2020年山东新高考平面解析几何精选模拟试题(含解析)

直线与方程一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线1的斜率与直线3x﹣2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线1的方程为（）A．15x﹣10y﹣6＝0 B．15x﹣10y+6＝0C．6x﹣4y﹣3＝0 D．6x﹣4y+3＝02．已知直线kx﹣y+2＝0和以M（3，﹣2），N（2，5）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（）A．k B．kC．k D．k或k3．直线x y﹣5＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．直线x+2ay﹣2＝0与（a﹣1）x﹣ay+3＝0平行，则a的值为（）A．1 B．或 0 C．D．05．已知A（2，﹣3），（3，﹣2），则点B和线段AB的中点M坐标分别为（）A．B（5，﹣5），M（0，0）B．B（5，﹣5），M（）C．B（1，1），M（0，0）D．B（1，1），M（）6．在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝2x上，则（）A．B．C．D．7．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是（）A．B．3 C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y（x＞0）图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为（）A．B．a＝±C．a＝3或a＝﹣1 D．a或a＝﹣1二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分．9．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝﹣2 D．a＝210．下列说法中，正确的是（）A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαB．一条直线的倾斜角为﹣30°C．若直线的倾斜角为α，则sinα≥0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα11．下面说法中错误的是（）A．经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示B．经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程x﹣x0＝m（y﹣y0）表示C．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示E．经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示12．S＝{直线l|x y＝1，m，n为正常数，θ∈[0，2π）}，下列结论中错误的结论是（）A．当θ时，S中直线的斜率为B．S中所有直线均经过同一个定点C．当m＞n时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2nD．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线的点斜式方程是y﹣2＝x﹣1，那么此直线的斜率是，倾斜角是．14．已知直线l1：ax+2y﹣3＝0和直线l2：（1﹣a）x+y+1＝0．若l1⊥l2，则实数a的值为；若l1∥l2，则实数a的值为．15．直线3x﹣4y+5＝0关于点M（2，﹣3）对称的直线的方程为．16．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（1，1），P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最大值是．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：（1）2x﹣y+7＝0，x+y＝1；（2）x﹣3y﹣10＝0，y；（3）3x﹣5y+10＝0，9x﹣15y+30＝0．18．设直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线1分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（x A，0），B（0，y B），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长；（3）当直线1在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l的方程．19．已知平面直角坐标系内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（1）求线段AB的垂直平分线l2的方程．．（2）直线l1过点P（2，﹣3），且A、B两点到直线l1的距离相等，求直线l1的方程．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2＝4时，求直线AB的方程；（2）若过点P且垂直于直线AB的直线l与抛物线C交于C，D两点，记△ABF与△CDF的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值．21．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．22．已知直线l的方程为2x﹣y+1＝0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D D B C D D AB CD ABCD ABD 难题详细过程：8．（难题）设P（x，），则．令∴令f（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2，t≥2．该函数对称轴t＝a①a≤2时，f（t）递增，f（t）min＝f（2）＝2a2﹣4a+2＝8解得a＝﹣1或3（舍）②①a＞2时，f（t）min＝f（a）＝a2﹣2＝8解得a或（舍）．综上，a的取值为﹣1或．12．当θ时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为，故A不正确；根据x y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；当m＞n时，S中的两条平行直线间的距离为d2n，即最小值为2n，C 正确；（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确；13._____ 1，45°______14.____ ﹣1或2，．_______15._____ 3x﹣4y﹣41＝0．________16.根据题意，点A（0，1），B（1，1），如图，A、Q关于直线OP对称，则|OA|＝|OQ|＝1，则Q的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r＝|OA|＝1的圆，连接OQ、QB，分析可得：当O、Q、B三点共线时，|BQ|最大，此时|BQ|＝1，17． 1）直线2x﹣y+7＝0的斜率为2，直线x+y＝1的斜率为﹣1，故两直线相交，联立方程，解得，即交点坐标为（﹣2，3）；（2）直线x﹣3y﹣10＝0的斜率为，纵截距为，直线的斜率为，纵截距为，故两直线平行；（3）直线3x﹣5y+10＝0的斜率为，纵截距为2，直线9x﹣15y+30＝0的斜率为，纵截距为2，故两直线重合．18．（1）直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．整理可得：a（x﹣2）+x+y﹣5＝0，当x﹣2＝0时不论a为何值，x+y﹣5＝0，即x＝2，y＝3，可证当不论a为何值，直线恒过定点（2，3）；（2）x＝0时，y＝2a+5，即y B＝2a+5，因为a＝﹣1时，直线与x轴无交点，所以a≠﹣1，令y＝0时x，即A（，0），B（0，2a+5），x轴正半轴，y轴正半轴，所以2a+5＞0，且a+1＞0，所以a＞﹣1，所以|AB|，O到直线的距离d，所以S△AOB••[4|a+1|+||+12][212]＝12，当且仅当|a+1|2，即a+1面积最小即a，所以A（4，0），B（0，6），所以这时周长为|OA|+|OB|+|AB|＝4+610+2；（3）因为直线1在两坐标轴上的截距均为整数，即2a+5，都是整数，且直线恒过定点（2，3），而2，所以a＝﹣4，﹣2，0，2，又当a，直线过原点也符合题意，所以直线方程分别为：3x﹣y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，x+y﹣5＝0，3x+y﹣9＝0，3x﹣2y＝0．