第五章 异方差性 思考题

于OLS估计得到的残差 ei 的分析
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异方差性的检验
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
Var(ui ) E(uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2) ei2
图示检验法
图示检验法
（一）相关图形分析 方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散程度。因为被解释
变量Y与随机误差项u有相同的方差，所以分析Y与X的相关图，可以初 略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。
ui 的某些分布特征，可通过残差 ei 的图形对异方差进行观察。
对于一元回归模型，绘制出ei2 对Xi的散点图,对于多元回归模型，绘制出ei2 对Yi的散点图或ei2 与认为和异方差有关的X的散点图。
31
图示检验法
（二）残差图形分析
e~i 2
e~i 2
X 同方差
e~i 2
X 递增异方差
e~i 2
X 递减异方差
每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机
误差项的异方差性
产生异方差性的原因
产生异方差性的原因
（一）模型设定误差
假设正确的模型是：
Yi 1 2 X2i 3 X3i ui
假如略去了重要的解释变量X3 ，而采用 Yi 1 2 X2i vi
排序，再按戈德菲尔德匡特检验方法回归，否则即使存在异方差，也有可能用戈德菲
尔德匡特方法检验不出来。
用 EViews 给截面数据排序的方法：在 Workfile 窗口点击 Procs 键并选 Sort current page
功能，在打开的 Sort Workfile Series 对话窗填写以哪一个序列为标准（基准序列）排

Qt

ALt
K

t
eut
• U为随机误差项，它包含了资本K和劳动力L
以外的因素对产出Q的影响，比如能源、环境、
政策等。由于不同的地区这些因素不同造ui 成了 对产出的影响出现差异，使得模型中的 具有
异方差，并且这种异方差的表现是随资本和劳 动力的增加而有规律变化的。
(二）样本数据的观测误差
• 一方面，样本数据的观测误差常随着时间的 推移而逐步积累，引起随机误差项的方差增 加。另一方面，随着时间的推移，样本观测 技术会随之提高，也可能使得样本的观测误 差减少，引起随机误差项的方差减小。因此， 随着时间的推移，样本数据的观测误差会发 生变化，从而引起随机误差项的变化。
Yt 1 2 X 2i 3 X 3i ui (1)
Y 1 2 X 2 3 X 3
(2)
Yt 1' 2 X 2i ui'
(3)
Y 1' 2 X 2
(4)
由(2)、(4)得:1' 1 3 X3 (5)
由(1)、(3)、(5)得:
Var(ui )


2 i

f
(X
ji )
i 1, 2, , n
则称随机误差项存在异方差.
( 即回归模型中随机误差项的方差不是常数 )
例2：使用截面数据研究储蓄函数
假设 储蓄函数模型Y i 0 1X i ui
式中：Y i第i个家庭的储蓄额，X i第i个家庭的可支配收入，ui 代表除可支配收入以外影响储蓄额的其它因素，如利率、家庭 人口、文化背景等等。这里，同方差假设显然与事实不符。
ui' 1 3 X 3i ui 1'

第五章 异方差性
引子：更为接近真实的结论是什么？
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口数资料，
分析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数
与人口数的回归模型。对模型估计的结果如下：
ˆ 563.0548 5.3735 X Y i i
（291.5778） (0.644284)
t =(-1.931062) (8.340265)
第五章 异方差性
本章将讨论四个问题： ●异方差的实质和产生的原因 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救
第一节 异方差性的概念
一、 异方差的实质
同方差的含义 同方差性：对所有的 i (i 1,2,..., n) 有： Var (ui X i ) 2
因为方差是度量被解释变量 Y 的观测值围绕条件期望 E(Yi X 2 , X 3 , X k ) 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki
具体步骤：
●排序:将观测值按解释变量X大小顺序排列
●数据分组 : 去掉中间的 C 个（约 1/4 ）观测值，分 别进行前后两部分 (n c) 2 个观测值的回归 ●提出假设 : 分别进行前后两部分回归的基础上，提 出检验假设：
2 2 H : 即 0 i
H o : ui 是同方差（前后两部分方差无显著差异），
计算辅助回归的可决系数 R 2 3.提出原假设 H0 : 1 = 2 = ... = p = 0 ; H1 : j不全为零
并计算辅助回归的 R 2
2 t
2 2t
2 3t
3.提出假设 H 0 : 2 = ...= 6 = 0,
H1 : （ j j = 2,,3,...,6）不全为零

