113，tan δ＝121，∴ tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 13＋171－13⨯17＝1020＝12．tan(γ＋δ)＝tan γ＋tan δ1－tan γtan δ ＝113＋1211－113⨯121＝ 18．tan(α＋β＋γ＋δ)＝12 ＋181－12 ⨯18＝23．∴ 10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)＝10⨯32 ＝15．例5求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x ＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．解：若f (x )是(-14，14)内的奇函数，则必要条件是f (0)＝0，即c ＝－arctan2．当c ＝－arctan2时，tan(arcta 2－2x 1＋4x －arctan2)＝2－2x1＋4x －21＋2－2x 1＋4x ·2＝ 2－2x －2－8x1＋4x ＋4－4x＝－2x ．即f (x )＝arctan(－2x )；f (－x )＝arctan(－(－2x ))＝arctan2x ＝－f (x )．故f (x )是(-14，14)内的奇函数． 说明例 6 [x ]表示不超过x 的最大整数，{x }表示x 的小数部分（即{x }＝x -[x ])，则方程 cot[x ]·cot{x }＝1的解集为 ；解：由于0≤{x }<1，故cot{x }＞cot1＞0，即cot{x }≠0．∴ cot[x ]＝ 1cot{x }＝tan{x }＝cot(π2－{x })，∴ [x ]＝k π＋π2－{x }．即[x }＋{x }＝k π＋π2(k ∈Z )，就是x ＝k π＋π2(k ∈Z )． 说明情景再现4．函数f (x )＝arc tan x ＋12arc sin x 的值域是A ．(-π，π)B ．[－3π4，3π4] C ．(- 3π4，3π4) D ．[-π2，π2]5、设-1<a <0，θ＝arc sin a ,那么不等式 sin x <a 的解集为 A ．{x |2n π＋θ<x <(2n ＋1) π-θ，n ∈Z } B ．{x |2n π-θ<x <(2n ＋1) π＋θ，n ∈Z }C ．{x |(2n -1) π＋θ<x <2n π-θ，n ∈Z }D ．{x |(2n -1) π-θ<x <2n π＋θ，n ∈Z }6、在区间[0，π]上，三角方程cos7x ＝cos5x 的解的个数是 ；C 类例题例7求使方程a ＋a ＋sin x ＝sin x 有实数解的实数a 的取值范围． 分析解：sin x ≥0，平方得a ＋sin x ＝sin 2x －a ，故a ≤sin 2x ，平方整理得，a 2－(2sin 2x ＋1)a ＋sin 4x －sin x ＝0，这是一个关于a 的一元二次方程．∆＝(2sin 2x ＋1)2－4(sin 4x －sin x )＝4sin 2x ＋4sin x ＋1＝(2sin x ＋1)2． ∴ a ＝12[2sin 2x ＋1±(2sin x ＋1)]．其中，a ＝sin 2x ＋sin x ＋1＞sin 2x ，故舍去；a ＝sin 2x －sin x ，当0≤sin x ≤1时，有a ∈[－14，0]．当a ＝0时，得sin x ＝0或1，有实解；当a ＝－14时，sin x ＝12，有实解．即a 的取值范围为[－14，0]．说明例8解方程：cos n x -sin nx ＝1，这里，n 表示任意给定的正整数． 分析：可先从n ＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解．n ＝1时，cos x ＝sin x ＋1， n ＝2时，cos 2x ＝sin 2x ＋1，n ＝3时，cos 3x ＝sin 3x ＋1， n ＝4时，cos 4x ＝sin 4x ＋1．解：原方程就是，cos n x ＝1＋sin nx ． ⑴ 当n 为正偶数时，由于cos n x ≤1，sin n x ≥0，故当且仅当cos n x ＝1，sin nx ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时为解． ⑵ 当n 为正奇数时，若2k π≤x ≤2k π＋π，则cos n x ≤1，sin n x ≥0，故只有cos n x ＝1，sin nx ＝0时，即x ＝2k π(k ∈Z )时为解；若2k π＋π<x <2(k ＋1)π，由于1＋sin nx ≥0，故只能在2k π＋3π2 ≤x <2(k ＋1)π内求解，此时x ＝2k π＋3π2满足方程．若2k π＋3π2 <x <2(k ＋1)π，当n ＝1时，cos x －sin x ＝|cos x |＋|sin x |＞1，当n ≥3时，cos nx －sin nx ＝|cos nx |＋|sin nx |<|cos 2x |＋|sin 2x |＝1．即此时无解． 所以，当n 为正偶数时，解为x ＝k π(k ∈Z )；当n 为正奇数时，解为x ＝2k π与x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )．说明情景再现7．解方程：cos 2x ＋cos 22x ＋cos 23x ＝1． 8．求方程x 2-2x sin πx 2＋1＝0的所有实数根；习题251、arc sin(sin2000︒)＝ ．(2000年全国高中数学联赛)2．已知函数①y ＝arcsin(2x ), ②y ＝sin πx ＋cos πx , ③y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )．其中，在区间[12,1]上单调的函数是A ．①、②和③B ．②和③C ．①和②D ．③3．函数y ＝arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]，x ∈[0，2π）的值域（其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数）是A ．{0，π，3π2} B ．{-π2，π2，3π2}C ．{0，π2，π} D ．{-2，-1，0，1}4．已知α∈（-π2 ，π2 ），sin2α＝sin(α-π4 )，则α＝ ；5．求方程x 2-2x sin πx 2＋1＝0的所有实数根；6．求关于x 的方程 x 2-2x -sin πx 2＋2＝0的实数根．7．