19．（1）根据题意，A（8，﹣6），B（2，2），则AB的中点坐标为（5，﹣2），且．则线段AB的垂直平分线斜率为，故AB的中垂线方程为，变形可得3x﹣4y﹣23＝0即线段l2的方程为3x﹣4y﹣23＝0．（2）当l1∥AB时，由点斜式得，即4x+3y+1＝0；当l1过AB中点时，由两点式得，即x﹣3y﹣11＝0，所以，直线l1的方程为4x+3y+1＝0或x﹣3y﹣11＝0．20．（1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x＝my+2．联立消去x，得y2﹣4my﹣8＝0，由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以．因为x1+x2＝4．所以4m2+4＝4，解得m＝0．所以直线AB的方程为x＝2．（2）由（1），知△ABF的面积为．因为直线CD与直线AB垂直，且当m＝0时，直线AB的方程为x＝2，则此时直线l的方程为y＝0，但此时直线l与抛物线C没有两个交点，所以不符合题意，所以m≠0．因此，直线CD的方程为．同理，△CDF的面积．所以，当且仅当，即m2＝1，亦即m＝±1时等号成立．21．（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC∴直线BC的方程为y﹣3（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9＝0．22．（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1＝0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m＝0，把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m＝0，解得m＝﹣7．∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y﹣7＝0；（Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1＝0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c＝0，∵点P（3，0）到直线l2的距离为．∴，解得c＝﹣1或﹣11．∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1＝0或2x﹣y﹣11＝0．。

专题6 平面向量及其应用,复数1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.预测2020年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运算考查，.一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A ．2 B ．C ．5D ．【答案】D 【解析】 因为，所以．2．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）向量(2,1), (1,1), (, 2)a b c k ==-=r r r ，若()a b c -⊥r r r ，则k 的值是( ) A ．4 B ．-4C ．2D ．-2【答案】B 【解析】()(1,2)(,2)404a b c k k k -⋅=⋅=+=⇒=-r r r，故选B.3．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量(1,1),a =r (1,3),b =-r (2,1)c =r，且()//a b c λ-r r r ，则λ=（ ）A ．3B ．-3C ．17D ．17-【答案】C 【解析】由题意(1,13)a b λλλ-=+-r r ，∵()//a b c λ-r r r，∴2(13)1λλ-=+，解得17λ=． 故选：C.4．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．92【答案】D 【解析】如图可知x ，y 均为正，设=m ,AD AB nAC AE AB AC λμ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，:,,,B D E C 共线， 1,1m n λμ∴+=+=，()()AD AE xAB y AC m AB n AC λμ+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则2x y m n λμ+=+++=，1411414149()5(52)2222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则14x y +的最小值为92，故选D. 5．（2020届山东实验中学高三上期中）i 是虚数单位，若复数21z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．0C ．i -D ．1【答案】A【解析】i Q 是虚数单位，复数22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i ++====----+-， z ∴的虚部为1-．故选：A ．6．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知复数z 满足11ii z+=-，则z =（ ） A． B ．2CD ．1【答案】D 【解析】 ∵11ii z+=-， ∴11i z i +=-()()()2111i i i +=-+1211(1)i i +-==--， ∴1z =， 故选：D ．7．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(2,1)OC m m =+u u u r．若AB OC u u u r u u u r∥，则实数m 的值为（ ）A ．15B ．35-C ．3-D ．17-【答案】C 【解析】因为//AB OC u u u v u u u v，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C.8．（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b r r 是非零向量，则2a b =r r是a a bb =r r rr 成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =v v 可知：a b v v ， 方向相同，a b a b v v v v ， 表示 a b v v ， 方向上的单位向量所以a ba b=v vv v 成立;反之不成立.故选B9．（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，()()313a b a b -⋅+=-r r r r ，则ar 与b r的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-r r r r r r r r Q ，即21113a b ⋅-=-r r ，得1a b ⋅=-r r，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅r r r r ，0θπ≤≤Q ，23πθ∴=. 故选：C.10．（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，3OC =u u u v ，OC OB ⊥u u u r u u u r ，OA <u u u r，30OC >=︒u u u r若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，x y +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设(1,0)A ，13(,22B -，33(,22C ，则3313 (,)(1,0)(,)22OC x y==+-u u u r，所以132233x yy⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪，解得2x=，1y=，所以3x y+=，故选：C．