高中数学竞赛讲义_二次函数与命题

第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直≠a 线x =-，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-，下同。

a b 2ab 22．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反。

3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab 2-}和空集，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

ab 2-≠∅3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和.f (x )图象与x 轴无公共∅点。

当a <0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=,若a <0，则当x =x 0=ab ac 442-a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, ab ac 442-n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。

一、基础知识2.二次函数的性质:当a>0时,f(x的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量x 增大函数值减小(简称递减,在[x0, -∞上随自变量增大函数值增大(简称递增。

当a<0时,情况相反。

1当△>0时,方程①有两个不等实根,设x1,x2(x1<x2,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数f(x图象与x轴有两个不同的交点,f(x还可写成f(x=a(x-x1(x-x2.2当△=0时,方程①有两个相等的实根x1=x2=x0= ,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x }和空集,f(x的图象与x轴有唯一公共点。

3当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是r和 .f(x图象与x轴无公共点。

当a<0时,请读者自己分析。

定义1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。

不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1 “p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命题;“p且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2 原命题:若p则q(p为条件,q为结论;逆命题:若q则p;否命题:若非p则q;逆否命题:若非q则非p。

注2 原命题与其逆否命题同真假。

一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3 如果命题“若p则q”为真,则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中,如果已知p q,则p是q的充分条件;如果q p,则称p是q的必要条件;如果p q但q不p,则称p是q的充分非必要条件;如果p不 q但p q,则p称为q的必要非充分条件;若p q且q p,则p是q的充要条件。

二次函数二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0典型例题：例1、 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab2，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。

当a <0时，请读者自己分析。

二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。

基础知识回顾1.给出函数表达式f(x) = ax2+bx + c f首先需要考虑d是否等于0,若∏ = 0,则函数不是二次函数.2.二次函数的三种表现形式1 ) 一般式：y = Cix2+bx+c(a≠O)2)顶点式：y = a(x-h)2+k(a ≠0)此时二次函数的顶点坐标为(h,k);3)分解式：y = ^(%-Λ-1)(Λ-x2)其中为、勺是二次函数的与兀轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线X =送卫.3.二次函数的图像与性质①开口方向：当d>0,函数开口方向向上；当d<0,函数开口方向向下；②对称轴：Ici③顶点坐标：(-2，也二)；若图象与X轴有两个交点，分别为M I U I,0), M2(X2,O),2a 4a则∣Λ∕1Λf2∣=∣x1-X2∣ = -φ.④增减性⑤最值("R):当α>0时，函数有最小值，并且当A =-^- , y n∙n = ^Ic~h-；当d<0时,2a 4a函数有最大值，并且当X=斗时，),πm=色工•；3 4a⑥与尤轴的交点个数：当厶=b' -4心>0时，函数与X轴有两个不同的交点；△〈()时，函数尤轴没有交点；△二0时，函数与兀轴有一个交点.4.二次函数根的由来 ---- 配方法b z∙对cιx2+bx+c = (Xa≠O)进行配方，变换为√+-Λ+-=0,由于完全平方是：a aa2 +2ab + b2 =(a+bY艮卩x2 +2ax+a1 =(x+a)29所以要变扌奂为x2 +-x + -^+ - = 0 ,变a4cΓ 4cΓ a换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.Λ(X+⅛=X-S=≤Ξ±^∙从而得到，2a 4tr a 4a在b2-4ac≥0时有解，Y=^±√^-4∑c;若F-4M≤0,此时无解.2a5.有关一元二次方程判别式T2-4ac ,联系韦达定理D Δ>0有两个不等实根；△二O表示有两个相等实根，△<()表示没有实数根，实际就是(x + d), = /?, P < O 的情况.2)。

§2.2 二次函数一、 基础知识： 1． 二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- （4）三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=++------2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。

（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。

（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数；若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。

（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2b f m f n f a -中选取；当[,],[,]2bx m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。

