两角和与差的正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角公式的关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√(教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( ) A ．32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B ．法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.(教材习题改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A ．725B ．－725C ．1625D ．－1625解析：选A ．由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(±35)2＝1－1825＝725.故选A ．(教材习题改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)的值为( )A ．210B ．－210C ．7210D ．－7210解析：选A ．因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×(－35)－22×(－45)＝210.(优质试题·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75(教材习题改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________．解析：原式＝2tan 15°(1－tan 15°)(1＋tan 15°)＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33.答案：33三角函数公式的直接应用[典例引领](1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1(2)(优质试题·高考全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________． 【解析】 (1)因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A ．(2)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 【答案】 (1)A (2)31010三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．[注意] 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．[通关练习]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．解析：因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45. 所以cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α＝－75.答案：－752．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， 所以cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝32， 所以tan α＝－ 3.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 3三角函数公式的逆用与变形应用[典例引领](1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32(2)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝( ) A ．23B ．43C ．34D ．32【解析】 (1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.(2)由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74， 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 【答案】(1)B (2)D(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[通关练习]1．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B ．22C ．12D ．－12解析：选B ．由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.角的变换[典例引领](1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A ．2525B ．255C ．2525或255D ．55或525(2)对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 【解析】 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π， cos α＞cos(α＋β)．因为45＞55＞－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)由于α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π12＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π12sin π4＝210，于是cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425.【答案】 (1)A (2)－2425利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[注意] 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． [通关练习]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3的值为( ) A ．23B ．12C ．34D ．45解析：选B ．tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C ．14D ．78解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－78.两角和、差及倍角公式的逆用和变用(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)，(3)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．1.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：选B ．原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A ． 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C ．原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C ．3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)＝( )A ．118B ．1718C ．89D ．29解析：选B ．由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos(π2－2α)2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选C ．由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得 sin α－cos α＝75，①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725，② 由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.5．已知cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( )A ．14B ．78C ．±14D ．±78解析：选C ．因为cos [π－(π3－2x )]＝cos(2x ＋2π3)＝78，所以有sin 2(x ＋π3)＝12(1－78)＝116，从而求得sin(x ＋π3)的值为±14，故选C ．6．已知cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________．－cos θsin π6＝－1213×32－⎝⎛⎭⎫－513×12＝5－12326.答案：5－123267．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________． 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－18．计算sin 250°1＋sin 10°＝________．解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：129．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

两角和差的正余弦正切公式两角和公式：正弦公式：对于任意两个角度A和Bsin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB余弦公式：对于任意两个角度A和Bcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB正切公式：对于任意两个角度A和Btan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过三角函数的性质和欧拉公式推导出来。

下面是推导过程：推导正弦公式：根据欧拉公式，我们有：e^ix = cosx + isinx假设A=x，B=y，我们有：e^i(A + B) = cos(A + B) + isin(A + B)= cosAcosB - sinAsinB + i(sinAcosB + cosAsinB)因为实部和虚部分别相等，我们可以得到正弦公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB推导余弦公式：同样根据欧拉公式，我们有：e^ix = cosx + isinx假设A=x，B=-y，我们有：e^i(A + B) = cos(A + B) + isin(A + B)= cosAcosB - sinAsinB + i(sinAcosB + cosAsinB)因为实部和虚部分别相等，我们可以得到余弦公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB推导正切公式：我们可以使用正弦公式和余弦公式来推导正切公式。

首先，我们有tanA = sinA / cosA和tanB = sinB / cosB。

将这两个式子相加，我们可以得到：tanA + tanB = (sinAcosB + cosAsinB) / (cosAcosB - sinAsinB)接下来，我们可以将分子进行因式分解：tanA + tanB = (sinA + sinB)(cosAcosB - sinAsinB) / (cosAcosB - sinAsinB)可以看到分子和分母都有cosAcosB - sinAsinB这个因子，我们可以化简公式：tanA + tanB = (sinA + sinB) / (cosAcosB - sinAsinB)这就是正切公式。

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识归纳1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.基础题必做1． 若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－37解题方法归纳1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用 典题导入[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.解题方法归纳两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2) 已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7 解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223. ∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.解题方法归纳运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角 的 变 换 典题导入[例3] (1) 若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250解题方法归纳1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.1． 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． 已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7． 满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12． 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110 C ．1或110 D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：123．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425， 又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.1． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； 解：∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。