11．（2020·山东省淄博实验中学高三期末）已知复数133izi-=+，i为虚数单位，则（）A．z i=B．z i=C．21z=D．z的虚部为i-【答案】B【解析】由题：2213(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i iz ii i i i----+===-++--，所以：1z=，z i=，22()1z i=-=-，z的虚部为1-.故选：B12．（2020届山东省德州市高三上期末）已知复数z满足13z i=-+（其中i为虚数单位），则zz=（）A．1322-+B．13i22--C．1322i+D．1322-【答案】B【解析】1z =-+Q ，2z ∴==，因此，11222z z -==--. 故选：B.13．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知i 是虚数单位，1(1)i 0a +->()a R ∈，复数2i z a =-，则1z=（ ）A ．15B ．5CD 【答案】C 【解析】因为1(1)i 0a +->()a R ∈，所以10a -=，即1a =．12z i =-=，111z z z====．故选：C.14．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知复数133iz i-=+，i 为虚数单位，则（ ） A ．z i = B ．z i = C ．21z = D ．z 的虚部为i -【答案】B 【解析】由题：2213(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i i z i i i i i----+===-++--， 所以：1z =，z i =，22()1z i =-=-，z 的虚部为1-.故选：B15．（2020届山东省潍坊市高三上期末）设(1)1i x yi +=+，其中x ，y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B 【解析】由已知得1x xi yi +=+，根据两复数相等可得：1x y ==，所以|||1|x yi i +=+=故选：B.16．（2020·河南高三期末（文））设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】B 【解析】因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+， 则1355z i =-. 故选：B.17．（2020·全国高三专题练习（文））已知复数z 满足()134z i i +=+，则||z =( )AB ．54C ．52D 【答案】D 【解析】因为()134z i i +=+，所以()()()()3413434711111122i i i i z i i i i +-+++====+++-+，所以||2z ==. 故选：D.18．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知向量(1,2)a =r ，(2,)b x =r ，a b +r r 与b r 平行，则实数x 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】解：由已知(3,2)a b x +=+r r ，又()//a b b +rr r ，32(2)x x ∴=+，解得：4a =，故选：D.19．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD 【答案】C 【解析】11,3,cos 3cos 1cos 3AB AC AB AC AB AC A A A ==⋅=⋅==-∴=-u u u r u u u r u u u r u u u r故sin A =，1sin 2S AB AC A =⋅=故选：C20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知A ,B ,C 为不共线的三点,则“AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r”是“ABC∆为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方得到222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AB AC ∴⋅=u u u r u u u r ，即AB AC ⊥u u u r u u u r 故ABC ∆为直角三角形，充分性；若ABC ∆为直角三角形，当B Ð或C ∠为直角时，AB AC AB AC +≠-u u u r u u u r u u u r u u u r，不必要；故选：A21．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1【答案】D 【解析】设z ＝bi ，b ∈R 且b ≠0，则11iai++＝bi ，得到1＋i ＝－ab ＋bi ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1. 故选：D.22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知向量(),2a x =r ，()2,b y =r ，()2,4c =-r ，且//a c r r ，b c ⊥r r，则a b -=r r( )A ．3B ．10C ．11D ．23【答案】B 【解析】因为向量(),2a x =r ，()2,b y =r ，()2,4c =-r ，且//a c r r ，b c ⊥r r， 所以440440x y --=⎧⎨-=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩，即()1,2a =-r ，()2,1b =r ，所以(3,1)a b -=-r r ，因此()223110a b -=-+=r r .故选：B.23．（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u r（ ）A ．3155AB AC +u u ur u u u rB ．2155AB AC +u u ur u u u rC ．481515AB AC +u u ur u u u rD ．841515AB AC +u u ur u u u r【答案】D 【解析】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 二、多选题24．（2020届山东实验中学高三上期中）关于平面向量,,a b c r r r，下列说法中不正确．．．的是（ ） A ．若//a b r r 且//b c r r，则//a c r rB ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r rC ．若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r r，则b c =r rD ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r【答案】ACD 【解析】对于A ，若0b =r r ，因为0r 与任意向量平行，所以a r不一定与c r 平行，故A 错；对于B ，向量数量积满足分配律，故B 对； 对于C ，向量数量积不满足消去率，故C 错；对于D ，()a b c ⋅⋅r r r 是以c r 为方向的向量，()a b c ⋅⋅r r r 是以a r 为方向的相量，故D 错．故选：ACD ．25．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =u u u r u u u r ，2AD DC =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1AB CE ⋅=-u u u r u u u rB ．0OE OC +=u u u r u u u rrC．OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u rD ．