(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。

高三数学平面几何练习题及答案一、选择题1. 已知直线l与x轴的交点为A(2, 0)，与y轴的交点为B(0, -3)。

则直线l的斜率是：A. 3B. -3C. 1/3D. -1/3答案: B. -32. 已知平面上两点P(2, 4)、Q(5, 7)，则向量PQ的坐标表示为：A. (3, 3)B. (2, 3)C. (5, 7)D. (7, 11)答案: A. (3, 3)3. 已知点A(-3, 4)、B(1, -2)，则直线AB的斜率为：A. 2B. -2C. 3/2D. -3/2答案: D. -3/24. 在直角坐标系中，点P(3, 4)关于y轴的对称点为：A. (3, -4)B. (-3, 4)C. (4, 3)D. (-4, 3)答案: B. (-3, 4)5. 直线y = 2x + 3与直线y = -x + 1的交点坐标为：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (-1, 2)D. (2, -1)答案: C. (-1, 2)二、填空题1. 已知向量AB = (-3, 2)，向量BC = (-1, 4)，则向量AC = ______。

答案: (-4, 6)2. 已知点A(2, 3)、B(5, 7)，则直线AB的斜率为______。

答案: 4/33. 已知线段的中点坐标为M(3, -2)，其中一端点为N(5, 1)，则另一端点坐标为______。

答案: (1, -5)4. 平面上一点P(x, y)，与坐标轴的距离之和为7，且x > 0，y > 0。

则点P可能的坐标是______。

答案: (4, 3)5. 直线y = 3x + 2与y轴交点的坐标为(0, b)，则b = ______。

答案: 2三、解答题1. 已知四边形ABCD，其中AB为水平线段，CD为垂直线段。

已知AB的中点坐标为M(2, 3)，CD的中点坐标为N(5, 4)。

求四边形ABCD的中心点坐标。

解答:四边形的中心点坐标为两个中点的坐标的平均值。

平面解析几何式卷七一、选择题1、从点P (m , 3)向圆(x + 2)2+ (y + 2)2= 1引切线, 则一条切线长的最小值为A ．B ．5C ．D ．2、若曲线x 2－y 2= a 2与(x －1)2+ y 2= 1恰有三个不同的公共点, 则a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．不存在3、曲线有一条准线的方程是x = 9, 则a 的值为A ．B ．C ．D ．4、参数方程 所表示的曲线是A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分, 且过点D ．抛物线的一部分, 且过点5、过点(2, 3)作直线l , 使l 与双曲线恰有一个公共点, 这样的直线l 共有A ．一条B ．二条C ．三条D ．四条6、定义离心率为的椭圆为“优美椭圆”, 设(a > b > 0)为“优美椭圆”, F 、A 分别是它的左焦点和右顶点, B是它的短轴的一个端点, 则ÐABF 为A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°7、在圆x 2 + y 2= 5x 内, 过点有n 条弦的长度成等差数列, 最小弦长为数列的首项a , 最大弦长为a n , 若公差, 则n 的取值集合为A ．B ．C ．D ．8、直线与圆x 2 + y 2= 1在第一象限内有两个不同的交点, 则m 的取值范围是A ．1 < m < 2B ．C ．D ．二、填空题1若直线过点（1,2），（3,24），则此直线的倾斜角是2、已知直线l 的斜率[]3,1-∈k ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 。

3、设直线过点()a ,0，其斜率为1，且与圆222=+y x 相切，则a 的值为 。

4、若过点A （4,0）的直线l 与曲线()1222=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 。

5、“1=a ”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的 条件。

高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练
习
解析几何与立体几何是高中数学中的重要内容之一，对于高三学生来说，掌握这两个领域的知识和技巧至关重要。