样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩大而增加，或 随时间的推移逐步积累，也可能随着观测技术的提高而逐步 减小。如储蓄函数，假如用的是1980年至2010年的数据，前 些年工资较透明，现在灰色收入较多，测量误差有变化。
7
（四）截面数据中总体各单位的差异 例如利用截面数据研究消费与收入的关系时，不同
情况下，无法判断是哪个变量引起的异方差。
27
三、White检验
（一）基本思想： 不需要关于异方差的任何先验信息，只需要
在大样本的情况下，将OLS估计后的残差平方对 常数、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积 等构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的 检验统计量来判断异方差性。
28
（二）检验步骤： 以一个二元线性回归模型为例，设模型为：
( xi
)2
Xi
Var(ˆ2
)


2xi2
X
2 i
(xi2 )2
于是
Var(ˆ2 ) Var(ˆ2 )

(
2xi2
xi Xi
)2

xi2
X
2 i
由于
(
xi Xi
)2

xi2
X
2 i

(
xi Xi

xi
Xi
)

(xi2 )2
所以
Var(ˆ2 Var(ˆ2
) )

1
第五章 异方差性
1
本章讨论四个问题： ●异方差的实质和产生的原因 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救
2
第一节 异方差性的概念
一、什么是异方差性
在简单线性回归模型和多元线性回归模型的基 本假定中，有同方差假定：

8
第二节 异方差性的后果
一、对参数估计统计特性的影响
二、对参数显著性检验的影响
三、对预测的影响
9
一、对参数估计式统计特性的影响
1、仍然具有线性性
2、仍然具有无偏性
参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零 均值 假定（即 E(ui ) 0 ）。所以异方差的存在对 无偏性的成立没有影响。
3、仍然具有一致性
3
如果把异方差看成是由于某个解释变量的变 化而引起的，则
Var(ui ) f ( X i )
2 i 2
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i 2 随X的增大而增大 (2)单调递减型： i 2 随X的增大而减小 2 (3)复杂型： i 与X的变化呈复杂形式
4
单调递增型异方差例
7
u i*
2、数据的测量误差
样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩 大而增加，或随时间的推移逐步积累，也可能随 着观测技术的提高而逐步减小。
3、截面数据中总体各单位的差异 u*
i
通常认为，截面数据较时间序列数据更容易 产生异方差。这是因为同一时点不同对象的差异， 一般说来会大于同一对象不同时间的差异。 不过，在时间序列数据发生较大变化的情况 下，也可能出现比截面数据更严重的异方差。
34
3、检验的特点
（1）变量的样本值为大样本； （2）数据是时间序列数据； （3）只能判断模型中是否存在异方差，而不能诊 断出哪一个变量引起的异方差。
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五、Glejser检验
1、检验的基本思想
由OLS法得到残差
ei
，取得绝对值，然后将对
某个解释变量回归，根据回归模型的显著性和拟合 优度来判断是否存在异方差。