ED u u u r在BC uuu r方向上的投影为76【答案】BCD 【解析】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),(0,3),(,)3E A B C D -， 设123(0,),(0,3),(1,),(,)3O y y BO y DO y ∈==--u u u r u u u r ，BO uuu r ∥DO u u u r ， 所以2313y y -=-，解得：3y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=u u u r u u u r r ，所以选项B 正确；32OA OB OC OE OC OE ++=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=u u u r u u u r ，所以选项A 错误；123(,)33ED =u u u r ，(1,3)BC =u u u r ， ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==u u u u u u r u u u r r ，所以选项D 正确. 故选：BCD26．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =u u u r u u u r，F 为AE 的中点，则（ ）A ．12BC AB AD =-+u u u r u u u r u u u rB ．1133AF AB AD =+u u u r u u u r u u u rC ．2133BF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r D ．1263CF AB AD =-u u u r u u u r u u u r 【答案】ABC【解析】∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u u v u u u v ，A 对； ∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u u v u u u v ， ∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ， 又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u u v u u u v ，B 对； ∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v ，C 对； ∴CF CB BF =+u u u v u u u v u u u v BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u u v u u u v ，D 错； 故选：ABC ．三、填空题27．（2020届山东省潍坊市高三上期末）向量()(),4,1,a x b x =-=-r r ，若a r 与b r 共线，则实数x =__________．【答案】2±【解析】//a br r Q ()40x x ∴⋅-+=，解得：2x =±.故答案为：2±28．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知向量,a b r r 满足||1a =r ，1a b ⋅=-r r ，则()a a b ⋅-=r r r __________．【答案】2【解析】()a a b ⋅-=r r r 222||1(1)2a a b a a b -⋅=-⋅=--=r r r r r r .故答案为：2.29．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若数列{}n a 的通项公式(1)(32)n n a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.【答案】15【解析】数列{}n a 的通项公式(1)(32)n n a n =--，则当n 为奇数时，()1(32)3123n n a a n n +=--++-=+，12103515a a a ++⋯+=⨯=，故答案为：15.30．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,2a b a b ==-=v v v v 且则向量a v 与向量b r 夹角的大小是_______. 【答案】6π 【解析】由2a b v v -=得223|44|7144372a ab b a b a b -⋅+=∴-⋅+⨯=∴⋅=v v v v v v v v3cos ,,.26a b a b π∴===v v v v31．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a r 、b r ,满足a b =r r ,()2a b b +⊥r r r ,则a r 与b r 的夹角为___________.【答案】120o【解析】设a r 与b r 的夹角为θ，由题意a b =r r ,()2a b b +⊥r r r ,， 可得2(2)2cos 0a b b a b b θ+⋅=+=v v v v v v ，所以1cos 2θ=-，再由0180θ≤≤o o 可得，120θ=o ，故答案是120o .32．（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b r r 满足3a =r ，2b =r ，4a b +=r r ，则a b -=r r ___________. 【答案】10【解析】由已知：3a =r ，2b =r ，4a b +=r r ，所以224a b +=r r ，展开得到22216a a b b +⋅+=r r r r ，所以23a b ⋅=r r ， 所以222210a b a a b b -=⋅+=-r r r r r r ，所以10a b -=r r ；故答案为：10．33．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =u u u v ，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u u v 的最小值 ________． 【答案】48322-【解析】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B 22M 02-，，，，，，， ∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅++⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u u v ，， ()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322- 34．（2020届山东省烟台市高三上期末） 已知向量a r ,b r 满足||1a =r ，||2b =r ()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 夹角的大小是______． 【答案】34π【解析】由()a a b ⊥+r r r 得，()0a a b ⋅+=v v v ，即20a a b +⋅=r r r ， 据此可得：2cos ,a b a b a b a ⋅=⋅⋅=-v v v v v v v ，cos ,2a b ∴==-v v ，又a r 与b r 的夹角的取值范围为[0,]π，故a r 与b r 的夹角为34π.四、解答题35．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +rr；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹角的余弦值.【答案】（1）25a b +=r r （2【解析】因为a b ⊥r r ，()()1,2,2,a b m =-=r r所以0a b ⋅=r r ，即220m -+=解得1m =所以()()()21,24,23,4a b +=-+=r r25a b +==r r（2） 若0m =，则()2,0b =r所以(1,2)a b +=r r ，-(3,2)a b =-r ra b +=r r，-a b =r r341a b ⋅=-+=r r所以cos 65-a b a b a bθ⋅===+r r r r r r。

