第五章：异方差性(作业)教学文案

5.3为了研究中国出口商品总额EXPORT对国内生产总值GDP的影响，搜集了1990 2015年相关的指标数据，如表 5.3所示。

(1) 根据以上数据，建立适当线性回归模型。

(2) 试分别用White检验法与ARCH检验法检验模型是否存在异方差?(3) 如果存在异方差，用适当方法加以修正。

解：（1）Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 04/18/20 Time: 15:38Sample: 1991 2015Included observations: 25Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -673.0863 15354.24 -0.0438370.965 4X 4.061131 0.201677 20.136840.000 0R-squared 0.946323 Mean dependent var234690. 8Adjusted R-squared 0.943990 S.D. dependent var210356. 7S.E. of regression 49784.06 Akaike info criterion 24.5454Sum squared resid 5.70E+10 Schwarz criterion 24.64291 Log likelihood -304.8174 Hannan-Quinn criter. 24.57244F-statistic 405.4924 Durbin-Watson stat 0.366228Prob(F-statistic) 0.000000模型回归的结果：AY 673.0863 4.0611X it ( 0.0438 )(20.1368)R20.9463, n 25(2) white:该模型存在异方差Heteroskedasticity Test: WhiteF-statistic 4.493068 Prob. F(2,22) 0.0231Obs*R-squared 7.250127 Prob. Chi-Square(2) 0.0266 Scaled explained SS 8.361541 Prob. Chi-Square(2) 0.0153Test Equation:Dependent Variable: RESIDEMethod: Least SquaresDate: 04/18/20 Time: 17:45Sample: 1991 2015Included observations: 25Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -1.00E+09 1.43E+09 -0.7003780.491 0XA2 -0.455420 0.420966 -1.081847 0.2910 X 102226.2 60664.19 1.685117 0.1061R-squared 0.290005 Mean dependent var2.28E+0 9Adjusted R-squared 0.225460 S.D. dependent var 3.84E+09S.E. of regression 3.38E+09 Akaike info criterion 46.83295Sum squared resid 2.51E+20 Schwarz criterion 46.97922 Log likelihood -582.4119 Hannan-Quinn criter. 46.87352F-statistic 4.493068 Durbin-Watson stat 0.749886Prob(F-statistic) 0.023110ARCH检验：该模型存在异方差Test Equation:Dependent Variable: RESID A2Method: Least SquaresDate: 04/18/20 Time: 19:55Sample (adjusted): 1992 2015Included observations: 24 after adjustmentsVariableCoefficient Std. Error t-Statistic Prob. C8.66E+08 6.92E+08 1.251684 0.2238RESID A 2(-1) 0.817146 0.1889444.3248020.0003 R-squared0.459511 Mean dependent var 2.37E+09 Adjusted R-squared 0.434944 S.D. dependent var 3.90E+09S.E. of regression 2.93E+09 Akaike info criterion 46.51293 Sum squared resid 1.89E+20 Schwarz criterion 46.61110 Log likelihood -556.1552 Hannan-Quinn criter. 46.53898 F-statistic 18.70391Durbin-Watson stat0.888067Prob(F-statistic)0.000273(3)修正：加权最小二乘法修正却 WF Woricflil-ri UTLECi id tl e^cJ\ i « T t"l t-|<p-r f T 护i ■"i-i ■「■ H 1 < ~HV Prbll 1 T ffM r« 11 BHR 7 F r F -K * J *■ J —厂ilTHL 日芦£臼电*电引 OdiJ 1 0*左(■ 20 3>5r^lucilifl -MI^I TGR 1 Z7Q I S w= — T ,皿”=E Ba^-oa 山口 fE=-UH a P -OE = -口曰 3.2 1 且-口9 I B 之与尸-口口 ti .3-Z2E-DO 出q,峙尸・C 旦( 4.3-1 E-O^3 0 3IE 09 N.HMU O-QI 立o 右匚> - nO4 TDE--W Z.&15^=- DC1 hi-tiE - "IIIJ i. um r ci Q SJ ^F -iii i 旦日二-①口Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 04/18/20 Time: 20:46 Sample: 1991 2015Included observations: 25 Weighting series: W2Weight type: Inverse variance (average scaling)VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C 10781.17 2188.706 4.925821 0.0001 X3.9316060.19200420.476670.0000Weighted StatisticsR-squared0.947998 Mean dependent var 51703.40 Adjusted R-squared 0.945737 S.D. dependent var 11816.72 S.E. of regression 8420.515 Akaike info criterion 20.99135 Sum squared resid1.63E+09Schwarz criterion21.08886「工 P U 『匕 7 日nQ r U J-4m y Q M-n!R-0 Kc D 」a 口 9m 日0: B 吝口 oaooom 口 「1 ;「m =2 Q 工H rKLog likelihood -260.3919 Hannan-Quinn criter. 21.01839F-statistic 419.2938 Durbin-Watson stat 0.539863 Prob(F-statistic) 0.000000 Weighted mean dep. 39406.30 Unweighted StatisticsR-squared 0.944994 Mean dependent var234690. 8Adjusted R-squared 0.942602 S.D. dependent var 210356.7S.E. of regression 50396.82 Sum squared resid 5.84E+1修正后进行white检验:Heteroskedasticity Test: WhiteF-statistic 0.261901 Prob. F(2,22) 0.7720 Obs*R-squared 0.581387 Prob. Chi-Square(2) 0.7477 Scaled explained SS 0.211737 Prob. Chi-Square(2) 0.8995Test Equation:Dependent Variable: WGT_RESID A2Method: Least SquaresDate: 04/18/20 Time: 20:41Sample: 1991 2015Included observations: 25Collinear test regressors dropped from specificationVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 71441488 22046212 3.2405340.003 8X*WGTA2 -2711.961 5055.773 -0.536409 0.5971 WGTA2 13536351 20714871 0.653461 0.5202R-squared 0.023255 Mean dependent var 65232673 Adjusted R-squared -0.065539 S.D. dependent var 61762160 S.E. of regression 63753972 Akaike info criterion 38.89113Sum squared resid 8.94E+16 Schwarz criterion 39.03739 Log likelihood -483.1391 Hannan-Quinn criter. 38.9317F-statistic 0.261901 Durbin-Watson stat 0.898907Prob(F-statistic) 0.771953修正后的模型为AY 10781.17 3.931606X it (4.925821)(20.47667)R20.9480, n 255.4 表5.4的数据是2011年各地区建筑业总产值（X）和建筑业企业利润总额（Y）。