为了帮助同学们更好地复习与训练，以下是一些解析几何与立体几何综合练习题。

一、解析几何部分
1. 已知点A(2,3)、B(5,7)，求直线AB的斜率和方程。

2. 设直线L1过点A(1,2)，斜率为1，求L1与x轴、y轴的交点坐标。

3. 已知直线L2的方程为y=2x-3，求L2与y轴的交点坐标。

4. 设四边形ABCD的顶点分别为A(1,2)、B(4,5)、C(6,1)、D(3,-2)，求四边形ABCD的周长和面积。

二、立体几何部分
1. 已知圆柱体的高为8cm，底面直径为6cm，求圆柱体的表面积和体积。

2. 设正方体的边长为3cm，求正方体的表面积和体积。

3. 设棱长为5cm的正六面体A，另有一条边长为4cm的直线段BC平行于A的一条棱，求BC与正六面体A的交点坐标。

4. 已知圆锥的高为12cm，底面半径为4cm，求圆锥的表面积和体积。

以上是一些解析几何与立体几何的综合练习题，希望同学们能够认真思考并灵活运用所学知识来解答这些问题。

通过不断练习，相信你们对解析几何与立体几何的理解和掌握会更上一层楼，为应对高考数学提供有力的支持。

加油！。

高三复习解析几何练习题解析几何是高中数学的重要内容之一，也是高考数学中的重点和难点。

在高三阶段，解析几何是学生们需要加强练习和熟练掌握的内容之一。

下面将为大家介绍几个高三复习解析几何的练习题。

一、平面几何题1. 已知四边形ABCD，AB=BC=CD=DA，以BC和AD为边，平分角AOK，角AOK的度数是多少？解析：由已知条件可知，ABCD为菱形。

菱形的性质是对角线互相垂直且互相平分。

因此，角AOK为90度。

2. 给定平面直角坐标系，点A(2,-3)在直线y=x上，点B(4,-2)在直线y=-2x上，求直线AB的斜率。

解析：直线AB的斜率等于两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

点A与点B的纵坐标之差为-2-(-3)=-2+3=1，横坐标之差为4-2=2，因此直线AB的斜率为1/2。

二、空间几何题1. 已知四面体ABCD，面ABCD的中心为O，直线AD与平面ABC垂直，求证AB与平面OBC平行。

解析：根据已知条件，AD与平面ABC垂直，即AD与平面ABC的法线向量垂直。

而面ABCD的中心O位于平面ABC上，所以向量OB与向量OA垂直。

由于向量OA与向量AD平行，所以向量OB与向量AD也平行，即平面OBC与平面ABC平行。

2. 设P为正方体ABCD-A1B1C1D1的重心，求证向量CBD与向量PP1平行。

解析：根据重心的定义，重心是由正方体八个顶点连接到重心的向量的和的平凡中心，即向量AP+向量BP1+向量CP+向量DP1=0。

因正方体其中一对相对的棱平行于向量CBD，并且向量AP+向量CP平行于向量APA1，所以向量CBD与向量PP1平行。

通过以上的几个解析几何练习题，可以帮助高三学生们加强对解析几何知识点的理解和运用。

解析几何作为高考数学中的重点和难点，需要同学们进行大量的练习和总结，提高解题策略和解题能力。

希望同学们通过不断的练习和理解，能够在高考中取得优异的成绩。

7.1直线的方程时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．过点M (－3，2)，N (－2，3)的直线的斜率是( )A ．1B ．2C ．－1 D.322．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．23．直线3x ＋2y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A ．k ＝32，b ＝3 B ．k ＝－32，b ＝3 C ．k ＝32，b ＝－3 D ．k ＝－32，b ＝－34．若过点(1,2)的直线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．x ＋4y ＋3＝0B ．x ＋4y －9＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．4x －y －2＝05．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为() A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7) D ．(－6,0)或(7,0)6．已知过A (－1，a )，B (a,8)两点的直线与直线2x －y ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．－10B ．2C ．5D ．17二、填空题(每小题5分，共15分)7．过点A (4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为________．8．直线3y ＋3x ＋2＝0的倾斜角是________．9．直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.三、解答题(共15分)10．直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．7.2两直线的位置关系时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么系数a 等于( )A ．－3B ．－6C ．－32 D.232．点(0,5)到直线y ＝2x －5的距离是( )A.52 B ．2 5 C.32 D.523．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋7＝0D ．2x －3y ＋8＝04．与直线3x －4y ＋5＝0，关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝05．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.13 B.43 C.23 D.536．方程(1＋4k )x －(2－3k )y ＋2－14k ＝0所确定的直线必经过点( )A ．(2,2)B ．(－2,2)C ．(－6,2)D ．(3，－6)二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________.8．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.9．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则直线l 的方程为________．三、解答题(共15分)10．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．7.3圆的方程时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．－1<a <15D ．－15<a <1 2．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝43．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 4．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝15．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45 D.135二、填空题(每小题5分，共15分)7．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是____________． 8．圆x 2＋y 2＝1关于直线x ＋y －1＝0的对称圆的方程为____________________．9．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线的方程是____________．三、解答题(共15分)10．经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的标准方程．7.4直线与圆的位置关系时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围( )A ．－2－5＜a ＜－2＋5B ．－2－5≤a ≤－2＋ 5C ．－5≤a ≤5D ．－5＜a ＜ 52．直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 的值为( )A ．0或2B ．2 C. 2 D ．无解3．直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 5．若过点A (0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33B.⎣⎡⎭⎫－33，3 C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－33∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞ 6．两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知直线5x －12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为____________．8．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．9．已知圆(x －7)2＋(y ＋4)2＝16与圆(x ＋5)2＋(y －6)2＝16关于直线l 对称，则直线l 的方程是____________．三、解答题(共15分)10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝2 2时，求直线l 的方程．一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A.12B.22C. 2D.322．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 3．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 29＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．124．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.235．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.33 C.12 D.136．若椭圆x 225＋y 2m ＝1的离心率e ＝35，则m 的值为( ) A ．16 B ．16或62516 C.62516 D ．3或253二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝______.8．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________． 9．以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫22，1，则椭圆C 的方程为________．三、解答题(共15分)10．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，求弦AB 的长．一、选择题(每小题5分，共30分)1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．－1<m <3 B ．m >－1 C ．m >3 D ．m <－13．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a 等于( ) A ．2 B. 3 C.32D ．1 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( ) A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9 6．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题(每小题5分，共15分)7．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________． 8．若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________. 9．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________． 三、解答题(共15分)10．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，求双曲线方程．一、选择题(每小题5分，共30分)1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x 2＝4y 上的点P 到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为( )A ．3B ．4C ．5D ．64．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．45．经过点P (4，－2)的抛物线标准方程为( )A ．y 2＝x 或x 2＝－8yB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y6．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 二、填空题(每小题5分，共15分)7．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (4,4)，则该抛物线的方程是__________．8．若双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________. 9．抛物线x ＝14y 2的准线方程为________． 三、解答题(共15分)10．抛物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，而焦点是该双曲线的左顶点，求此抛物线的方程．7.8轨迹与方程时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216C.x 248＋y 264D.x 264＋y 2482．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 3．一条线段AB 的长为2，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一分支C ．圆D ．椭圆4．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝05．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA →·PB →＝x 22，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．拋物线6．过点(2，－2)且与双曲线x 24－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程是( ) A.y 212－x 23＝1 B.y 23－x 212＝1 C.x 212－y 23＝1 D.x 23－y 212＝1 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________．8．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是______________．9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为________________；渐近线方程为____________．三、解答题(共15分)10．已知一动圆P (圆心为P )经过定点Q (2，0)，并且与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝16(圆心为C )相切．求动圆圆心P 的轨迹方程．7.9直线与圆锥曲线的位置关系时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．AB 为抛物线y 2＝4x 的焦点弦，若|AB |＝4，则AB 中点的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,1)作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定5．抛物线y 2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|FA |＋|FB |的值等于( )A ．7B ．35C ．6D ．56．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3 二、填空题(每小题5分，共15分)7．若直线l 过点(0,1)，则它与椭圆x 24＋y 22＝1的位置关系是________． 8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．9．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．二、解答题(共15分)10．求直线y ＝x －12截椭圆x 2＋4y 2＝4所得的线段的长．参考答案：7.11．A 解析：由斜率公式得k ＝3－2－2＋3＝1. 2．B 解析：由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3. 3．D 4.D5．C 解析：由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)．6．B7．y ＝12x 或x ＋y －6＝0 解析：(1)当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x . (2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y a＝1，又过A (4,2)，∴a ＝6. ∴方程为x ＋y －6＝0，综上，直线方程为y ＝12x 或x ＋y －6＝0. 8．150° 9．－24 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k 3＝2，所以k ＝－24. 10．解：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，则－3a ＋412－a＝1. 解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.7.21．B 2.B3．A 解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 4．A 解析：与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5．C 6.A 7.28.35 解析：由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 9．3x －y ＋3＝0 解析：由题意知，设直线l 的斜率为k ，则k ·k AB ＝－1，且直线l 过AB 中点，又k AB ＝7－5－2－4＝－13，则k ＝3，AB 中点为(1,6)，所以直线l 的方程为y －6＝3(x －1)，即3x －y ＋3＝0. 10．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0.即a 2－a －b ＝0. ①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0. ② 由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a .∴l 1的斜率也为1－a ， 即a b ＝1－a ，b ＝a 1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a 1－a ＝0.∵原点到l 1和l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a .解得a ＝2或a ＝23.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.7.31．A2．A 解析：AB 的中点坐标为：(0,0)，|AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝2 2，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2.3．A 解析：方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆． 4．A 解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.5．A 解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6．C 解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.7.128.(x －1)2＋(y －1)2＝1 9．x －y ＋1＝0 解析：易知点C 的坐标为(－1,0)，而所求直线与x ＋y ＝0垂直，所以所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.10．解法一：设圆的一般方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0， 即圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.解法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A ，B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为：3x －y－1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10. ∴所求圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100. 7.41．B 解析：若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得 －2－5≤a ≤－2＋ 5.2．B 解析：由于直线与圆相切，故m ＝|m |12＋12，解得m ＝0(舍去)或m ＝2. 3．A 4.B 5.D6．C 解析：方法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，所以两圆圆心为C 1(1,0)，C 2(2，－1)，半径为r 1＝2，r 2＝2，则连心线的长|C 1C 2|＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2，故r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，两圆相交．方法二：(代数法)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2x －3＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．7．8或－188．1或177 解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，∴|2k －3|k 2＋1＝22.化简得7k 2－24k ＋17＝0.∴k ＝1或k ＝177.9．6x －5y －1＝010．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.7.51．B 解析：由题意，得2a ＝2 2b ⇒a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝22. 2．A 解析：依题意知，2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a .∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1. 3．D4．A 解析：先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.离心率e ＝ca＝32. 5．B 6.B 7.88．4 解析：由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a－|PF 1|＝10－6＝4.9．x 2＋y 22＝1 解析：由题意，得c ＝1,2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝12＋4＋12＋0＝2 2.故a ＝2，b ＝1.则椭圆的标准方程为x 2＋y 22＝1.10．解：椭圆的方程可化为x 24＋y 22＝1，∴F (－2，0)．又∵直线AB 的斜率为3，∴直线AB 的方程为y ＝3x ＋ 6.由⎩⎨⎧y ＝3x ＋6，x 2＋2y 2＝4，得7x 2＋12 2x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12 27，x 1·x 2＝87，∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝167.7.61．C2．B 解析：依题意应有m ＋1>0，即m >－1.3．D 解析：∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3.∴ca ＝a 2＋3a＝2.∴a ＝1.4．B 解析：由题意知，c ＝3，e ＝c a ＝32.∴a ＝2.b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5.故所求双曲线方程为x 24－y 25＝1.5．C6．C 解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.7．4 38．48 解析：由已知得e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋m16＝2.∴m ＝48. 9．2x ±3y ＝0 解析：∵焦点坐标是(13，0)，∴9＋a ＝13，即a ＝4.∴双曲线方程为x 29－y 24＝1，∴渐近线方程为x 3±y2＝0，即2x ±3y ＝0.10．解：由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (6，2)，∴69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.7.71．B 2.D 3.B4．D 解析：因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.5．A6．C 解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p＝2.7．y 2＝4x 8.69．x ＝－1 解析：由x ＝14y 2变为标准方程为：y 2＝4x .故其准线方程为：x ＝－1.10．解：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，∴双曲线中心为O ，左顶点为(－3,0)，由题意抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，且－p2＝－3.∴p ＝6，方程为y 2＝－12x .7.81．A 2.B 3.C4．D 解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x － y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.5．B 解析：设点P (x ，y )，则PA →＝(1－x,1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )，所以PA →·PB →＝ (1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆．6．B7.x 24＋y22＝1 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.8．x 2＝2y －2 9.(－4,0)，(4,0) y ＝±3x 10.x 24＋y 22＝17.91．B 2.A 3.D 4.A5．A 解析：点A (1,2)在抛物线y 2＝2px 和直线2x ＋y ＋a ＝0上，则p ＝2，a ＝－4，F (1,0)，则B (4，－4)，故|FA |＋|FB |＝7.6．A 7.相交 8.63解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )．故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程，得a 2＝3b 2.∴c 2＝2b 2.∴e ＝63. 9．4x －y －7＝0 解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．10．解：方法一：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝4.消去y ，得5x 2－4x －3＝0. ① 方程①的判别式Δ＝(－4)2＋4×5×3＝76>0， 由韦达定理，x 1＋x 2＝45，x 1x 2＝－35，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝7625. (y 1－y 2)2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1－12－⎝⎛⎭⎫x 2－122＝()x 1－x 22＝7625， ∴弦长|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2 385.方法二：由方法一中得到(x 1－x 2)2＝7625，∴|x 1－x 2|＝765. 由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·765＝2385.。

心尺引州丑巴孔市中潭学校平面解析几何综合分析〔二〕例 11 一束光线经过A 〔-3，5〕点，射在直线l 1：3440x y -+=上的点B 〔4，4〕，反射光线与直线l 2：y=9交于点M ， 又一束光线经过A 〔-3，5〕点射在l 1上的点C ，反射光线与l 2交于N 点，且MN C =307,求点的坐标。