2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2} 2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B．升C．升D．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g （x）＝a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A．B．C．D．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F﹣ECD的外接球体积为（）A．B．C．D．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a＝，a b＝b a，则＝（）A．B．C．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+2 11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C＝C．若边BC上的高为a，则当+取得最大值时，A＝D．若边BC上的高为a，则当+取得最大值时，A＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x （sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g （）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝0.1500.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x+1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH 为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c＝a，b＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a 的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t ＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b 的值．【解答】解：令t＝log a b，则t+＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t＝或t＝2，∴log a b＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C≠0，可得cos C＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A+），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C＝，∵C∈（0，π），∴C＝，可得A正确，B错误．∵边BC上的高为a，∴bc sin A＝•a•，∴a2＝2bc sin A，∵cos A＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A+）≤4，当A+＝时等号成立，此时A＝，故C正确，D 错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd+＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x＝﹣1，y＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g（）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x﹣），∵g（）＝，∴，∴，∴，故C＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DCAB，∴CDGF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q （x4，y4），联立直线l与抛物线C的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 5P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

专题10 立体几何与空间向量从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:(1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;(2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;(3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.预测2020年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查面积体积问题、点线面位置关系（各种角的关系或计算）等；主观题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等.一、单选题1．（2020·山东高三下学期开学）设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ）A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nB ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥ 2．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，AC =D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．9πC ．25π3D ．1219π 3．（2020·山东高三下学期开学）在四面体ABCD 中，且AB AC ⊥，AC CD ⊥，AB ，CD 所成的角为30°，5AB =，4AC =，3CD =，则四面体ABCD 的体积为( )A ．8B ．6C ．7D ．54．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，BC =30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．22πC ．40πD ．44π5．（2020届山东省烟台市高三模拟）《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642 6．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．6π B ．46π C ．26π D 6π7．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足//DE BC 且ADAC λ=((01))λ∈,，将ADE V 沿直线DE 折到A DE 'V 的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B ．存在102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE C ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，104A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ23二、多选题8．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值9．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3 10．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2020届山东省烟台市高三模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE12．（2020·山东高三模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）A ．平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点B ．平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶113．（2020届山东省高考模拟）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM V 沿直线AM 翻折成1AB M V ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 14．