第五章异方差性本章教学要求：根据类型，异方差性是违背古典假定情况下线性回归模型建立的另一问题。

通过本章的学习应达到，掌握异方差的基本概念包括经济学解释，异方差的出现对模型的不良影响，诊断异方差的方法和修正异方差的方法。

经过学习能够处理模型中出现的异方差问题。

第一节异方差性的概念一、例子例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收入作为解释变量，数据为1998年的食品年制造业、饮料制造业等28个截面数据（即n=28）。

数据如下表,其中y表示制造业利润函数，x表示销售收入（单位为亿元）。

Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较小，有的点分散幅度较大。

因此，这种分散幅度的大小不一致，可以认为是由于销售收入的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发生了变化，而这种偏离均值的程度大小不同是一种什么现象？如何定义？如果非线性，则属于哪类非线性，从图形所反映的特征看并不明显。

下面给出制造业利润对销售收入的回归估计。

模型的书写格式为2ˆ12.03350.1044(0.6165)(12.3666)0.8547,..84191.34,152.9322213.4639,146.4905Y YX R S E FY s =+=====通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在一种系统性的表现。

例2，改革开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建立了一批医疗机构，还建立了不少民营医疗机构。

各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，而医疗服务需求与人口数量有关。

为了给制定医疗机构的规划提供依据，分析比较医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的回归模型。

根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口数资料对模型估计的结果如下：i iX Y 3735.50548.563ˆ+-= （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)785456.02=R 774146.02=R 56003.69=F式中Y 表示卫生医疗机构数（个），X 表示人口数量（万人）。

05 异方差性学习辅导一、本章的基本内容（一）基本内容图5.1 第五章基本内容(二)本章的教学目标本章的教学目标是：深刻理解异方差性的实质、异方差出现的原因、异方差的出现对模型的不良影响(即异方差的后果)，掌握估计和检验异方差性的基本思想和修正异方差的若干方法；能够运用所学的知识处理模型中出现的异方差问题，并要求初步掌握用EViews处理异方差的基本操作方法。