估计量不具有最佳性。 但OLS估计量不具有最佳性。 估计量不具有最佳性
5.2.3对模型参数估计值显著性检验的影响 对模型参数估计值显著性检验的影响
e′e 并非随机误差项 并非随机误差项 在异方差情况下， ˆ 在异方差情况下， σ = n − k −1 方差的无偏估计量。 方差的无偏估计量。
2
ˆ 导致在此基础上估计的 s ( b j ) 也出现偏误。
e t 来近似代表随机误差项
5.3.1图示检验法 图示检验法
的估计值） （1）用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进 ） （ 的估计值 行初步判断
~ ei 2 ~ ei 2
X 同方差 递增异方差
X
~ ei 2
~ ei 2
X 递减异方差 复杂型异方差
X
（2）用X-Y的散点图进行判断 ） 的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大 缩小 复杂型趋势 散点扩大、缩小 散点扩大 缩小或复杂型趋势 （即不在一个固定的带型域中）
. 0 . 0 . ... σ nn ...
5.1.2产生异方差的原因 产生异方差的原因
1、解释变量的遗漏。 2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。 3、异常观测值的出现。 4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。
注意： （1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差，其 中截面样本中更为常见。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时 间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut
1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序 2 列：e t
2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变 解释变 解释变量的平方项和交叉积项 量以及解释变量的平方项 交叉积项 解释变量的平方项 交叉积项做辅助回归：

第二章异方差性、自相关性和多重共线性思考与练习参考答案2.1参考答案答：随机误差项方差随观察单位而变的现象为异方差。

影响：(1)尽管OLS估计仍无偏，但起方差不再有效(即最小方差性不具备)，且模型误差项方差估计有偏.(2)t检验、F 检验失效，从而对参数、模型整体的显著性判断不可靠.(3)预测精度低，模型的应用失效.2.2参考答案答：G---Q检验原理:(1)假定随机误差项方差σ2t 与某一解释变量Xti成正(负)相关；(2)对样本观察值按Xi升序排列后去除中间的部分样本值；(3)分别以剩下的两部分样本值为子样，利用ＯＬＳ法计算各自的方差估计值；(4)以两子样的方差估计值构造Ｆ统计量，判断两子样的方差是否差异显著。

若显著，则存在异方差；否则反之。

White检验原理：通过构造辅助回归模型e2t =β+tipiix∑=1β+tjpjitiijxx∑=1,β来判断零假设H0：①E(Ut)=2σ(t=1，2，3……N) ，并且②模型设定Ｙ＝ＸＢ+Ｕ正确若检验显著，则否定零假设，从而认为存在异方差或者模型设定错误；若检验不显著，则接受零假设。

White、Park和Glecses检验均使用辅助回归模型来探测住回归方程系数显著性检验来探测异方差性。

其间区别在于：Park和Glecses检验是通过辅助回归方程系数显著性来探测异方差；而White检验则是通过辅助回归方程整体显著性来检验探测主回归模型是否存在异方差性或者设定误差。

2.3参考答案答：WLS发实质上为模型变换法.考虑回归模型Y t =b 0+b 1x t +U t ，假设其存在异方差性并且Var(U t )=2t σ=K 2其中K 为常数，对远模型使用权数为W t =1/)/(t x t 的WLS 法进行估计时，实质上是对原模型作了变换，变换后的形式为：)(t tx f Y =)(0t x f b +)(1t tx f x b +)(t tx f v经过转换后，模型的异方差性被清除了。

第五章课后答案5.1（1）因为22()i i f X X =，所以取221iiW X =，用2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i ii i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为***12233ˆˆˆY X X βββ=-- ()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223ˆi i i i i i i i i i i i i i i i i iW y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223ˆii ii i i iii i i ii i i i i iW y x W x W y x W x x Wx W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,iii i i i iiiW XW X W Y X X Y WWW ===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y=-=-=- 5.2（1）2222211111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1Y X Y X Yu u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+[ln()]0()[ln()1][ln()]11E u E E u E u μ=∴=+=+=又（2）[ln()]ln ln 0 1 ()11i i iiP P i i i i P P i i E P E μμμμμμμ===⇒====∑∏∏∑∏∏不能推导出所以E 1μ（）=时，不一定有E 0μ（ln ）= (3) 对方程进行差分得：1)i i βμμ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln 则有：1)]0i i μμ--=E[(ln ln5.3（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)t= 3.152752 31.5409720.944911R =20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946 F=994.8326（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。