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥时，直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为104C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN15．（2020·山东高三下学期开学）在三棱锥D -ABC 中，1AB BC CD DA ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．//MN 平面ABDC ．三棱锥A -CMN 的体积的最大值为212D ．AD 与BC 一定不垂直16．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）A ．沙漏中的细沙体积为3102481cm π B ．沙漏的体积是3128cm πC ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈）17．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -外接球半径为3 18．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 19．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMBB ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC20．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小21．（2020届山东省青岛市高三上期末）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3 22．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形23．（2020届山东省泰安市肥城市一模）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3 24．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）三棱锥P −ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ）A ．PAB ∆是钝角三角形B ．此球的表面积等于5πC ．BC ⊥平面P ACD ．三棱锥A −PBC 的体积为32三、填空题25．（2020届山东省高三高考模拟）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 26．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）双曲线2213x y -=的渐近线与直线3x =y 轴旋转360︒，则所得旋转体的体积为___；表面积为_____27．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知正三棱锥P-ABC ，Q 为BC 中点，2PA =2AB =，则正三棱锥P-ABC 的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为________．28．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为__________．29．（2020·山东高三模拟）如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则点B 到平面ACD 的距离为_______，点O 到直线AD 的距离的最大值为_______.30．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.31．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．四、解答题32．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知如图1直角梯形ABCD ，///AB CD ，90DAB ∠=︒，4AB =，2AD CD ==，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起（如图2），使平面BED ⊥平面AECD .（1）证明：BE ⊥平面AECD ；（2）在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.33．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF P 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．34．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.35．（2020·山东高三模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点F 为线段PC 上的点，过,,A D F 三点的平面与PB 交于点E .将①AB AP =，②BE PE =，③PB FD ⊥中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：（1）求平面ADFE 将四棱锥分成两部分的体积比； （2）求直线PC 与平面ADFE 所成角的正弦值.36．（2020届山东省烟台市高三模拟）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E在线段BC 上，且:1:3CE EB =.（1）求证：DE ⊥平面PAD . （2）求二面角A PC D --的余弦值.37．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.38．（2020届山东省泰安市肥城市一模）如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积.39．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，145BAA ∠=︒，平面11AA C C ⊥平面11AA B B .（1）求证：1AA BC ⊥； （2）若122BB AB ==，直线BC 与平面11ABB A 所成角为45︒，D 为1CC 的中点，求二面角111B A D C --的余弦值.40．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =I ，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.41．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧»CD 所在平面垂直，M 是»CD上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．42．（2020届山东省高考模拟）已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：CD ⊥平面GAC ； （2）求二面角P AG C --的余弦值.43．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AB 的中点.（1）求证：1BC P 平面1MCA ；（2）若BMC ∆是正三角形，且1AB BC =，求直线AB 与平面1MCA 所成角的正弦值．44．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图，在三陵锥P ABC -中，PAC ∆为等腰直角三角形，,2PA PC AC ==，ABC ∆为正三角形，D 为AC 的中点.（1）证明：平面PDB ⊥平面PAC ；（2）若二面角P AC B --的平面角为锐角，且棱锥P ABC -的体积为3，求直线PA 与平面PCB 所成角的正弦值.45．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G ,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．46．