解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 22csc 2x ＝14 ； 8．求方程 sin n x ＋1cos m x ＝cos nx ＋1sin m x的实数解，其中m 、n 是正奇数．本节“情景再现”解答：1．证明：⑴令arctan x ＝α，arctan y ＝β，arctan z ＝γ，则α＋β＋γ＝π，tan α＝x ，tan β＝y ，tan γ＝z ．∴ x ＋y ＝tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝－tan γ(1－tan αtan β)＝－z (1－xy )＝－z ＋xyz ．∴ x ＋y ＋z ＝xyz ．⑵ 设arctan x ＝α，arctan(1－x )＝β，则tan(α＋β)＝x ＋(1－x )1－x (1－x ) ＝11－x ＋x2．∴ cot(α＋β)＝1－x ＋x 2．故证． 2．选B ．解：f (x )＝(x －π2)2－π24．0<α<π6，π4<β<π3，π2<γ<2π3，3π4<δ<5π6．∴ |γ－π2|<|β－π2|<|δ－π2|<|α－π2|，故f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ)．3．选D ．解：－1≤12-x 2≤12，⇒π3≤y ≤π．4．解：定义域[－1，1]，在此范围内arc tan x ∈[－π4，π4]，12arc sin x x ∈[－π4，π4]，故选D ．5．解：－π－θ<x <θ，⇒(2n -1) π-θ<x <2n π＋θ，选D ．6．解：7x ＝±5x ＋2k π，⇒x ＝k π，x ＝k π6(k ∈Z )，x ＝k π6，(k ＝0，1，2，3，4，5，6)．7．解：12(1＋cos2x ＋1＋cos6x )＋cos 22x ＝1，⇒cos4x cos2x ＋cos 22x ＝0，⇒cos2x cos3x cos x ＝0．cos2x ＝0，⇒2x ＝k π＋π2，⇒x ＝12k π＋π4；cos4x ＝－12，⇒4x ＝2k π±23π，⇒x ＝12k π±16π．(k ∈Z )8．解：∆＝4sin2πx 2－4≥0，⇒故sin πx 2＝±1，⇒πx 2＝k π＋π2，⇒x ＝2k ＋1． (2k ＋1)2－2(2k ＋1)(±1)＋1＝4k 2＋4k ＋2－[±(4k ＋2)]＝0． 当k 为偶数时，4k 2＝0，k ＝0；当k 为奇数时，4k 2＋8k ＋4＝0，k ＝－1． 故解为x ＝±1．“习题25”解答：1．解：2000︒＝1800︒＋180︒＋20︒，故sin2000︒＝sin(180︒＋20︒)＝sin －20︒．故原式＝－20︒．2．解：①函数在x ∈[12 ,1]时，2x ∈[1，2]，此时y ＝arcsin(2x )无意义；从而A 、C 均错；② y ＝sin πx ＋cos πx ＝2sin(πx ＋π4)在[12,1]上单调减；故D 错；③ y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )＝log 2x 1＋x ＝log 2(1－11＋x )在[12,1]上单调增．故选B ．3．解：x ＝0时，[sin x ]＝0，[cos x ]＝1，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝0， x ∈(0，π2)时，[sin x ]＝ [cos x ]＝ 0，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π2；x ＝π2时，[sin x ]＝1，[cos x ]＝0，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π2， x ∈(π2，π]时，[sin x ]＝0，[cos x ]＝－1，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π； x ∈(π，3π2)时，[sin x ]＝－1，[cos x ]＝－1，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π2；x ∈[3π2，2π)时，[sin x ]＝－1，[cos x ]＝0，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π2；选C ．4．解：2α＝2k π＋α-π4，⇒α＝2k π-π4，⇒α＝-π4；2α＝2k π＋π－α＋π4，⇒α＝－π4，α＝5π12．5．解：∆＝4sin2πx 2－4≥0，⇒故sin πx 2＝±1，⇒πx 2＝k π＋π2，⇒x ＝2k ＋1． (2k ＋1)2－2(2k ＋1)(±1)＋1＝4k 2＋4k ＋2－[±(4k ＋2)]＝0． 当k 为偶数时，4k 2＝0，k ＝0；当k 为奇数时，4k 2＋8k ＋4＝0，k ＝－1． 故解为x ＝±1．6．解：∆＝4－4(2－sin πx 2)≥0，4sin πx 2≥4，⇒sin πx 2＝1，πx 2＝2k π＋π2，⇒x ＝4k＋1．得x 2－2x ＋1＝0，x ＝1．(k ＝0)．7．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2csc 2x ＝±12．⇒sin x 2＝(±12)sin 2x ，但⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2≤12，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪±12sin 2x ≥12．故sin x ＝±1，csc 2x ＝1．从而，x ＝k π＋π2(k ∈Z )．8．解：显然sin x ＝cos x 时满足方程，即方程有解x ＝k π＋π4(k ∈Z )．下面说明方程没有别的解．首先，|sin x |＝1或|cos x |＝1时，方程失去意义，故|sin x |＜1，|cos x |＜1．原方程即 sin n x －1sin m x ＝cos nx － 1cos m x．当sin x ＞0，则左＜0，⇒cos x ＞0，当sin x ＜0，则左＞0，⇒cos x ＜0．即sin x 与cos x同号．若sin x ＞cos x ＞0，则sin nx ＞cos nx ＞0，而1sin m x ＜1cos m x，于是左＞右， 同样cos x ＞sin x ＞0，则右＞左．对于sin x ＜0，cos x ＜0时也一样．于是只能sin x ＝cos x ．故只有上解．。