分析： 光线经A 点射到直线l 1上的B 点，那么入射线方程可求。

于是反射线方程也可由对称性求出，M 点随之确定又 MN =307M 、N 同在直线y=9上，N 点的坐标也可以确定，再由对称性可以求出反射线CN 的方程而后C 点可以求出解：A 〔-3，5〕，A 点关于直线l 1：3440x y A x y -+='的对称点为（,)那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--⋅-=⋅+-04)25(4)23(314335y x x y 解得x y ==-⎧⎨⎩33 ()∴'-A 33,直线'A N 1的方程为:y x x y ---=--+-=93937337143330即直线'---=--A N y x 2939939的方程为即290x y --=例 12试求圆xy x y 2220+-+=关于直线l :x y -+=10对称的园的方程分析: 此题可以求出圆C: xy x y 2220+-+=上任一点关于直线l 对称的点的轨迹方程.从对称的定义分析,圆关于直线l 的对称图形也是一个圆,其大小不变, 而决定一个圆只需确定圆心和半径,因而只要求出图C: x y x y 2220+-+=的圆心关于直线l 的对称点, 及此圆的半径,就可以写出其对称的圆的方程.解法一: 设圆C ：xy x y 2220+-+=上任一点()p x y ,关于直线l: x y -+=10的对称点为()'''p x y ,,那么有解法二: 化QC :为圆的标准方程得0222=+-+y x y x设C ()12110,:,-⎛⎝⎫⎭⎪-+='关于直线的对称点为l x y C x y 那么： 即xy x y 224350++-+=例 13 自点A(-3,3)发出的光线l 射到x 轴, 被x 轴反射, 其反射光线所在直线与圆x y x y l 224470+--+=相切求光线所在的直线的方程,分析: 此题实际上是求过A 点的入射线方程(如图)直线l 1,直线 l 2,其反射线分别,,,,2121与知园相切依题意l l l l '''.,,2211轴对称关于与与并且与x l l l l '' 假设直线21212121,,,,,,k k k k l l l l ''''的斜率分别为 那么221,k k k k -='-=' 又假设A 点关于x 轴的对称点为'A 那么'A 必在,反射线上即 A l l '=''21 综上,此题可以有两种方法(1)通过反射线22112121,,,,,k k k k k k l l '-='-=''''再利用求出方程 求出入射线的斜率k 1, k 2,得到直线l l 12,的方程(2)由对称性求出圆QC 关于x 轴对称的圆QC ',再示过A 点的QC '的切线方程, 就是可求的入射线方程．解法一：()A -33,点关于x 轴的对称点()3,3--'A ，设过'A 点的圆C 的切线方程为圆：()()()1,2,212222==-+-R C y x 半径圆心即反射线43,34,2121='='''k k l l 的斜率分别为，∵ 入射线那么22211,k k l k k '-='-=的斜率同理得入射线即43,2421-==k k由点斜式得过A 点的两条入射线方程为： 解法二： 圆()()()QC R C y x QC ,1,2,2,122:22==-+-圆心轴对称的圆关于x ()''C QC 的方程为:设过A 点的QC '的两切线l l 12,:的方程为 即：033=++-k y kx例 14 求曲线C ：()f x y y x C ,==+'02关于直线对称的曲线的方程解 ： 设曲线'C 上任一点()()p x y P y x M x y C ,,,.则点关于直线的对称点必在曲线上=+''2那么有()f x y ''=,0【综合练习】： 选择题 ：〔1〕点p (a,b )关于直线x+y=0的对称点的坐标是〔 〕 A ( a ,b )B ( b ,a )C (-a ,b )D ( -b ,-a )(2) 曲线C ：f (x ,y )=0关于直线x － y －2=0对称的曲线'C 的方程为〔 〕A()f y x +=20,B()f x y -=20,C ()f y x +-=220,D ()f y x -+=220,(3) 直线l ：2310x y --=关于直线x y +=0对称的直线方程为〔 〕A 3210x y --=B 3210x y +-=C 3210x y -+=D 3210x y ++=(4) 不重合的两点()()m n N n m M ,1,1和+-,对称关于直线l l 则直线的方程()为A x y +=0B x y ++=10C x y -+=10D x y --=10(5) 点〔-2，6〕关于直线3450x y -+=对称的点的坐标是〔 〕A 〔-2，4〕B 〔2，-4〕C 〔4，2〕D 〔4，-2〕(6) 在直线y =-2上有点P ， 它到A 〔-3，1〕和B 〔5，-1〕的距离之和最小，那么点P的坐标是〔 〕A 〔1，-2〕B 〔3，-2〕C 〔1942,-〕D 〔9，-2〕(7) 以x y ++=210为对称轴，直线x y --=20的轴对称图形的方程为〔 〕A 780x y +-=B 780x y -+=C 780x y --=D 087=++y x(8) 如果直线y ax =+2与直线y x b =-3关于直线对称，那到〔 〕A ab ==136,B ab ==-136, C a b ==-32,D a b ==36,(9) 假设圆x y 224+=和圆x y x y 224440++-+=关于直线l 对称，那么l 的方程是〔 〕 A x y -=0 B x y +-=20C x y --=20D 02=+-y x(10)()A a b ++22,和点()B b a b --,关于直线01134=-+y x 对称，那么a b ,的值是〔 〕 A a b =-=22, B a b ==-42,C ab ==24,D ab ==42,解答题: 〔1〕求直线‰关于原点对称的直线方程 〔2〕求直线l x y 120:--=关于直线033:=+-y x l 对称的直线l 2的方程〔3〕()∆ABC AB 中且,,,31-∠平分线所在直线方程为x =0，∠C 平分线所在直线的方程为y x =，求BC 边所在直线的方程。

平面解析几何（新课标）一、选择题1.（07）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·2. （08）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A. （41，－1）B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）3.(09)双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（A ）（B ）2 （C （D ）14.（10）已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 5.（11）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）36.（12）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率()A 12 ()B 23 ()C 34()D 457.（12）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 88.（13I ）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=9.（13I ）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为（A ）1364522=+y x （B ）1273622=+y x (C)1182722=+y x （D ）191822=+y x 10.（13II ）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为,F 点M 在C 上，,5=MF 若以MF 为直径的圆过点),2,0(E 则C 的方程为（A ）x y x y 8,422== (B)x y x y 8,222==（C ）x y x y 16,422== （D ）x y x y 16,222==11.（13II ）已知点)1,0(,0,1(),0,1(C B A ）-直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ） )1,0( (B)211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ( C) 211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12.(14I)已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A. 3B. 3C. m 3D. m 313.(14I)已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若FQ PF 4=，则=QF （ ）A. 27B. 3C. 25D. 214.（14II ）设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）3393 C. 6332 D. 9415. (15I)已知()00,y x M 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则0y 的取值范围是（A ）（（B ）（-（C ）（3-，3） （D ）（3-，3） 16.（15II ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2 CD二、填空题1. （07）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．2.（08）双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F.过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为___3. (09)设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点.若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________.4.（10）过点A(4,1)的圆C 与直线01=--y x 相切于点B （2,1），则圆C 的方程为____5.（11）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为6.(15I)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .三、解答题1.（07）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？假如存在，求k 值；假如不存在，请说明理由．2.（08）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满意12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.3.（09）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xoy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM =λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 4.（10）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线与E相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列.（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)P -满意PA PB =，求E 的方程.5.（11） 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满意,,//BA MB AB MA OA MB ⋅=⋅M 点的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值.6.(12)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同始终线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.7.(13I)已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(22=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB .8.(13II)平面直角坐标系xoy 中，过椭圆M ：22221x y a b+=()0>>b a 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12(Ι)求M 的方程;（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值.9. (14I)已知点A (0,2),椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点.当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.10. (14II)设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求.,b a 11. (15I)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.12.(15II)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．。