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）如图，在四棱锥P-ABCD 中，23,AD =3,AB =3,AP =//AD BC ，AD ⊥平面P AB ，90APB ︒∠=，点E 满足2133PE PA PB =+u u u v u u u v u u u v.（1）证明：PE DC ⊥； （2）求二面角A-PD-E 的余弦值.47．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，AB BD ⊥，E 是线段AD 的中点，沿BD 将BCD ∆翻折到'BC D ∆，使得平面'BC D ⊥平面BCD .（1）求证：'C D ⊥平面BCD ； （2）求二面角'E BC D --的余弦值.48．（2020·山东高三下学期开学）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E F ，分别为AB SC ，的中点.（1）证明：//EF 平面SAD .（2）若8SD =，求二面角D EF S --的正弦值.一、单选题1．（2020·山东高三下学期开学）设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ）A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nB ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥【答案】C 【解析】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C2．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，22AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．9πC ．25π3D ．1219π【答案】D 【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积． 详解：因为2,22AB BC AC ===，所以AB BC ⊥， 过AC 的中点M 作平面ABC 的垂下MN ，则球心O 在MN 上， 设OM h =，球的半径为R ，则棱锥的高的最大值为R h +，因为1122()232D ABC V R h -=⨯⨯⨯⨯+=，所以3R h +=， 由勾股定理得22(3)2R R =-+，解得116R =，所以球的表面积为1211214369S ππ=⨯=，故选D ．3．（2020·山东高三下学期开学）在四面体ABCD 中，且AB AC ⊥，AC CD ⊥，AB ，CD 所成的角为30°，5AB =，4AC =，3CD =，则四面体ABCD 的体积为( ) A ．8B ．6C ．7D ．5【答案】D 【解析】由题意，如图所示，AB AC ⊥，AC CD ⊥，过点A 作CD 的平行线AE ，则AC ⊥平面ABE ，且EAB ∠为30°或150°，从B 点向AE 作垂线，垂足为E ， 易证BE ⊥平面ACD .则点B 到平面ACD 的距离15sin 522BE AB EAB =⋅∠=⨯=， 162ACD S AC CD ∆=⋅=则， 则四面体ABCD 的体积为153ACD V S BE ∆=⋅⋅=. 故选：D.4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，26BC =，30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．22πC ．40πD ．44π【答案】C 【解析】因为180BCD BAD ∠+∠=︒，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，90ADC ABC ∠=∠=︒. 由2tan30AB︒=，得23AB =，所以()()2223266AC =+=.设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD .易知点O 为四面体MACD 外接球的球心，所以22621022OC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=4=40S OC ππ⋅球.故选C5．（2020届山东省烟台市高三模拟）《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642【答案】B 【解析】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==,故选:B6．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．86π B ．46π C ．26π D ．6π【答案】D【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,62338R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴=== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D. 7．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足//DE BC 且ADAC λ=((01))λ∈,，将ADE V 沿直线DE 折到A DE 'V 的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B ．存在102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，4A B '=D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ【答案】D【解析】对于A ，假设存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，如图1所示，因为BF ⊂平面A BE '，平面A BE '⋂平面A CD A A ''=，故//BF A A '，但在平面A BE '内，,BF A A '是相交的，故假设错误，即不存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，故A 错误.对于B ，如图2，取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A I A H AI ''，因为ABC ∆为等边三角形，故AI BC ⊥，因为//DE BC ，故60,60,A DE A DE ACB A ED AED ABC '''∠=∠=∠=︒∠=∠=∠=︒所以,A DE ADE '∆∆均为等边三角形，故A H DE '⊥，AH DE ⊥，因为//DE BC ，AI BC ⊥，AI BC ⊥，故,,A H I 共线，所以IH DE ⊥，因为A H IH H '⋂=，故DE ⊥平面A HI '，而DE ⊂平面CBED ，故平面A HI '⊥平面CBED ，若某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE ，则A '在平面BCDE 的射影在IH 上，也在BC 上，故A '在平面BCDE 的射影为H ，所以AH IH >， 此时1+2AD AH A H AC AI A H IH λ'===>'，这与102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,矛盾，故B 错误. 对于C ，如图3（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B BH ''）因为,A H DE IH BC '⊥⊥，所以A HI '∠为二面角A DE I '--的平面角，因为二面角A DE B '--为直二面角，故90A HI '∠=︒，所以A H AH '⊥，而IH DE H ⋂=，故A H '⊥平面CBED ，因BH ⊂平面CBED ，故A H BH '⊥. 因为12λ=，所以132A H IH AI '===.在Rt IHB ∆中，37142BH =+=，在Rt A HB '∆中，3710442A B '=+=，故C 错.对于D ，如图4（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B A C '''），作A '在底面CBED 上的射影O ，则O 在IH 上. 因为,//AD BC DE AC λ=3λ'=且2DEλ=，所以3A H λ'=其2DE λ=. 