正切公式是初等数学中的一个基本概念，它在几何问题中有着重要的应用。

本文将从两角和与差的正切公式出发，探讨其在几何中的意义，希望能给读者一个清晰的认识。

一、两角和的正切公式两角和的正切公式是初等数学中的重要公式之一。

它表示了两个角的正切之和与它们的其他三角函数之间的关系。

具体表达式如下：tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα * tanβ)这个公式在解决一些几何问题时具有重要的作用。

在三角形中，如果已知两个角的正切值，我们可以利用两角和的正切公式求出这两个角的正切值之和，从而进一步得到角的具体数值。

二、差的正切公式与两角和的正切公式类似，差的正切公式是另一个重要的公式。

它表示了两个角的正切之差与它们的其他三角函数之间的关系。

具体表达式如下：tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα * tanβ)这个公式同样可以应用在解决几何问题中。

在求解一个三角形中的角度时，如果已知两个角的正切值之差，我们就可以利用差的正切公式求出这两个角的正切值之差，从而进一步得到角的具体数值。

三、两角和与差的正切公式的几何意义两角和与差的正切公式的几何意义在于，它们可以帮助我们解决一些与角度相关的几何问题。

通过这些公式，我们可以根据已知的角度信息，推导出其他角度的数值。

这在实际问题中有着重要的应用，特别是在工程、测量、导航等领域。

在测量工程中，我们经常会遇到需要求解某个角度的情况。

通过两角和与差的正切公式，我们可以根据已知的角度信息，快速准确地计算出需要的角度数值。

这对于确保测量的准确性具有重要的意义。

在导航领域，两角和与差的正切公式同样可以发挥重要作用。

在航空、航海等领域，我们需要根据已知的航向角和风向角，计算出实际的飞行或航行角度。

借助正切公式，我们可以便捷地完成这一计算过程，确保飞行或航行的准确性和安全性。

两角和与差的正切公式在几何中具有重要的意义，它为我们解决与角度相关的实际问题提供了有力的工具和方法。

两角和差的正弦余弦正切公式两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。

它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。

这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。

1.两角和差的正弦公式sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。

为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。

2.两角和差的余弦公式cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。

可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。

3.两角和差的正切公式tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))其中A和B为任意两个角。

这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。

使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。

这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。

例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。

以下是一些常见的应用示例：1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。

例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。

根据两角和差的正弦公式，我们可以有：sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)如果我们已经知道了cos(A)和sin(B)的值，就可以计算出sin(A+B)的值。

两角和差的正弦余弦和正切公式在三角函数中，两角的和差的正弦、余弦和正切公式是很重要的定理，用于计算角度的和与差的三角函数值。

这些公式不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机图形学等领域也经常被使用。

下面将详细介绍这些公式。

1.两角和差的正弦公式：设角A和角B是两个任意角，则有以下公式成立：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin Bsin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B这些公式表明，两个角度的和或差的正弦值可以表示为这两个角度的正弦、余弦函数值的线性组合。

这个公式在计算三角函数值时非常有用，可以通过已知角度的正弦、余弦函数值计算出两个角度之和或差的正弦函数值。

2.两角和差的余弦公式：设角A和角B是两个任意角，则有以下公式成立：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin Bcos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B这些公式表明，两个角度的和或差的余弦值可以表示为这两个角度的余弦、正弦函数值的线性组合。

这个公式在计算三角函数值时也非常有用，可以通过已知角度的余弦、正弦函数值计算出两个角度之和或差的余弦函数值。

3.两角和差的正切公式：设角A和角B是两个任意角，且cos A != 0，cos B != 0，则有以下公式成立：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式表明，两个角度的和或差的正切值可以表示为这两个角度的正切值的函数。