近三年高考数学平面解析几何真题和答案1.(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝02.(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．73.(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．84.(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．325.(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．96.(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．97．(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)8.(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．59.(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．3210.(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( )A ．22B ．1C ． 2D ．211.(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线12.(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①②D ．①②③13.(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，则该双曲线的离心率是________.14.(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________.15.2020·浙江高考)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ＞0)，圆C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －4)2＋y 2＝1，若直线l 与C 1，C 2都相切，则k ＝________，b ＝________.16. (2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________. 大题1.(2020·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC→＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．2. (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．3.(2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C ．求C 的方程，并说明C 是什么曲线．4.(2020·全国卷Ⅰ)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．5.(2020·新高考卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2,1)． (1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．参考答案选择题1.DAABC 6.CBABC 11.AC填空 132x 2＋y 2－2x ＝0 33 －233 2 大题 1. 解因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0，－3)， 所以b ＝3.由|OA |＝|OF |，得c ＝b ＝3， 所以a 2＝b 2＋c 2＝32＋32＝18， 所以椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP ⊥AB . 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx －3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 218＋y 29＝1，消去y ，可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝12k2k 2＋1. 将x ＝12k2k 2＋1代入y ＝kx －3，得y ＝k ·12k2k 2＋1－3＝6k 2－32k 2＋1，所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12k2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k2k 2＋1，－32k 2＋1. 由3OC→＝OF →，得点C 的坐标为(1,0)， 所以直线CP 的斜率为k CP ＝－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1.又因为CP ⊥AB ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0， 解得k ＝12或k ＝1.所以直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3. 2.(1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM→⊥AB →，而EM→＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2. 3.由题设，得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． 4.依据题意作出如下图象：由椭圆方程E ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)可得A (－a,0)，B (a ，0)，G (0,1)， ∴AG→＝(a,1)，GB →＝(a ，－1)． ∴AG→·GB →＝a 2－1＝8，∴a 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得A (－3,0)，B (3,0)，设P (6，y 0)， 则直线AP 的方程为y ＝y 0－06－(－3)(x ＋3)，即y ＝y 09(x ＋3)，直线BP 的方程为y ＝y 0－06－3(x －3)，即y ＝y 03(x －3)．联立直线AP 的方程与椭圆方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝y 09(x ＋3)，整理得(y 20＋9)x 2＋6y 20x ＋9y 20－81＝0，解得x ＝－3或x ＝－3y 20＋27y 20＋9.将x ＝－3y 20＋27y 20＋9代入y ＝y 09(x ＋3)可得y ＝6y 0y 20＋9，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3y 20＋27y 20＋9，6y 0y 20＋9.同理可得，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 20－3y 20＋1，－2y 0y 20＋1. ∴直线CD 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y 0y 20＋1＝6y 0y 20＋9－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y 0y 20＋1－3y 20＋27y 20＋9－3y 20－3y 20＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3y 20－3y 20＋1， 整理可得y ＋2y 0y 20＋1＝4y 03(3－y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3y 20－3y 20＋1， y ＝4y 03(3－y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3y 20－3y 20＋1－2y 0y 20＋1＝4y 03(3－y 20)⎝⎛⎭⎪⎫x －32.故直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.5.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝6，b 2＝c 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)证明：设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 因为AM ⊥AN ，所以AM→·AN →＝0，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0.①当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，如图1.代入椭圆方程消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2，②根据y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，代入①整理，可得 (k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0，将②代入上式，得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2＋(km －k －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理化简得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0，因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1， 于是MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13，所以直线过定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.当直线MN 的斜率不存在时， 可得N (x 1，－y 1)，如图2.代入(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 得(x 1－2)2＋1－y 21＝0，结合x 216＋y 213＝1，解得x 1＝2(舍去)或x 1＝23，此时直线MN 过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13. 因为AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 的中点Q 满足|DQ |为定值⎝ ⎛⎭⎪⎫AE 长度的一半12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132＝223. 由于A (2,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13， 故由中点坐标公式可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 故存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值．。

高三数学解析几何习题集
一、直线与平面
1. 已知直线L1的方程为x + 2y - 3 = 0，点A(2, -1)在该直线上，求直线L1与直线L2：2x - y + 4 = 0的交点坐标。

2. 平面α过点A(1, -2, 3)，且与直线L：x = 2 + 3t，y = -1 - t，z = 3t相交于点P(5, 1, -2)，求平面α的方程。

3. 已知平面α与平面β垂直，平面α通过点A(1, 2, -1)，平面β通过直线L：x = 2 - 4t，y = t，z = 3t，求平面β的方程。

二、曲线的方程
1. 曲线C为椭圆，已知其焦点F1(-3, 0)，F2(3, 0)，且顶点为(0, 2)，求曲线C的方程。

2. 曲线C为双曲线，已知其离心率为2，焦点为F1(3, 0)，F2(-3, 0)，求曲线C的方程。

3. 曲线C为抛物线，已知其焦点为F(2, -1)，过顶点V(0, 0)，求曲线C的方程。

三、空间向量与坐标系
1. 已知向量AB = 2i + j - k，向量AC = i - 2j + 3k，求向量BC的坐标表示。

2. 平行四边形ABCD中，已知向量AB = 2i - 3j + 4k，向量AC = 3i + 4j - k，求向量BD的坐标表示。

3. 在XYZ坐标系中，已知A(2, -1, 3)，B(-1, 2, -3)，C(4, 3, -2)，求三角形ABC的面积。

以上是高三数学解析几何习题集的部分题目，希望能对高三学生的数学学习有所帮助。

请自行努力解答，并核对答案，巩固知识理解和运用能力。

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平面解析几何1．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题] 已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而可以求出焦距. 【详解】由已知可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选D.【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题.2．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若椭圆2221x y a +=经过点1,3P ⎛ ⎝⎭，则椭圆的离心率e =A ．2 B 1C D [来 【答案】D3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C4．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A BC D 【答案】B5．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1B ．12C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =， 又122PF PF a +=，12PF a c ∴=-，由勾股定理得()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得1e =. 故选A.6．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =D ．2y x =【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=，所以3b =所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.7．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]P 为椭圆19110022=+y x 上的一个动点，N M ,分别为圆1)3(:22=+-y x C 与圆)50()3(:222<<=++r r y x D 上的动点，若||||PN PM +的最小值为17，则=r A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】8．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若12201820x x x +++=，则12||||PF P F + 2018||P F ++=A ．2028B ．2038C ．4046D ．4056【答案】B9．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】C 【解析】10．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题]已知P 是椭圆22:14x y E m+=上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，若12k k +的最小值为1，则实数m 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或16D ．2或8【答案】A 【解析】 【分析】先假设出点M ，N ，P 的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由12k k +最小值为1运用基本不等式的知识求最小值，进而可以求出m . 【详解】设''0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --，''00'0012',y y y k x x x k y x -+==-+''''0000''''0020102y y y y y y y y x x x x x x k x x k +=+-++-⨯-+-+≥ '220'220y y x x -=-2'20'220(1)(1)442x x x m x m --=-- 4m=，1m ∴=. 故选A. 【点睛】本题大胆设点，表示出斜率，运用基本不等式求参数的值，是一道中等难度的题目.11．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知双曲线22221(0,x y a a b-=>0)b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠45=︒，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．2D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，得到12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，得到122MF b a =+，再由双曲线的定义，解得2b a =，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，且ON 为12F F A △的中位线，可得22212,F A a F N c a b ==-=， 即有12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，即有122MF b a =+，由双曲线的定义可得1222222MF MF b a a a -=+-=，可得2b a =， 所以223c a b a =+=，所以3==ce a. 故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．[安徽省2020届高三期末预热联考理科数学]【答案】C13．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________.【答案】54y x =±14．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于 . 515．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 已知圆02222=--+by ax y x )0,0(>>b a 关于直线022=-+y x 对称，则ba 21+的最小值为________．【答案】2916．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ONr ⋅的值为 ▲ .【答案】1【解析】设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=，记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,如图，()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+，则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c⋅=--=.即2OM ON r ⋅的值为1. 17．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F △的周长为6，若12PF F △面积的最大值为3（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.【解析】（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222y y x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-， ()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知B 是抛物线2118y x =+上任意一点，()0,1A -，且点P 为线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若F 为点A 关于原点O 的对称点，过F 的直线交曲线C 于M 、N 两点，直线OM 交直线1y =-于点H ，求证：NF NH =． 【解析】 【分析】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，根据中点坐标公式可得00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程；（2）设:1MN y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将直线MN 与曲线C 联立，可得124x x =-；由抛物线定义可知，若要证得NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-，即HN y ∥轴；由直线OM 的方程可求得11,1x H y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可将H 点横坐标化简为121x x y -=，从而证得HN y ∥轴，则可得结论.【详解】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，P 为AB 中点，00221x xy y =⎧∴⎨=+⎩， B 为曲线2118y x =+上任意一点，200118y x ∴=+，代入得24x y =，∴点P 的轨迹C 的方程为24x y =.（2）依题意得()0,1F ，直线MN 的斜率存在，其方程可设为：1y kx =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立214y kx x x=+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，则216160k ∆=+>，124x x ∴=-，直线OM 的方程为11y y x x =，H 是直线与直线1y =-的交点， 11,1x H y ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义NF 等于点N 到准线1y =-的距离，H 在准线1y =-上，∴要证明NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-， 即证HN y ∥轴，H 的横坐标：111222111144x x x x x x y x x --=-===， ∴HN y ∥轴成立，NF NH ∴=成立. 【点睛】本题考查圆锥曲线中轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线综合应用中的等量关系的证明问题；证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HN y ∥轴，通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理的结论证得HN y ∥轴.19．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]在直角坐标系xOy 中，点)0,2(-M ，N 是曲线2412+=y x 上的任意一点，动点C 满足MC NC +=0. （1）求点C 的轨迹方程；（2）经过点)0,1(P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于B A ,两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得BDP ADP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知椭圆22212x y C a ：+=过点P （2，1）． （1）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A 'P 与C 交于另一点B ．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由． 【解析】 【分析】（1）将点P 代入椭圆方程，求出a ，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A 的坐标为()11x y ，，()22B x y ，，分别求出12x x -，12y y -，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆22212x y C a +=： 过点P （2，1），可得28a =．所以222826c a =-=-=，所以椭圆C 的方程为28x +22y =1，则离心率e 622=3（2）直线AB 与直线OP 平行．证明如下： 设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()22241812161640k x k k x k k ++-+--=， ∴21216164241k k x k -+=+，∴21288214k k x k --=+， 同理22288241k k x k +-=+，所以1221641kx x k -=-+， 由1121y kx k =-+，2121y kx k =-++， 有()121228441ky y k x x k k -=+-=-+， ∵A 在第四象限，∴0k ≠，且A 不在直线OP 上， ∴121212AB y y k x x -==-， 又12OP k =，故AB OP k k =， 所以直线AB 与直线OP 平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．21．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]双曲线2215x y -=焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动点N M ,在椭圆C上，且3MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=，得()()2221612610k x kmx m +++-=.因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为MN == 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=.等号成立的条件是53t =， 此时223k =，253m =，满足2216m k <+，符合题意.故m. 22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] ）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．【解析】（1）由已知，得1a c ==，所以3c e a ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B的坐标分别为(0,，(．因为()0,m m MA x y =-，()0m m MB x y =-，()0,0m m MO x y =--， 所以()3,3m m MA MB MC x y ++=--=0． 所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得()2232630k x kx ++-=， ()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以122632kx x k -+=+，则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--， 所以()121203,03m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=0． 所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+，消去k ，得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=. 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称.。