又()1132A CBED V DE CB IH A O '-'=⨯⨯+⨯⨯())())31122312231366A O λλλλλλλ'=+-⨯≤+-=-+，令()()3,0,1f λλλλ=-+∈，则()231f λλ'=-+， 当3λ⎛∈ ⎝⎭时，()0f λ'>；当3λ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0fλ'<.所以()f λ在30,3⎛ ⎝⎭为增函数，在33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，故()max 32339f f λ⎛==⎝⎭.故D 正确.故选：D.二、多选题8．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】ABD【解析】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 9．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3 【答案】ABD【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， 对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即22h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故2221113r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【解析】对于A ，由AB 与CE 所成角为45︒，可得直线AB 与平面CDE 不垂直；对于B ，由AB CE ^，AB ED ⊥，CE ED E ⋂=，可得AB ⊥平面CDE ；对于C ，由AB 与CE 所成角为60︒，可得直线AB 与平面CDE 不垂直；对于D ，连接AC ，由ED ⊥平面ABC ，可得ED ⊥AB ，同理可得EC AB ⊥，又ED EC E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE .故选：BD11．（2020届山东省烟台市高三模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE【答案】AD【解析】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点,因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确；对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=,因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===,所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABC S AB AD =⋅=⨯⨯=V ,所以32E ABCD E ABC V V --=, 所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC V ,PCD V 为直角三角形, 又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD V 为直角三角形,所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+,则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形,故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误；对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD V 中,222AC AD CD +=在直角梯形ABCD 中,()222BC AD AB CD =+-=,所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥,因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP ,所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确,故选:AD12．（2020·山东高三模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）A ．平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点B ．平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1【答案】BC【解析】如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=，连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==Q ， NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ，,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒，,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ，则12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E Q 为DF 中点，11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴=== N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴== 所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点，点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点.做出线段BC 的另一个三等分点P '，做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=，所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1.故选:BC.13．（2020届山东省高考模拟）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM V 沿直线AM 翻折成1AB M V ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 【答案】BD 【解析】如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =，对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，在NEC V 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确. 故选：BD.14．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥时，直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为104C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN 【答案】AC 【解析】BC ⊂Q 平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥.Q 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD I 平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE .EF ∴⊥平面ABCD ，设EA 平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，223EF CE CF =-=，225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=，则6sin EF EA θ==，B 项错误；连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ，。