二、重点与难点分析1、对异方差性的基本认识由于2()()i i i i i Var u X Var Y X σ==，这里的方差度量的是被解释变量Y 的观测值围绕其条件期望的分散程度。

因此对于同方差假定来说,指的是Y 的观测值围绕回归线的分散程度相同，而异方差性指的是被解释变量观测值的分散程度是随着解释变量的变化而变化的。

从设定误差角度看,模型中的随机扰动项主要代表两方面的影响：（1）被模型忽略的其他变量对被解释变量的影响 ；（2）测量误差的影响。

实际上随机扰动主要代表的两方面因素都有可能随纳入模型的解释变量i X 的变化而变化，导致随机扰动的方差也随i X 的变化而变化，这种情况即称为存在异方差性。

所以进一步可以把异方差性看成随机扰动项的方差是某个解释变量的函数，22()()i i i Var u f X σσ== (1,2,)i n =L 。

2.为什么存在异方差时OLS 估计仍然是无偏估计？参数OLS 估计的无偏性仅依赖于基本假定中随机误差项的零均值假定（即0)(=i u E ），以及解释变量的非随机性。

事实上在第二章和第三章关于OLS 估计式无偏性的证明中并未涉及同方差性，所以异方差的存在并不影响参数估计式的无偏性。

3. 为什么存在异方差时OLS 估计式不再具有有效性？为了便于理解出现异方差或自相关时对OLS 估计式方差的影响，以一元回归12i i i Y X u ββ=++为例来说明。

22222212222()ˆ()i iii i i iiiiiii iii i i i i x y x Y Y x Y Y x Y xx xxx x X x x u x u x ββββ-===-==++=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2222222222ˆˆ()()[()][]i i i i i i x u x u Var E E E x x βββββ=-=+-=∑∑∑∑ 2222222()2[]()()2()()i ii i j ji jii i i j i j i jix u x u x u E x x E u x x E u u x ≠≠+=+=∑∑∑∑∑∑1）在异方差且自相关时，22(),()0i i i j E u E u u σ=≠，则有22222()2()ˆ()()iii j i j i j ix E ux x E u V x a u r β≠+=∑∑∑2）在异方差但无自相关时，22(),()0i i i j E u E u u σ==，则有222222222()ˆ()()()ii ii iix E u x Var x x σβ==∑∑∑∑3）在同方差且无自相关时，22(),()0i i j E u E u u σ==，则有2222222()ˆ()()ii iix E u Var x xσβ==∑∑∑4）在同方差但自相关时，22(),()0i i j E u E u u σ=≠，则有222222()ˆ()()i j i j i jiix x E u u Var xx σβ≠=+∑∑∑设存在异方差时的参数为*2β，估计式为*2ˆβ。

第五章-异方差性-答案第五章 异方差性一、判断题1. 在异方差的情况下，通常预测失效。

（ T ）2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。

（ F ）3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。

（F ）4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。

（F ）5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。

（ T ）二、单项选择题1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）A.一阶差分法B.广义差分法C.工具变量法D.加权最小二乘法3.White 检验方法主要用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差与有显著的形式的相关关系（满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（ B ）A. B. C. D. 7.设回归模型为，其中()2i2i x u Var σ=，则b 的最有效估计量为（ D ）i e i x i i i v x e +=28715.0i v i x 21i x i x 1ix 1i i i u bx y +=A. B. C. D. ∑=i i x y n 1b ˆ 8.容易产生异方差的数据是（ C ）A. 时间序列数据B.平均数据C.横截面数据D.年度数据9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模型时，应将模型变换为（ C ）。

异方差性作业一、问题的提出和模型的设定为了给国内生产总值的研究寻找依据，分析比较国内生产总值和居民消费水平的关系，建立国内生产总值和居民消费水平的回归模型。

假定国内生产总值和居民消费水平之间满足线性约束，则理论模型设定为Yi=β1+β2Xi+ui其中，Yi表示国内生产总值，Xi表示居民消费水平。

由《中国统计年鉴》得到1988-2021年的相关数据。

1988-2021年中国国内生产总值与居民消费水平居民消国内生产费水平总值Y/亿（X1)/年份元元 1988 15042.8 714 1989 16992.3 788 1990 18667.8833 1991 21781.3 932 1992 26923.5 1116 1993 35333.9 1393 1994 48197.9 18331995 60793.7 2355 1996 71176.6 2789 1997 78973 3002 1998 84402.3 3159 1999 89677.1 3346 2000 98000.5 3632 2001 108068.2 3869 2002 119095.7 4106 2021135174 4411 2021 159878.3 4925 2021 183217.4 5463 2021 211923.5 6138 2021 257305.6 7103 2021 300670 8183 二、参数估计进入EViews软件包，确定样本范围，编辑输入数据，选择估计方程菜单，估计一下样本回归函数。