第五章-异方差性-答案第五章 异方差性一、判断题1. 在异方差的情况下，通常预测失效。

（ T ）2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。

（ F ）3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。

（F ）4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。

（F ）5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。

（ T ）二、单项选择题1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）A.一阶差分法B.广义差分法C.工具变量法D.加权最小二乘法3.White 检验方法主要用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差与有显著的形式的相关关系（满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（ B ）A. B. C. D. 7.设回归模型为，其中()2i2i x u Var σ=，则b 的最有效估计量为（ D ）i e i x i i i v x e +=28715.0i v i x 21i x i x 1ix 1i i i u bx y +=A. B. C. D. ∑=i i x y n 1b ˆ 8.容易产生异方差的数据是（ C ）A. 时间序列数据B.平均数据C.横截面数据D.年度数据9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模型时，应将模型变换为（ C ）。

第五章思考题5.2 各种异方差检验的基本思想是，基于不同的假定，分析随机误差项的方差与解释变量之间的相关性，以判断随机误差项的方差是否随解释变量变化而变化。

其中，戈德菲尔德-夸特检验、怀特检验、ARCH检验和Glejser检验都要求大样本，其中戈德菲尔德-夸特检验、怀特检验和Glejser检验对时间序列和截面数据模型都可以检验，ARCH检验只适用于时间序列数据模型中。

戈德菲尔德-夸特检验和ARCH检验只能判断是否存在异方差，怀特检验在判断基础上还可以判断出是哪一个变量引起的异方差。

Glejser检验不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。

5.4 产生异方差的原因：①模型设定误差②测量误差的变化③截面数据中总体各单位的差异。

经济现象中的异方差性：研究低收入组的家庭消费情况与高收入组的家庭消费情况时，由于高收入组家庭有更多的可支配收入，因而消费的分散程度较大，造成不同组别收入的家庭消费偏离均值程度的差异，反映在随机误差项偏离均值的程度时出现异方差。

5.5 异方差对模型的影响：①当模型中的误差项存在异方差时，参数估计仍然是无偏的但方差不再是最小的；②在异方差存在的情况下，参数估计量的方差会比真实估计量的方差大，会严重破坏t检验和F检验的有效性；③Y预测值的精确度降低。

异方差的存在会对回归模型的正确建立和统计推断带来严重后果，不能进行应用分析。

练习题5.1 （1）设f(X i)=X2i 2，则Var(u i)=σ2X2i 2，得：Y i X2i =β11X 2i+β2+β3X3iX2i+u iX2i则Var(u iX2i )=1X 2iVar(u i)=σ25.2 （1）Y=-50.01991+0.X+52.37082Tt = (-1.011) (2.944) (10.067)由上面散点图可知，残差平方随解释变量的增大而增大，可见，模型存在异方差。

（2）模型存在异方差，可通过变换模型、进行对数变换和加权最小二乘法来估计参数。

第五章异方差性习题与答案1、产生异方差的后果是什么？2、下列哪种情况是异方差性造成的结果？(1)OLS估计量是有偏的(2)通常的t检验不再服从t分布。

(3)OLS估计量不再具有最佳线性无偏性。

3、已知模型：乙=0o+0]X”+02X2i+"i式中，乙为某公司在第i个地区的销售额；X“为该地区的总收入；X2,为该公司在该地区投入的广告费用(£=0,1,2……，50)。