常依轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。

3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。

二、 综合应用：例1：已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

第四讲 二 次 函 数二次函数在中学数学中起着十分重要的作用，也是初等数学中遇到比较多的函数之一，形如)0()(2≠++=a c bx ax x f 的函数，它的图象简单，性质易于掌握，又与二次方程、二次不等式有联系，与之相关的理论如判别式，韦达定理，求根公式等又是中学教材的重点内容，因此有必要进一步认识二次函数的性质，研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的主要性质：定义域为R ；图象是对称轴平行于y 轴（或与y 轴重合）的抛物线；当a ＞0时，抛物线开口向上方，函数的值域是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ，当∈x （－∞,a b 2-）时,)(x f 是减函数,当∈x [－a b2,＋∞]时，)(x f 是增函数；当a ＜0时，抛物线开口向下方，函数的值域是⎥⎦⎤⎝⎛-∞-a b ac 44,2，当∈x （－∞,ab 2-）时,)(x f 是增函数,当∈x [－,＋∞）时，)(x f 是减函数．当ac b 42-＞0时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点，它们分别是（0,242a ac b b ---），（0,242aacb b -+-）；ac b 42-=0时，函数的图象与x 轴有两个重合的交点（－ab2,0）,这时也称抛物线与x 轴相切, ac b 42-＜0时,函数的图象与x 轴没有交点．函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象是连续的．一个有用的结论是，在区间[q p ,]端点处的函数值异号，即)()(q f p f ⋅＜0时,方程)(x f =0在（q p ,）内恰有一个实根．抛物线的凸性也有一定用途，a ＞0时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意R x x ∈21,，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f +；a ＜0时, 函数的图象是上凸形曲线，即对于任意R x x ∈21,，有)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式． 一．含有参变数的二次函数对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当a 、b 、c 固定时，此二次函数唯一确定，它的图象是一条抛物线；若b 、c 固定时，a 可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于a 、b 、c 的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了．例题分析：1． 集合A ={42|2++=x x y y }，B ={a x ax y y 42|2+-=}，A ⊆B ，求实数a 的取值集合．解：A 、B 分别表示函数422++=x x y 与函数a x ax y 422+-=的值域．由3)1(4222++=++x x x ≥3知A =[3，＋∞）．而B 受参数a 的影响，要进行讨论．a =0时，x y 2-=，值域是R 符合条件A ⊆B ．a ≠0时，)(x f =a x ax 422+-是二次函数，如果a ＜0，该函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a a 14,，这时A B 不成立．如果a ＞0时，由[3，＋∞]⊆[a a 14-，＋∞],得⎪⎩⎪⎨⎧≤->314 0a a a ∴ 0＜a ≤1综上所述, a 的可取值集合为{a |0≤a ≤1}。

高中数学竞赛校本教材§5二次函数(1)二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。

在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。

它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。

因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。

学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。

一、“四个二次型”概述（一元）二次函数→a=0→↑↑（一元）二次三项式→a=0→ax2+bx+c(a≠0)↓↓↓↓↓↓↓↓→a=0→↓↓↓一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)→a=0→观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。

故将它们合称为“四个二次型”。

其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。

而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。

高中数学竞赛试题汇编二《二次函数、方程、不等式》1. 如果不等式21x x a <-+的解集是()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） (A) (),7-∞ (B) (],7-∞ (C) (),5-∞ (D) (],5-∞2. 若[]1,1a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） (A) 3x >或2x < (B) 2x >或1x <(C) 3x >或1x < (D) 13x <<3. 函数2()20112012f x x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和为 .4. 已知2()2f x x x a =++，2()441f bx x x =-+，则()0f ax b +>的解集为 .5. 设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 .6. 实数,x y 满足224+3=0x x y -+，则22x y +的最大值与最小值之差是 .7. 已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是 .8. 已知,x y 满足14xy x y +=+，且1x >则()()12x y ++的最小值是 .9. 已知,x y 为实数，22(,)f x y x xy y x y =++--的最小值是 .10. 已知实数,x y 满足22116y x +=，则的最大值是 .11. 若,x y R ∈，满足2222222()5x x y y x x x --+-=，则x = ，y = .12. 已知,x y 为实数，则()22225410max x y x x y +=+= .13. 实数,x y 满足x -x 的取值范围是 .14. 已知0,0x y ≥≥，且221x y +=，则()x x y +的最大值是 .15. 实数,x y 满足228624=0x x y y -+-+，则2x y -的最大值是 .。

二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。