估计样本回归函数Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/27/10 Time: 15:08Sample: 1988 2021 Included observations: 21 Variable ∧ C X R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Loglikelihood Durbin-Watson statCoefficient -22997.51 37.44105 Std. Error 4413.145 1.119365 t-Statistic -5.211139 33.44846 Prob. 0.0000 0.0000 101966.4 81193.2921.49633 21.59580 1118.800 0.000000 0.983301 Mean dependent var0.982422 S.D. dependent var 10764.71 Akaike info criterion 2.20E+09 Schwarz criterion -223.7114 F-statistic 0.130034 Prob(F-statistic) 估计结果为Yi*=-22997.51+37.44105Xi(-5.211139) (33.44846) 括号内为T统计量值 R2=0.983301，F=1118.8 三、检验模型的异方差生成残差平方（e^2）序列Last updated: 05/27/10 - 15:09 Modified: 1988 2021 // e2=(resid)^2 127857387.187195 109961782.879649 109765834.828736 97688616.985904 66207547.16643 38143361.3624126 6584198.13043462 19205945.2640684 105041477.803645 108733133.860987 118297446.13547158839119.595988 224636533.393974 190266390.82371 135483482.244349 48733766.6299123 2314527.37376778 2803809.81355403 26090125.2535279 206190536.496472 298854278.666403 e^2与x的散点图3.20E+082.80E+082.40E+082.00E+08E21.60E+081.20E+088.00E+074.00E+070.00E+000200 04000X6000800010000 由以上数据和图表可知,模型很可能存在异方差性.下面用GOLDFILED-QUANADTA检验以递增型排序obs 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2021 2021 2021 2021 2021 2021 Y 15042.8 16992.3 18667.8 21781.3 26923.5 35333.9 48197.9 60793.7 71176.6 78973 84402.3 89677.1 98000.5 108068.2 119095.7 135174 159878.3 183217.4 211923.5 257305.6 300670 X 714 788 833 932 1116 1393 1833 2355 2789 3002 3159 3346 3632 3869 4106 4411 4925 5463 6138 7103 8183 构建子样本区间建立回归模型。

南阳师范学院课时教学计划式中Y表示卫生医疗机构数（个），X表示人口数量（万人）。

●人口数量对应参数的标准误差较小；一、异方差性产生的原因 例1：考察居民家庭收入与储蓄的关系时，用i x 表示第i 个家庭的收入量，用i y 表示第i 个家庭的储蓄量，假设这种关系是线性关系，因而储蓄函数模型可以表示为：i i i u x a y ++=β在这一问题中，收入低的家庭，他们除了必要的支出之外剩余较少，解：先在同方差假定下，应用OLS 对模型进行估计：i i x y8940.01347.1ˆ+-= 96786.02=R 利用此模型可算出yˆ和e 的值，最终得出e 与x 的等级相关系数：异方差性相关理论的解释一、异方差不影响估计量的线性和无偏性，但导致有效性不能满足 （1）线性无偏 证明：()()()()YX U βββββ'='=+'=+-1-1-1X X X （满足线性）那么E()=（无偏性）''X X X X X XU2.有效性 证明：()()()()()()()()()()()()()()()()()()122222222222222222222222222222222222222==i ii i j ii ji i i i i i jjx u x x u x x xx xx f x x x f x x x f x xx xx x βββββσββσσσσβ=++⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭-=---==--∑∑∑∑∑∑∑∑i 以一元回归为例假设y 直接做普通最小二乘回归，可得的估计量为：在没有自相关和U 与X 线性无关的假定下：易知的方差为：VAR 当存在异方差时：VAR ()()()()()()()()()2222222222222222=11,jii ji i jx xx f x xx x x f x xx β---->-∑∑∑∑∑由于难以保证所以，异方差的存在就容易使得的方差被高估或低估。