高中数学平面解析几何练习题（含解析）一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞2．过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =3．过 ()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120D ．1354．已知()3,3,3A ，()6,6,6B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．π2D ．2π35．已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B C D 8．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --=D ．2340x y +-=9．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D 10．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________．12．已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.三、解答题15．已知△ABC 底边两端点(0,6)B 、(0,6)C -，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49-，求点A 的轨迹方程．16．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．17．已知圆C ：22120x y Dx Ey +++-=关于直线x ＋2y －4＝0对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案：1．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+， 由该曲线表示圆， 可知25100a a +>， 解得0a >或2a <-， 故选：B. 2．C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C 3．D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【详解】由已知直线的斜率为 ()03tan 1018021k αα--===-≤<--，，所以倾斜角135α=． 故选：D. 4．B【分析】求出OA 和BO ，利用向量关系即可求出.【详解】因为()3,3,3A ，()6,6,6B ，则()3,3,3OA =，()6,6,6BO =---， 则3cos ,1OA BO OA BO OA BO⨯⋅<>===-⋅，所以OA 与BO 的夹角是π. 故选：B. 5．C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C. 6．A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7．B【分析】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，圆化简为22(4)3x y +-=，即圆心为（0,4）所以点P 到圆心的距离d = 令20t x =，则0t ≥， 令21()1616f t t t =-+，0t ≥，为开口向上，对称轴为8t =的抛物线， 所以()f t 的最小值为()812f =，所以min d所以||PQ的最小值为min d =故选：B 8．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D. 9．C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-， 即222224c a a a a =+-=，所以12c a =，即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.10．A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．4π##45︒ 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线2310x y -+=的斜率123k ，即倾斜角α满足2tan 3α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1tan 5β=-，所以()12tan tan 53tan 1121tan tan 153βαβαβα----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以34βαπ-=，又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以两直线夹角为4π，故答案为：4π. 12．【分析】将圆C 一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出k 的值.【详解】解：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0-到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =故答案为：13．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒===22(2)(3)13x y -+-=； （2）若圆过A B D 、、三点， 设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过 A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程 为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =， 线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=． 故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．14．1y =或247250x y ++=或4350x y --=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．()22108136x y x +=≠【分析】设(,)A x y ，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意0x ≠. 【详解】设(,)A x y 且0x ≠，则22663649AB ACy y y k k x x x -+-=⋅==-， 整理得：A 的轨迹方程()22108136x y x +=≠. 16．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解. 【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒， 所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=， ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅， 1212192F PF S PF PF =⋅=△， 所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =； 综上，b =3.17．22(2)16x y +-=. 【分析】由题设知圆心(,)22D EC --，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D 、E ，写出一般方程，进而可得其标准方程. 【详解】由题意知：圆心(,)22D EC --在直线x ＋2y －4＝0上，即－2D －E －4＝0. 又圆心C 在y 轴上，所以－2D＝0. 由以上两式得：D ＝0, E ＝－4，则224120x y y +--=， 故圆C 的标准方程为22(2)16x y +-=.18．(1)2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (2)存在，1λ=【分析】(1)①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，利用点差法求解； ②当直线l 不存在斜率时，易知()0,0M ，验证即可；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，易得(P、(0,Q ，验证即可.【详解】（1）解：①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，则应用点差法：22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式联立作差得：12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴()()()()121200121212121212002122PQ PQ PQ OM y y y y y y y y y y k k k k x x x x x x x x x x -+-+=⋅=⋅=⋅=⋅=--+-+， 又∵001PQ MA y k k x -==， ∴0000112y y x x -⋅=-，化简得22000220x y y +-=（00x ≠）， ②当直线l 不存在斜率时，()0,0M ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简得：22(21)420k x kx ++-=，∴0∆>恒成立，∴122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，又AP ()11,x k x =⋅，AQ ()22,x k x =⋅，OP ()11,1x k x =⋅+，OQ ()22,1x k x =⋅+，∴AP AQ OP OQ λ⋅+⋅()()()22121212111k x x k x x k x x λ=+⋅⋅++⋅⋅+++，()()()222222211222141212121k k k k k k λλλ-+++++=-+=-+++， 若使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值， 只需()222121λλ++=，即1λ=，其定值为3-， ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，则有(P、(0,Q ， 又AP ()1=，AQ ()0,1=，OP (=，OQ (0,=， ∴2λλ⋅+⋅=--AP AQ OP OQ ，当1λ=时，AP AQ OP OQ λ⋅+⋅也为定值3-， 综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数1λ=， 使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值3-.。