(1)由于不同地区人口规模乙可能影响着该公司在该地区的销售，因此有理由怀疑随机误差项g是异方差的。

假设b,依赖于总体£•的容量，逐步描述你如何对此进行检验。

需说明：A、零假设和备择假设；B、要进行的回归；C、要计算的检验统计值及它的分布(包括自由度)；D、接受或拒绝零假设的标准。

(2)假设q =陋-逐步描述如何求得BLUE并给出理论依据。

4、下表数据给出按学位和年龄划分的经济学家的中位数工薪：表1经济学家的工资表中位数工薪(以千美元计算)年龄硕士博士25-29&08.830-349.29.635-3911.011.040-4412.812.545-4914.213.650-5414.714.355-5914.515.060—6413.515.065-6912.015.0(1)有硕士学位和有博士学位经济学家的中位数工薪的方差相等么？(2)如果相等，你会怎样检验两组平均中位数工薪相等的假设？(3)在年龄35至5岁之间的经济学家，有硕士学位的比有博士学位的赚更多的钱，那么你会怎样解释这一发现？5、为了解美国工作妇女是否受到歧视，可以用美国统计局的“当前人口调查” 中的截面数据，研究男女工资有没有差别。

这项多元回归分析研究所用到的变量有：W—雇员的工资率(美元/小时)1表示雇员为女性，0表示女性意外的雇员。

ED：受教育的年数。

AGE：年龄对124名雇员的样本进行的研究得到回归结果为：（括号内为估计的t值）W = -6.41 -2.76sex + 0.99ED + 0.12AGE R2 -0.867 E = 23.2求：（1）该模型调整后的决定系数艮2 （2）各估计值的标准差为多少？（3）检验美国工作妇女是否受到歧视，为什么？（4）按此模型预测一个30岁受教育16年的美国男性的平均每小时的工作收入为多少美元？6、下表给出了2000年中国部分省市城镇居民每个家庭平均全年可支配收入X 与消费支出Y的统计数据。

计量经济学课后思考题答案庞皓版第一章绪论思考题1.1怎样理解产生于西方国家的计量经济学能够在中国的经济理论研究和现代化建设中发挥重要作用？答：计量经济学的产生源于对经济问题的定量研究，这是社会经济发展到一定阶段的客观需要。

计量经济学的发展是与现代科学技术成就结合在一起的，它反映了社会化大生产对各种经济因素和经济活动进行数量分析的客观要求。

经济学从定性研究向定量分析的发展，是经济学逐步向更加精密、更加科学发展的表现。

我们只要坚持以科学的经济理论为指导，紧密结合中国经济的实际，就能够使计量经济学的理论与方法在中国的经济理论研究和现代化建设中发挥重要作用。

1.2理论计量经济学和应用计量经济学的区别和联系是什么？答：计量经济学不仅要寻求经济计量分析的方法，而且要对实际经济问题加以研究，分为理论计量经济学和应用计量经济学两个方面。

理论计量经济学是以计量经济学理论与方法技术为研究内容，目的在于为应用计量经济学提供方法论。

所谓计量经济学理论与方法技术的研究，实质上是指研究如何运用、改造和发展数理统计方法，使之成为适合测定随机经济关系的特殊方法。

应用计量经济学是在一定的经济理论的指导下，以反映经济事实的统计数据为依据，用计量经济方法技术研究计量经济模型的实用化或探索实证经济规律、分析经济现象和预测经济行为以及对经济政策作定量评价。

1.3怎样理解计量经济学与理论经济学、经济统计学的关系？答：1、计量经济学与经济学的关系。

联系：计量经济学研究的主体—经济现象和经济关系的数量规律；计量经济学必须以经济学提供的理论原则和经济运行规律为依据；经济计量分析的结果：对经济理论确定的原则加以验证、充实、完善。

区别：经济理论重在定性分析,并不对经济关系提供数量上的具体度量；计量经济学对经济关系要作出定量的估计，对经济理论提出经验的内容。

2、计量经济学与经济统计学的关系。

联系：经济统计侧重于对社会经济现象的描述性计量；经济统计提供的数据是计量经济学据以估计参数、验证经济理论的基本依据；经济现象不能作实验，只能被动地观测客观经济现象变动的既成事实，只能依赖于经济统计数据。

