高中数学 选修-2 2.非线性回归模型

非线性回归模型概述在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的数据建模技术，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出复杂的非线性关系。

为了更准确地描述和预测这种非线性关系，非线性回归模型应运而生。

一、什么是非线性回归模型非线性回归模型是指自变量和因变量之间的关系不是线性的数学模型。

在非线性回归模型中，因变量的变化不是随着自变量的线性变化而变化，而是通过非线性函数的变化来描述二者之间的关系。

非线性回归模型可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测准确性。

二、非线性回归模型的形式非线性回归模型的形式可以是各种各样的，常见的非线性回归模型包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型、逻辑回归模型等。

这些非线性回归模型可以通过引入非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系，从而更好地拟合数据。

1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种常见的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \beta_3x^3 + ... +\beta_nx^n + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1,\beta_2, ..., \beta_n$为回归系数，$n$为多项式的阶数，$\varepsilon$为误差。

2. 指数回归模型指数回归模型是描述因变量和自变量之间呈指数关系的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1e^{\beta_2x} + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2$为回归系数，$e$为自然对数的底，$\varepsilon$为误差。

3. 对数回归模型对数回归模型是描述因变量和自变量之间呈对数关系的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1\ln(x) + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1$为回归系数，$\ln$为自然对数，$\varepsilon$为误差。

非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。

非线性回归模型的求解与比较回归分析是一种用于研究变量之间相互依赖关系的统计方法。

线性回归模型是回归分析中最基本的模型，他假设自变量和因变量之间是线性关系。

然而，在实际应用中，很多变量之间的关系都是非线性的。

非线性回归模型因此应运而生，可以更好地描述这些变量之间的关系。

一、非线性回归模型的定义非线性回归模型是指因变量y和一个或多个自变量x之间的关系用非线性方程表示的回归模型，通常可以写成以下形式：y=f(x,β)+ε其中，f是一个已知的非线性函数，x是自变量，β是未知参数，ε是误差项。

二、非线性回归模型的求解非线性回归模型的参数估计和线性回归模型有所不同。

由于函数是非线性的，无法使用最小二乘法来求解参数，需要使用其它方法。

1. 极大似然估计法极大似然估计法是非线性回归模型参数估计的一种常用方法，其核心思想是寻找最大化数据集的联合概率密度函数的参数值。

该方法需要指定一个概率分布的形式，并假设数据样本之间是相互独立的，然后利用极大似然函数来求解参数。

对于非线性回归模型，可以将极大似然函数写成以下形式：L(β)=∏[f(xi,β)]^(yi)exp[-f(xi,β)]其中，xi是自变量，yi是因变量，f是非线性函数，β是未知参数。

通过求导数得到似然方程的一阶和二阶导数，使用牛顿法或拟牛顿法求解。

2. GARCH模型GARCH模型是一种广泛应用于金融领域的时间序列模型，也可以用于非线性回归模型的参数估计。

该方法的核心思想是使用ARCH (自回归条件异方差)模型来描述误差项的方差随时间变化的规律，从而达到对非线性回归模型参数的估计。

三、非线性回归模型的比较对于不同的非线性回归模型，我们需要对其进行比较，以确定最优模型。

1. 拟合优度的比较拟合优度是评价非线性回归模型拟合效果的常用指标，常用来比较各种模型。

常用的拟合优度指标有R-Squared和Adjusted R-Squared。

R-Squared越接近1，表示模型的拟合效果越好；Adjusted R-Squared同时考虑了数据集容量和模型的自由度，比R-Squared更具有说服力。

欢迎共阅2.非线性回归模型教学目标 班级____姓名________1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度. 教学过程一、非线性回归模型.非线性回归分析的步骤：（1）确定研究对象；（2）采集数据；（3）作散点图；（4）选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据；（5）求线性回归方程；（6）建线性回归模型，求残差，画残差图；（7）求2R ，刻画拟合效果. 二、例题分析.例1：研究红铃虫产卵数与温度的关系. （例见教科书2P ） 1.确定研究对象：红铃虫产卵数与温度的关系. 2.采集数据：3.作散点图：4.选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据： （1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型：x c e c y 21=（指数函数模型）； （2）令yz ln =，将指数函数模型转化成一次函数模型a bx z +=（1ln c a =，2c b =）； （3）数据转化： 温度C x / 21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 71121246611532521 23 25 27 29 32 351.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784欢迎共阅（4）新散点图： 5.求线性回归方程：运用公式求得272.0ˆ=b，849.3ˆ=a ，线性回归方程为849.3272.0ˆ-=x z ， 而红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为849.3272.0)1(ˆ-=x e y. 6.建线性回归模型，求残差，画残差图；残差849.3272.0)1()1(ˆˆ--=-=i x i i i i e y yy e7.求2R ，刻画拟合效果. 注意事项：（1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型时，可能的选择不止一个； （2）本例可选取二次函数模型423c x c y +=，（3）令2x t =，将二次函数模型转化成一次函数模型43c tc y +=； （4）不同模型拟合效果不同，可根据2R 来判断，2R 越大，拟合效果越好. 作业：为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下： 天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y /个612254995190（1）用天数x 作解释变量，繁殖个数y 作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； （3）计算相关指数2R .（4）。