高中数学总复习——专题 平面解析几何数学考试姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题1.不论m 取何值，直线(m −1)x −y +2m −1=0都过定点( )A. (1,−12) B. (−2,1) C. (2,3) D. (−2,3)2.（2020高一上·金台期末）已知过点 A(−2,m) 和点 B(m,4) 的直线为 l 1 ， l 2:2x +y −1=0 ， l 3:x +ny +1=0 ．若 l 1//l 2 ， l 2⊥l 3 ，则 m +n 的值为（ ） A. -10 B. -2 C. 0 D. 8 3.（2020高一下·诸暨期中）已知直线 l 1:x +ay +2=0，l 2:ax +(a +2)y +4=0 ，若 l 1//l 2 ，则实数a 的值是（ ）A. 2或-1B. -2或1C. 2D. -1 4.（2020高二上·农安期末）已知抛物线C ： x 2=2py （ p >0 ）的准线为l ，圆M ： (x −1)2+(y −2)2=9 与l 相切，则 p = （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 5.（2019高二下·四川月考）若直线 3x +y +a =0 过圆 x 2+y 2+2x −4y =0 的圆心，则 a 的值为（ ）A. -1B. 1C. 3D. -3 6.设f 为双曲线x 216−y 29=1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |−|FM ||FA |的值为（ ）A. 25B. 52C. 45D. 54……装7.（2020高一下·扬州期中）直线l经过原点和(3,−3)，则它的倾斜角是（）A. 135°B. 45°C. 45°或135°D. -45°8.（2015高二上·莆田期末）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8的双曲线的标准方程是（）A. x210−y28=1 B. x2100−y264=1 C. x225−y216=1 D. x25−y24=19.如果直线Ax+By+C=0的倾斜角为45°，则有关系式（）A. A=BB. A+B=0C. AB=1D. 以上均不可能10.（2020高二上·肇庆期末）已知直线l:√3x−y+1=0与y轴的交点为A，把直线l 绕着点A逆时针旋转90°得直线l′，则直线l′的方程为（）A. x+√3y+√3=0B. x+√3y−1=0C. x+√3y−√3=0D. √3x+y−1=011.（2020高二下·洛阳期末）以双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C. 2D. 312.（2018·汉中模拟）设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，B(0 ， b)，若直线FB与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为（）A. B. C. D.13.（2020高二上·大同期中）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx−y−m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|•|PB|的最大值是（）A. 5 B. 10 C. √102D. √1714.（2018高二上·白城月考）已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A. 2√2B. √3C. √5D. 215.已知直线3x+4y ﹣24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 16.（2019·包头模拟）已知 F 1 ， F 2 为椭圆 E 的左右焦点，点 M 在 E 上（不与顶点重合）， ΔMF 1F 2 为等腰直角三角形，则 E 的离心率为（ ） A. √2+1 B. √2−1 C. √3−12D. √3+1217.抛物线y 2=6x 的准线方程是（ ）A. x=3B. x=﹣3C. x=32 D. x=﹣32 18.已知过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y ﹣1=0平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. -8 C. 2 D. 10二、填空题19.（2019高二下·广东期中）若双曲线x 2a 2−y 24=1 (a >0) 的一条渐近线方程过(1,a) ，则此双曲线的离心率为________.20.（2020·德州模拟）已知双曲线C 过点 (2√3,−1), 且与双曲线 x 212−y 26=1 有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为________.21.（2020高二上·郓城月考）若直线 l 过点 P(1,2) 且与点 A(−1,2),B(3,0) 两点距离相等，则直线l 方程为________．22.（2020高一下·长春期中）已知圆 C 的方程为 x 2+y 2−4x +2my +2m 2−2m +1=0 .则实数 m 的取值范围________.23.（2019高二上·官渡开学考）若直线 x +2my −1=0 与直线 (3m −1)x −my −1=0 平行，那么实数m 的值为________．24.（2020高二上·佛山期中）已知直线l 1的方程为y 1＝－2x ＋3，l 2的方程为y 2＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________． 25.（2020·沈阳模拟）已知椭圆方程为x 2m+3+y 2m−6=1(m >6) ，则其焦距为________.26.（2019高二下·临海期中）曲线 y =lnx 在点 M(e,1) 处的切线的斜率是________ ；切线方程为________．27.（2019高一下·石河子月考）已知实数x ，y 满足6x+8y-1=0，则 √x 2+y 2−2y +1 的最小值为________．28.当m取一切实数时，双曲线x2﹣y2﹣6mx﹣4my+5m2﹣1=0的中心的轨迹方程为________29.（2020·济宁模拟）设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为(c,3a2)且满足|F2Q|>|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|<76|F1F2|成立，则双曲线的离心率的取值范围是________.30.若直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行，则m的值为________．31.（2019高二上·广东月考）已知直线l过点P(2,1)，且l在两坐标轴上的截距相等，则直线方程l的方程为________．32.已知a∈R，直线l：（a﹣1）x+ay+3=0，则直线l经过的定点的坐标为________33.（2019高二上·辽宁月考）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A 在圆C：(x+1)2+(y−6)2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是________；此时M坐标为________．34.已知点A（﹣1，2），B（﹣4，6），则|AB|等于________三、解答题35.（2020高一下·大庆期末）已知ΔABC中，A(1,1)、B(2,−3)、C(3,5)，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般式方程表示）.（1）BC边上的高线的方程；（2）BC边的垂直平分线的方程.36.（2020高一下·沭阳期中）已知△ABC的顶点为A(0,4),B(1,−2),C(−3,−4)．（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；（2）求AB边上的高所在的直线方程．37.（2019高二上·吉林期中）已知点C的坐标是(2,3)，过点C的直线CA与x轴交于A，过点C且与直线CA垂直的直线CB交y轴与点B，设点M为AB 的中点，求点M的轨迹方程．38.（2016高二上·南昌期中）已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．（1）求双曲线C2的方程；（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y= √3x相切，圆N：（x﹣2）2+y2=1．过点P（1，√3）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：st是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．39.直线l过点P(2，－3)且与过点M(－1,2)，N(5,2)的直线垂直，求直线l的方程.40.（2018高一上·阜城月考）已知两直线：l1:x−2y+4=0和l2:x+y−2=0. （1）求两直线的交点P；（2）求过点P且与直线l3:3x−4y+5=0垂直的直线的方程.41.（2020高二上·丽江月考）已知圆C经过P(−3,−3),Q(2,2)两点，且圆心C在x 轴上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l截y轴所得纵截距为5，求直线l截圆C所得线段AB 的长度．42.（2020·长春模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1−√22ty=2+√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ=3.（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A,B两点，点P(1,2)，求|PA|⋅|PB|的值.43.已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为√32，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），ΔAF1F2面积的最大值为√3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l:y=x+m与椭圆C相交于点A,B两点，问y轴上是否存在点M，使得ΔABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．44.（2021·高州一模）已知点P(−2,−1)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=4√3x的焦点重合，过点P作直线PA，PB，与椭圆C分别交于点A，B．（1）求椭圆C的标准方程与离心率；（2）若直线PA，PB的斜率之和为0，证明：直线AB的斜率为定值．45.求经过点A（﹣2，3），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．46.（2019高二下·哈尔滨期末）已知函数f(x)=e x−ax2，且曲线y=f(x)在点x= 1处的切线与直线x+(e−2)y=0垂直.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求f(x)≥1的解集.47.（2020高二上·台州期末）已知圆C的圆心为(2,1)，且经过坐标原点.（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线x+y−1=0与圆C相交于A，B两点，求|AB|.48.（2016高一下·兰陵期中）已知直线l：x﹣my+3=0和圆C：x2+y2﹣6x+5=0 （1）当直线l与圆C相切时，求实数m的值；时，求实数m的值．（2）当直线l与圆C相交，且所得弦长为2√10549.（2020高一下·徐州期末）已知A(3,2)和l:2x−y+1=0.（1）求过点A且与直线l平行的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点B的坐标.50.已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2=4√5x 的焦点，离心率是√63．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知动直线y=k （x+1）与椭圆E 相交于A 、B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得MA →·MB →与k 的取值无关，试求点M 的坐标．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】恒过定点的直线【解析】【分析】可化为，所以解得，所以选B。

【高中数学】数学复习题《平面解析几何》知识点练习一、选择题1．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):2l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v，则λ的值等于（ ）A．B ．3C ．2D【答案】C 【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.由)222195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F Bλ=u u u v u u u v， ∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴3212()(2)48λ---=-+， 解得2λ=．选C2．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．3．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值． 【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -．∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．4．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC ．2D【答案】D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出P ⎫⎪⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.5．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.6．已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( )A ．(0,)cB ．(0,)aC ．(,)b aD ．(,)c a【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆中，设P 点坐标为（x 0，y 0）则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，∴|x 0|∈（0，a]，又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．7．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C 【解析】由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F ==∵122F A F A -= ∴22F A =∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴23,3c a e a === 故选C8．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B，两点，OAB ∆的面积为3，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值． 【详解】右焦点设为F ，其坐标为(),0c令x c =，代入双曲线方程可得2b y a=±=±OAB V 的面积为2122b c a ⋅⋅= b a ⇒=可得c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．9．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】 【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．10．已知椭圆1C ：22113x y +=，双曲线2C ：22221(,0)x y a b a b-=>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是（ ） AB ．3CD ．5【答案】A 【解析】由已知得OA =OA 的方程为()00,0y kx k x =>>，∴可设()00,A x kx ，进一步0=,A AB ∴的一个三分点坐标为⎛⎫，该点在椭圆上，221⎛⎫⎛⎫+=，即()2211391k k+=+，解得22k =，从而有,222222b b a a==，解得2223c a b e a a+===，故选A. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．11．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD ．22a 【答案】D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.12．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=,其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,最短的弦是与ME 垂直的弦,又ME ==所以122BD ===,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.14．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m m n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.15．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．34y x =? B ．43y x =± C．3y x =± D．4y x =± 【答案】B【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上， 直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0，则双曲线的焦点坐标为()5,0，则有925m +=，解可得，16m =， 则双曲线的方程为：221916x y -=， 其渐近线方程为：43y x =±， 故选B.16．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】 先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值.【详解】由已知()2,0A ，()0,2B -则AB ==，又点M =所以最大面积为1102⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.17．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程2221243c a a =+，由此得到关于离心率的方程求得结果.【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则221212PF PF a a =-，由余弦定理得：2222212121212242cos3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴+=，又22e =，2145e ∴=，15e ∴=. 故选：D .【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.18．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ）A ．18B ．30C ．32D ．36 【答案】C【解析】【分析】【详解】 由抛物线性质可知：112AF BF p +=，又111AF BF +=，∴2p =， 即24y x =设直线AB 的斜率为k （k≠0），则直线CD 的斜率为1k -． 直线AB 的方程为y=k （x ﹣1），联立214y k x y x=⎧⎨=⎩（﹣），消去y 得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0， 从而242A B x x k+=+，A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k +， 以1k-换k 得|CD|=4+4k 2， 故所求面积为()22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32（当k 2=1时取等号），即面积的最小值为32．故选C19．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可．【详解】由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，圆22(4x y +-=的圆心为(0,，半径为2，由题意及|AB |＝2，可得22212+=，222123a a b=+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e c a==2． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.20．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1B ．1或3C ．2D ．2或6 【答案】B【解析】 4AF BF +=1212442422p p x x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，所以121132p x p p -=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．。