第五章 异方差性一、判断题1. 在异方差的情况下，通常预测失效。

（ T ）2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。

（ F ）3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。

（F ）4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。

（F ）5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。

（ T ） 二、单项选择题1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性 2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）A.一阶差分法B.广义差分法C.工具变量法D.加权最小二乘法 3.White 检验方法主要用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性 4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验 5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用 6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差与有显著的形式的相关关系（满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（ B ） A. B.C. D.7.设回归模型为，其中()2i2i x u Var σ=，则b 的最有效估计量为（ D ）A. B.C. D. ∑=ii x y n 1b ˆ8.容易产生异方差的数据是（ C ）A. 时间序列数据B.平均数据C.横截面数据D.年度数据9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模i e i x i i i v x e +=28715.0i v i x 21i x i x 1ix 1i i i u bx y +=∑∑=2ˆxxy b 22)(ˆ∑∑∑∑∑--=x x n y x xy n b xyb=ˆ型时，应将模型变换为（ C ）。

计量经济学第五章异⽅差性参考答案讲解第五章异⽅差性课后题参考答案 5.1（1）因为22()i i f X X =，所以取221iiW X =，⽤2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i ii i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的⽅差为⼀固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最⼩⼆乘法，可得修正异⽅差后的参数估计式为***12233Y X X βββ=-- ()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223?i i i i i i i i i i i i i i i i i iW y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223?ii ii i i iii i i ii i i i i iW y x W x W y x W x x Wx W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,iii i i i iiiW XW X W Y X X Y WWW ===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y=-=-=- 5.2 （1）2222211111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1Y X Y X Yu u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+ [ln()]0 ()[ln()1][ln()]11E u E E u E u µ=∴=+=+=⼜（2）[ln()]ln ln 0 1 ()11i i iiP P i i i i P P i i E P E µµµµµµµ===?====∑∏∏∑∏∏不能推导出所以E 1µ（）=时，不⼀定有E 0µ（ln ）= (3)对⽅程进⾏差分得：1)i i βµµ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln则有：1)]0i i µµ--=E[(ln ln5.3（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)t= 3.152752 31.5409720.944911R =20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946 F=994.8326（2）⾸先，⽤Goldfeld-Quandt 法进⾏检验。

第五章 异方差性 思考题5.1 简述什么是异方差 ? 为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关 ?5.2 试归纳检验异方差方法的基本思想 , 并指出这些方法的异同。

5.3 什么是加权最小二乘法 , 它的基本思想是什么 ?5.4 产生异方差的原因是什么 ? 试举例说明经济现象中的异方差性。

5.5 如果模型中存在异方差性 , 对模型有什么影响 ? 这时候模型还能进行应用分析吗 ?5.6 对数变化的作用是什么 ? 进行对数变化应注意什么 ? 对数变换后模型的经济意义有什么变化 ? 5.7 怎样确定加权最小二乘法中的权数 ? 练习题5.1 设消费函数为 12233i i i i Y X X u βββ=+++其中,i Y 为消费支出；2i X 为个人可支配收入；3i X 为个人的流动资产；i u 为随机误差项 ,并且 E(i u )=0,Var(i u )= 222i X σ( 其中2σ为常数) 。

试回答以下问题 : 1) 选用适当的变换修正异方差 , 要求写出变换过程 ; 2) 写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

5.2 根据本章第四节的对数变换 , 我们知道对变量取对数通常能降低异方差性 , 但需对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。

例如 ,设模型为21Y X u ββ=,对该模型中 的变量取对数后得12ln ln ln ln Y X u ββ=++1) 如果ln u 要有零期望值 ,u 的分布应该是什么 ? 2) 如果 E(u )=1, 会不会 E(ln u )=0? 为什么 ? 3) 如果 E(ln u ) 不为零 , 怎样才能使它等于零 ?5.3 表 5.8 给出消费 Y 与收入 X 的数据 , 试根据所给数据资料完成以下问题 :1) 估计回归模型12Y X u ββ=++中的未知参数1β和2β, 并写出样本回归模型的书写格式；2) 试用 GOMeld-Quandt 法和 White 法检验模型的异方差性 3 3) 选用合适的方法修正异方差。