高中数学竞赛培训资料 函数例一． 定义在R 上的函数f(x)满足:f(x －x 1)=x 2+21x （对所有x ≠0） 则f(x)的表达式是例二． 函数f(x)对任意正实数x ，y 满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，求f(641)之值。

例三． 设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx+d ，其中a ，b ，c ，d 是常数，若f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求f(10)+f(－6)例四． 对于每个实数x ，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值是多少？例五． （91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对一切实数x 都满足：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根之和为（A ） 18 （B ） 12 （C ） 9 （D ） 0例六．（88年全国联赛试题）设有三个函数，第一个是y=)(x ϕ，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是(A) y=)(x ϕ （B ）y=－)(x -ϕ (C) y=－)(1x -ϕ (D) y=－)(1x --ϕ例七．设f(x)=2442+x ，求f(10011)+f(10012)+f(10013)++ f(10011000) 之值。

例八．定义在R 上的函数y=f(x)具有以下性质1． 对任何x ∈R 都有f (x 3 ) = f 3 (x)2． 对任何x 1, x 2 ∈R 且x 1≠x 2 都有f (x 1)≠f (x 2)则f 2（－1）+f 2（0）+f 2（1）=例九．若a ＞0,a ≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2111x a 是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）与a 的取值有关例十．已知函数y=f(x)，x ∈R ，f(0)≠0，且对于任意实数x 1，x 2都有f(x 1)+f(x 2)=2f(221x x +)×f(221x x -)，则此函数是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇偶性不确定例十一．已知实数 x,y 满足(3x+y)2+x 5+4x+y=0，求证：4x+y=0例十二．已知函数f(x)满足：1）f(21)=1 2）值域为[]1,1-3）严格递减,4）f(xy)=f(x)+f(y)试求不等式f －1(x) f －1(x -11)≤21的解集。

第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。

若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。

（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。

（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。

2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。

判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。

3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。

若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。

（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。

（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。

（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。