第九章 解析几何9.4平面解析几何章末综合训练一、单选题(共16题) 1．椭圆y 249+x 224=1与双曲线y 2−x 224=1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A ．48B ．24C ．224√3D ．12√32．若圆C:(x +1)2+(y −2)2=2被直线2ax +by +6=0平分，由点P (a,b )向圆C 作切线，切点为A ，则|PA |的最小值是（ ） A ．4B ．2√5C ．3D ．63．已知双曲线x 24−y 2b 2=1 （b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线方程为（ ） A ．x 24−3y 24=1B ．x 24−4y 23=1C ．x 24−y 28=1D ．x 24−y 212=14．已知M 是抛物线C ：y 2=−4x 上的一点，F 为抛物线C 的焦点，以MF 为直径的圆与y 轴相切于点(0，√3)，则点M 的横坐标为（ ） A ．－3B ．－2C ．－4D ．－2√35．已知M 为圆P:(x +2)2+y 2=36的一个动点，定点Q (2,0)，线段MQ 的垂直平分线交线段PM 于N 点，则N 点的轨迹方程为（ ） A ．x 236+y 232=1 B ．x 232+y 236=1 C ．x 29+y 25=1D ．x 25+y 29=16．P 为椭圆x 2100+y 291=1上的一个动点，M,N 分别为圆C:(x −3)2+y 2=1与圆D:(x +3)2+y 2=r 2(0<r <5)上的动点，若|PM|+|PN|的最小值为17，则r = A ．1B ．2C ．3D ．47．已知抛物线C ： y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P (1,y 0)在C 上，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若∠FPQ =120°，则F 到y 轴的距离为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．128．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1(−2,0)、F 2(2,0)，A 、B 是其右支上的两点，AF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3F 2B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,|AF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则该双曲线的方程是（ ）A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 2=1C ．x 22−y 22=1 D ．x 2−y 23=19．抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与C 交于A ，B 两点，若|AB |=8，则p =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．410．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F 2，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A是直线MF 2与椭圆C 的一个交点，且|OA |=|OF 2|=2|OM |，则椭圆C 的离心率为 A ．√104B ．√106C ．√55D ．√5311．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率的取值范围为(√2,√3)，则该双曲线的渐近线与圆P:(x −2)2+y 2=3的公共点的个数为 A ．1B ．2C ．0D ．412．已知F 1，F 2分别是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，直线l 过F 1，且l 与一条渐近线平行，若F 2到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ． (√5,+∞) B ． (1,√5)C ． (√52,+∞)D ． (1,√52) 13．已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c ，0)，F 2(c ，0)，P 是椭圆上一点，|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，若∠PF 2F 1∈(π3,π)，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(0，13)C ．(12，1)D ．(13，12)14．直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，且交抛物线于P ，Q 两点，由P ，Q 分别向准线引垂线PR 、QS ，垂足分别为R ，S ，如果|PF |＝a ，|QF |＝b ，M 为RS 的中点，则|MF |＝（ ） A ．a +bB ．a+b 2C ．√abD ．12√ab15．已知椭圆C:x 2a 2+y 2=1(a >0)的右顶点为A ，离心率为√32，若直线l 与椭圆C 交于E,F 两点(E,F 不是左、右顶点)且满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则直线l 在x 轴上的截距为( ) A ．−2 B ．−65C ．2或65 D ．6516．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离为1，又双曲线C 与直线y =kx 交于A ，B 两点，点P 为C 右支上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，曲线C 的左､右焦点分别为F 1，F 2.若k PA ⋅k PB =116，则下列说法正确的是（ ） A ．a =2B ．双曲线C 的渐近线方程为y =±4x C ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为1D ．双曲线C 的离心率为√52二、多选题(共4题)17．已知圆C ：(x −2)2+y 2=1，直线l ：x +y =0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则（ ）A ．直线l 与圆C 相交B ．|PQ |的最小值为√2−1C ．到直线l 的距离为1的点P 有且只有2个D ．从点Q 向圆C 引切线，切线的长的最小值是2 18．已知椭圆C ：x 29+y 26=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上（异于左右顶点），记△PF 1F 2的面积为S ，则（ ） A ．当∠F 1PF 2=60°时，S =√3 B ．PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为[3,6) C ．△PF 1F 2的面积的最大值为3√2D ．椭圆C 上有且只有4个点P ，使得△PF 1F 2是直角三角形19．已知抛物线C ：y 2=4x ，圆F ：(x −1)2+y 2=14（F 为圆心），点P 在抛物线C 上，点Q 在圆F 上，点A (−1,0)，则下列结论中正确的是（ ） A ．|PQ |的最小值是12 B ．|PF ||PA |的最小值是12 C ．当∠PAQ 最大时，|AQ |=√152D ．当∠PAQ 最小时，|AQ |=√15220．已知F 1，F 2是双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π3的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且|MP |=|MF 1|，下列判断正确的是（ ） A ．∠F 1PF 2=π6B ．E 的离心率等于2+√3C ．△PF 1F 2的内切圆半径是√3−1D ．双曲线渐近线的方程为y =±√2x三、填空题(共6题)21．已知圆C:x 2+y 2−2x −2y +1=0，直线l:x +y −4=0，若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线MA,MB ，切点分别为A,B ，则∠ACB 最小时，原点O 到直线AB 的距离为___________. 22．已知离心率e =√52的双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O 、A 两点．若△AOF 的面积为1，则实数a 的值为___．23．已知点A (2,0)，抛物线C:x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交与点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |:|MN |=___________.24．圆C 的圆心C 在抛物线y 2=2x 上,且圆C 与y 轴相切于点A ,与x 轴相交于P,Q 两点,若OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =9( O 为坐标原点),则|PQ |＝_______．25．圆x 2+y 2=4与y 轴交于点A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________． 26．已知双曲线C:x 2a2−4y 2=1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于√34，抛物线E:y 2=2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1:4x −3y +6=0和l 2:x =−1的距离之和的最小值为__________． 四、解答题(共6题)27．已知双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，且过点P （3，√2）．(1)求C 的方程；(2)设Q （1，0），直线x =t （t ∈R ）不经过P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线BQ 与C 交于另一点D ，过Q 点作QN ⊥AD 于N ，证明：直线AD 过定点M ，且点N 在以QM 为直径的圆上．28．已知离心率为√22的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)经过抛物线x 2=−4y 的焦点F ，斜率为1的直线l 经过(1,0)且与椭圆交于C,D 两点. （1）求△COD 面积；（2）动直线m 与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x =1,x =2分别交于A,B 两点，F 2为椭圆的右焦点，证明|AF 2||BF 2|为定值.29．已知抛物线L:y 2=2px (p >0)，且过抛物线焦点F 作直线交抛物线所得最短弦长为4，过点M (5,0)作斜率存在的动直线l 与抛物线L 交于A,B 两点. （1）求抛物线L 的方程；（2）若过点A 作y 轴的垂线m ，则x 轴上是否存在一点P (x 0,0)，使得直线PB 与直线m 的交点恒在一条直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 30．设抛物线C:x 2=2py (0<p <8)的焦点为F ，点P 是C 上一点，且PF 的中点坐标为(2,52). （1）求抛物线C 的标准方程；（2）动直线l 过点A (0,2)，且与抛物线C 交于M,N 两点，点Q 与点M 关于y 轴对称（点Q 与点N 不重合），求证：直线QN 恒过定点.31．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1､F 2，点P 在椭圆上，有|PF 1|+|PF 2|=4，椭圆的离心率为e =12；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知N (4,0)，过点N 作直线l 与椭圆交于A,B 不同两点，线段AB 的中垂线为l ′，线段AB 的中点为Q 点，记l ′与y 轴的交点为M ，求|MQ |的取值范围.32．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F 1，离心率为12，F 1为圆M ：x 2+y 2+2x −15=0的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C,D 两点，求四边形ABCD面积的取值范围.9.4平面解析几何章末综合训练(答案)一、单选题(共16题)1．椭圆y249+x224=1与双曲线y2−x224=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为()A．48B．24C．224√3D．12√3【详解】结合椭圆性质,可以得到F(0,5),F(0,−5)切点为A，则|PA|的最小值是（）A．4B．2√5C．3D．63．已知双曲线4−b2=1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（）A．x24−3y24=1B．x24−4y23=1C．x24−y28=1D．x24−y212=1轴相切于点(0，√3)，则点M的横坐标为（）A．－3B．－2C．－4D．－2√3段PM于N点，则N点的轨迹方程为（）A．x236+y232=1B．x232+y236=1C．x29+y25=1D．x25+y29=1【答案】C【详解】根据题意，作图如下：易知|NM|=|NQ|，则|NP|+|NM|=6，即|NP|+|NQ|=6>|PQ|=4，故点N的轨迹是以P,Q为焦点且长轴长为6的椭圆，设其方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>1)，则c=2,2a=6，则a=3，6．