这个公式在计算三角函数值时也非常有用，可以通过已知角度的正切函数值计算出两个角度之和或差的正切函数值。

这些两角和差的公式可以通过三角函数的定义以及三角函数的诱导公式推导得出。

这些公式在三角学中是非常重要的，广泛应用于计算角度的和与差的三角函数值。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)，β，α±β≠π2＋k π，k ∈两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈二倍角是相对的，例如，α2是α43α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φsin φ＝b a 2＋b 2，cos φ考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，αtan β＝－12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－229B ．－429C.229D.429[解析](1)因为sin α＝35，α所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α，则cos 2α()A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且αsin α________．解析：因为sin α＝45，且αα所以cos α＝－1－sin 2α＝－＝－35.因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以αsin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解析](1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin αsin α2±cos ；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知sin α＝435，则________.解析：由sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ＝435，即＝45.答案：453.化简sin sin sin 2α的结果是________．解析：sin 2α＝1－12cos ααsin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点－35，－若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析]由角α的终边过点－35，－得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos ()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos ＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若＝7210A sin A 的值为()A.35B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A A ＋π4∈∴＝－210，∴sin A ＝－π4＝cos π4－sin π4＝45.3．已知sin α＝－45，α∈3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝()A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋1，则cos 2x ＝()A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若＝－33，则cos α＝()A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝()A.3B.2C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.5．若α3cos 2α＝sin 2α的值为()A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C由3cos 2α＝3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos ()A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选Dcos ＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知＝12，α－π2，cos________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝＋π4＝tanπ41－tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2.(1)求tan(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan2θ＝________.解析：∵4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，则________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，＝－45，可得cos (A ＋B )＝－2425×＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝x ∈R.(1)求f(2)若cos θ＝45，θf θ解：(1)－π4＋＝－12.(2)θθ－π3＋θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θsin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×＝17250.。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
中学数学中学到了两角和差的正弦、余弦和正切公式，它们可以用于计算更复
杂的几何问题，帮助我们把诸多难题转化为计算可解的问题。

两角和公式是当两个角的角度之和等于180度时的三角公式：
sin（α + β）= sinαcosβ + cosαsinβ
cos（α + β）= cosαcosβ - sinαsinβ
tan（α + β）= (tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)
差公式是当两个角的角度之差等于180度时的三角公式：
sin（α - β）= sinαcosβ - cosαsinβ
cos（α - β）= cosαcosβ + sinαsinβ
tan（α - β）= (tanα - tanβ)/(1 + tanα tanβ)
借助上述公式，我们就可以计算任意两个任意角的正弦、余弦和正切之和和差，而不必将其转化为已知的几何图形进行操作。

这样可以很大程度提高几何问题的解答速度，给我们的学习带来更多的便利。

由于上述的三角公式具有一定的解析性，所以我们可以利用它们来计算几何图
形的取值，简化解决几何问题的步骤。

掌握它们，就可以很好地提高我们数学概念的深化和解决真实世界应用问题的能力。

总之，两角和差的正弦、余弦和正切公式是在多数几何问题中必不可少的，只
要我们掌握它们，就可以利用它们快速解决困难的几何问题。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtanβ)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ ) (5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝3.( √ )1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案 －105解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105. 4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( )A.33 B ．－33C.539D ．－69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A.(2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)．∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4， ∴sin(π4＋α)＝223.又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( ) A.35 B.45 C ．－35D ．－45(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A.2B.22C.12D.32(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x )＝________.(3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝________.答案 (1)B (2)12cos 2x (3)3解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B.(2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin(π4－x )cos(π4－x )·cos 2(π4－x )＝(2cos 2x －1)24sin(π4－x )cos(π4－x )＝cos 22x2sin(π2－2x )＝cos 22x2cos 2x ＝12cos 2x . (3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝________.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案 (1)cos α (2)3解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0， 所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cosα2＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sinα2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tanA ＋C2＝3，所以tan A 2＋tan C2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3.题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.16B.13C.12D.23 答案 (1)－101095010 (2)A解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.2525B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453，3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin(θ＋π4)＝________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( )A ．－53B ．－59 C.59 D.53(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系．(3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化． 解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )，∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )，∴2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.(4)原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16 答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，,.所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan(α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( )A ．43B.654 C ．4 D.233答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α，,.∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654.4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( ) A.2 B.2＋32C.3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin(50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝3.5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.6．sin 250°1＋sin 10°＝________.答案 12解析sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8.3tan 12°－3(4cos212°－2)sin 12°＝________. 答案－4 3解析原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎪⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin(－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.9．已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．解因为1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α|＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)等于( )A ．－255 B ．－3510 C ．－31010 D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.12．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33 C. 2 D.3答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝3.13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________.答案7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4)＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.(1)解 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0. 15．已知f (x )＝(1＋1tan x)sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)． (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4· cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4.所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2＋12.。