第五章 异方差性思考题5.1 简述什么是异方差？为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关？答 ：设模型为),....,,(....n 21i X X Y i i 33i 221i =μ+β++β+β=，如果其他假定均不变，但模型中随机误差项的方差为),...,,()(n 21i Var 2i i =σ=μ，则称i μ具有异方差性。

由于异方差性指的是被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的变化而变化的，所以异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关。

5.2 试归纳检验异方差方法的基本思想，并指出这些方法的异同。

答：各种异方差检验的共同思想是，基于不同的假定，分析随机误差项的方差与解释变量之间的相关性，以判断随机误差项的方差是否随解释变量变化而变化。

其中，戈德菲尔德-跨特检验、怀特检验、ARCH 检验和Glejser 检验都要求大样本，其中戈德菲尔德-跨特检验、怀特检验和Glejser 检验对时间序列和截面数据模型都可以检验，ARCH 检验只适用于时间序列数据模型中。

戈德菲尔德-跨特检验和ARCH 检验只能判断是否存在异方差，怀特检验在判断基础上还可以判断出是哪一个变量引起的异方差。

Glejser 检验不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。

5.3 什么是加权最小二乘法？它的基本思想是什么？答：以一元线性回归模型为例：12i i i Y X u ββ=++经检验i μ存在异方差，公式可以表示为22var()()i i i u f X σσ==。

选取权数 i w ，当2i σ 越小 时，权数i w 越大。

当 2i σ越大时，权数i w 越小。

将权数与 残差平方相乘以后再求和，得到加权的残差平方和：2i 21i 2i i X Y w e w )(**β-β-=∑∑，求使加权残差平方和最小的参数估计值**ˆˆ21ββ和。

这种求解参数估计式的方法为加权最小二乘法。

第五章 异方差性 思考题5.1 简述什么是异方差 ? 为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关 ?5.2 试归纳检验异方差方法的基本思想 , 并指出这些方法的异同。

5.3 什么是加权最小二乘法 , 它的基本思想是什么 ?5.4 产生异方差的原因是什么 ? 试举例说明经济现象中的异方差性。

5.5 如果模型中存在异方差性 , 对模型有什么影响 ? 这时候模型还能进行应用分析吗 ?5.6 对数变化的作用是什么 ? 进行对数变化应注意什么 ? 对数变换后模型的经济意义有什么变化 ? 5.7 怎样确定加权最小二乘法中的权数 ? 练习题5.1 设消费函数为 12233i i i i Y X X u βββ=+++其中,i Y 为消费支出；2i X 为个人可支配收入；3i X 为个人的流动资产；i u 为随机误差项 ,并且 E(i u )=0,Var(i u )= 222i X σ( 其中2σ为常数) 。

试回答以下问题 : 1) 选用适当的变换修正异方差 , 要求写出变换过程 ; 2) 写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

5.2 根据本章第四节的对数变换 , 我们知道对变量取对数通常能降低异方差性 , 但需对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。

例如 ,设模型为21Y X u ββ=,对该模型中 的变量取对数后得12ln ln ln ln Y X u ββ=++1) 如果ln u 要有零期望值 ,u 的分布应该是什么 ? 2) 如果 E(u )=1, 会不会 E(ln u )=0? 为什么 ? 3) 如果 E(ln u ) 不为零 , 怎样才能使它等于零 ?5.3 表 5.8 给出消费 Y 与收入 X 的数据 , 试根据所给数据资料完成以下问题 :1) 估计回归模型12Y X u ββ=++中的未知参数1β和2β, 并写出样本回归模型的书写格式；2) 试用 GOMeld-Quandt 法和 White 法检验模型的异方差性 3 3) 选用合适的方法修正异方差。