P 为椭圆100+91=1上的一个动点，M,N 分别为圆C:(x −3)2+y 2=1与圆D:(x +3)2+y 2=r 2(0<r <5)上的动点，若|PM|+|PN|的最小值为17，则r = A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】因为C(3,0)，D(−3,0)恰好为椭圆的两个焦点， 因为|PM|≥|PC|−1,|PN|≥|PD|−r ，所以|PM|+|PN|≥|PC|+|PD|−1−r =2a −1−r . 因为a 2=100，得a =10， 所以20−1−r =17，则r =2. 故选：B.7．已知抛物线C ： y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P (1,y 0)在C 上，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若∠FPQ =120°，则F 到y 轴的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．12因为点P (1,y )在C 上，根据抛物线的定义可得PQ =PF =1+p,MF =p ，且∠FPQ =120°，8．已知双曲线a 2−b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1(−2,0)、F 2(2,0)，A 、B 是其右支上的两点，AF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3F 2B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,|AF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则该双曲线的方程是（ ）A．x23−y2=1B．x22−y2=1C．x22−y22=1D．x2−y23=1【答案】D【详解】设|F2B|=m，则|AF2|=3m,|AB|=4m，∴|AF1|=|AB|=4m，由|AF1|−|AF2|=2a得m=2a,∴|BF1|=4a，设∠AF2F1=θ，由余弦定理可知：{(8a)2=42+(6a)2−48a⋅cosθ ①(4a)2=42+(2a)2+16a⋅cosθ ②由①，②得a2=1，又a2+b2=c2=4，∴b2=3，∴双曲线方程为x2−y23=1.故选：D.9．抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若|AB|= 8，则p=（）A．12B．1C．2D．410．已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．√104B．√106C．√55D．√53【答案】D【详解】设椭圆的左焦点为F1,因为|OA|=|OF2|=|OF1|,所以∠F1AF2=90°,如图所示,F =OM =111．已知双曲线C:a2−b 2=1(a >0,b >0)的离心率的取值范围为(√2,√3)，则该双曲线的渐近线与圆P:(x −2)2+y 2=3的公共点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．412．已知F 1，F 2分别是双曲线C:a2−b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，直线l 过F 1，且l与一条渐近线平行，若F 2到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ． (√5,+∞) B ． (1,√5)C ． (√52,+∞)D ． (1,√52)13．已知椭圆a 2+b 2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c ，0)，F 2(c ，0)，P 是椭圆上一点，|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，若∠PF 2F 1∈(π3,π)，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12) B ．(0，13)C ．(12，1)D ．(13，12)【答案】D14．直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|＝（）A．a+b B．a+b2C．√ab D．12√ab【答案】C【详解】①PQ与x轴不垂直时，如图所示，由抛物线的定义可得|QF|＝|QS|，|PF|＝|PR|．∴∠QFS＝∠QSF，∠PFR＝∠PRF，由题意可得QS∥FG∥PR，∴∠SFG＝∠QSF，∠RFG＝∠PRF．∴∠SFG+∠RFG＝90°，∴|MF|=12|RS|．过点P作PN⊥QS交于点N，则|PN|＝|RS|．在Rt△PQN中，|PN|=√|PQ|2−|QN|2=√((a+b)2−(b−a)2=2√ab．∴|MF|=√ab．②当PQ⊥x轴时，也可|MF|＝p＝a＝b=√ab．综上可知：|MF|=√ab．故选：C．15．已知椭圆C:x 2a 2，离心率为√32，若直线l 与椭圆C 交于E,F 两点(E,F 不是左、右顶点)且满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则直线l 在x 轴上的截距为( ) A ．−2 B ．−65C ．2或65D ．6516．已知双曲线C ：a 2−b 2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离为1，又双曲线C 与直线y=kx交于A，B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为k PA，k PB，曲，则下列说法正确的是（）线C的左､右焦点分别为F1，F2.若k PA⋅k PB=116A．a=2B．双曲线C的渐近线方程为y=±4xC．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为1D．双曲线C的离心率为√5217．已知圆C：(x−2)2+y2=1，直线l：x+y=0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（）A．直线l与圆C相交B．|PQ|的最小值为√2−1C．到直线l的距离为1的点P有且只有2个D．从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2对于C：设m：x+y+λ=0到直线l：x+y=0的距离为1.|2+√2|所以切线长QS=√CQ2−r2=√CQ2−1.18．已知椭圆C：9+6=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上（异于左右顶点），记△PF1F2的面积为S，则（）A．当∠F1PF2=60°时，S=√3B ．PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为[3,6)C ．△PF 1F 2的面积的最大值为3√2D ．椭圆C 上有且只有4个点P ，使得△PF 1F 2是直角三角形19．已知抛物线C ：y =4x ，圆F ：x −1+y =4（F 为圆心），点P 在抛物线C 上，点Q 在圆F 上，点A (−1,0)，则下列结论中正确的是（ ） A ．|PQ |的最小值是12 B ．|PF ||PA |的最小值是12 C ．当∠PAQ 最大时，|AQ |=√152D ．当∠PAQ 最小时，|AQ |=√15220．已知F1，F2是双曲线E:a2−b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1作倾斜角为3的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且|MP|=|MF1|，下列判断正确的是（）A．∠F1PF2=π6B．E的离心率等于2+√3C．△PF1F2的内切圆半径是√3−1D．双曲线渐近线的方程为y=±√2x21．已知圆C:x2+y2−2x−2y+1=0，直线l:x+y−4=0，若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA,MB，切点分别为A,B，则∠ACB最小时，原点O到直线AB的距离为___________.由切线性质可知AC⊥AM，22．已知离心率e=√2的双曲线C:a2b2OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点．若△AOF的面积为1，则实数a的值为___．相交于点N ，则|FM |:|MN |=___________.∵Rt △MPN 中，tan∠MNP =−k =1， OC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =9( O 为坐标原点),则|PQ |＝_______．不妨设C(a,b)在第一象限,则A(0,b),圆C 的方程为(x −a)2+(y −b)2=a 2(a >0),左边的交点分别为C，D，当梯形ABCD的周长最大时，此双曲线的方程为________________．连接AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，26．已知双曲线C:a2的右顶点到其一条渐近线的距离等于√4，抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1:4x−3y+6= 0和l2:x=−1的距离之和的最小值为__________．设M到l1的距离为d1,M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A. F三点共线时，MA+MF有最小值．=2.∵F(1,0)到直线l1:4x−3y+6=0的距离为|4−0+6|√16+9∴MA+MF的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2.故答案为2.四、解答题(共0分)x，且过点P（3，√2）．27．已知双曲线C的渐近线方程为y=±√33(1)求C的方程；(2)设Q（1，0），直线x=t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C 交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．28．已知离心率为√22的椭圆x 2a2+y 2b 2=1,(a >b >0)经过抛物线x 2=−4y 的焦点F ，斜率为1的直线l 经过(1,0)且与椭圆交于C,D 两点. （1）求△COD 面积；（2）动直线m 与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x =1,x =2分别交于A,B 两点，F 2为椭圆的右焦点，证明|AF 2||BF 2|为定值.过点M (5,0)作斜率存在的动直线l 与抛物线L 交于A,B 两点.（1）求抛物线L的方程；（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点P(x0,0)，使得直线PB与直线m的交点恒在一条直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.). 30．设抛物线C:x=2py(0<p<8)的焦点为F，点P是C上一点，且PF的中点坐标为(2,2（1）求抛物线C的标准方程；（2）动直线l过点A(0,2)，且与抛物线C交于M,N两点，点Q与点M关于y轴对称（点Q与点N 不重合），求证：直线QN恒过定点.∴抛物线C 的方程为x 2=4y ；（2）（法一）依题意直线l 的斜率存在，设直线l:y =kx +2，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则Q (−x 1,y 1)， 联立{x 2=4y,y =kx +2，消去y 得x 2−4kx −8=0，显然Δ>0，由韦达定理得{x 1+x 2=4k,x 1x 2=−8.∵k QN =y 2−y 1x2+x 1=x 224−x 124x 2+x 1=x 2−x 14， ∴直线QN 方程为y −y 1=x 2−x 14(x +x 1)， 即y =y 1+x 2−x 14(x +x 1)=x 2−x 14x +x 1(x 2−x 1)4+x 124=x 2−x 14x +x 1x 24，∵x 1x 2=−8, ∴QN 方程为y =x 2−x 14x −2,即直线QN 方程恒过定点(0,−2)．（法二）依题意知直线QN 的斜率存在且不为0， 设直线QN 方程为y =kx +b ，Q (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)， 则M (−x 1,y 1) 联立{x 2=4y,y =kx +b ，消去y 得x 2−4kx −4b =0．∵Q,N 是抛物线C 上不同两点，∴必有Δ>0, 由韦达定理得{x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b.∵M,A,N 点共线, AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−x 1,y 1−2),AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−2)，∴−x 1(y 2−2)−x 2(y 1−2)=0． ∴−x 1(kx 2+b −2)−x 2(kx 1+b −2)=0，∴2kx 1x 2+(b −2)(x 1+x 2)=0，即2k ⋅(−4b)+(b −2)⋅4k =0化简得：kb +2k =0 ∵k ≠0，∴b =−2． ∴直线QN 方程为y =kx −2, ∴直线QN 恒过定点(0,−2)．31．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1､F 2，点P 在椭圆上，有|PF 1|+|PF 2|=4，椭圆的离心率为e =12；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知N (4,0)，过点N 作直线l 与椭圆交于A,B 不同两点，线段AB 的中垂线为l ′，线段AB 的中点为Q 点，记l ′与y 轴的交点为M ，求|MQ |的取值范围.32．设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为2，F1为圆M：x2+y2+2x−15=0的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C,D 两点，求四边形ABCD面积的取值范围.。