2019-2020学年高中数学 3.2《两角和与差的正切函数》教案设计 北师大版必修4.doc

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六、教学过程1．导入新课(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.2．推进新课提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=? tan（α+β）=？⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+k过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-β)=来处理等.应用示例例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C.D.4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。

两角和与差的正切》教案
教学环节：复公式
在这个环节，教师先让学生默写两角和与差的正弦、余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角 $\alpha\pm\beta$ 与单
角 $\alpha$、$\beta$ 的正弦、余弦函数的关系，且此关系对任意角 $\alpha$、$\beta$ 均成立。

教师设计意图是以旧引新，注意创设问题的情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动。

教学环节：引入并由此提出问题，引入新课
在这个环节，教师通过对三个问题的分析讨论，使学生对（投影）$\tan(\alpha\pm\beta)$ 的推导及两角和与差的正切公
式的“三掌握”（公式是如何推导出来的？有什么限制？公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活运用打下基础，并给学生一个自由的空间，逐步培养他们的自学能力）。

教学环节：公式的推导与理解
在这个环节，学生阅读课本中“两角和与差的正切”公式的推导，教师板书课题和公式的推导过程。

通过对三个问题的分析讨论，使学生对（投影）$\tan(\alpha\pm\beta)$ 的推导及两角和与差的正切公式的“三掌握”。

教学环节：公式的成立条件
在这个环节，教师指出由正切函数的定义域可知，公式成立的条件是 $\alpha$、$\beta$、$\alpha\pm\beta$ 都不能取
$k\pi+\frac{\pi}{2}$（$k\in Z$）。

3.1.3 两角和与差的正切（1）一、课题：两角和与差的正切（1）二、三维目标：知识与技能：两角和与差的正切公式及推导；过程与方法：掌握两角和与差的正切公式推导过程及公式特点； 情感态度与价值观：1．培养并提高学生的观察推理能力。

2.使学生认识事物间是有联系的。

三、教学重点、难点：()T αβ±公式的推导及运用。

四、教学过程：（一）复习：()(),S C αβαβ±±公式。

（二）新课讲解：1．两角和的正切sin cos cos sin tan()cos cos sin sin αβαβαβαβαβ++=- tan tan 1tan tan αβαβ+=- 即：tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- （()T αβ+） 2．两角差的正切tan()αβ-tan tan()1tan tan()αβαβ+-=--tan tan 1tan tan αβαβ-=+ 即：tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ （()T αβ-） 说明：①()T αβ±公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+．3．例题分析：例1：求值：（1）11tan 12π；（2）tan 285． 解（1）11tan 12πtan tan()1246πππ=-=--12==-（2）tan 285tan45tan3021tan45tan30+=-=--例2：求1tan151tan15+-值。

解：1tan151tan15+-=tan45tan151tan15+-tan(4515)tan603=+==．例3：求tan70tan503tan70tan50+-值。

解：原式tan(7050)(1tan70tan50)=+-tan50tan70tan50)=-tan50=例4：已知一元二次方程20ax bx c++=(0,)a a c≠≠的两个根为tan,tanαβ，求tan()αβ+的值。

要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学重点：能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学过程一、两角和与差的正切公式1tan(α+β)公式的推导∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时, 分子分母同时除以cos αcos β得：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 以-β代β得：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 其中βαβαβα+∈∈,,,,R R 都不等于Z k k ∈+,2ππ2．注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式2︒注意公式的结构，尤其是符号3．引导学生自行推导出cot(α±β)的公式—用cot α，cot β表示cot(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin sin cos cos )sin()cos(+-=++ 当sin αsin β≠0时,cot(α+β)=αββαcot cot 1cot cot +- 同理，得： cot(α-β)=αββαcot cot 1cot cot -+ 二、例子：例1求tan15︒，tan75︒及cot15︒的值例2已知tan α=31，tan β=-2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0︒<α<90︒, 90︒<β<180︒。

数学必修四北师大版 3.2 两角和与差的三角函数教案1.知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与差角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习兴趣,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和善于运用数形结合等数学思想方法的能力.探索两角差的余弦公式,理解其推导过程,并会用两角差的公式进行化简、求值等.两角差的余弦公式的探索与证明教学方法启发式，讲练结合式教具准备多媒体课件教学过程主要教学内容及步骤设计思路创设情境我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们猜想:能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的！那么究竟是个什么关系呢?cos(α-β)=?这时学生急于想知道这究竟是怎么回事,由此展开新课:我们是利用熟悉的单位圆呢？还是利用刚刚学过的重要工具——向量呢？让学生利用单位圆及向量的数量积的知识,并结合课件直接进行差角的余弦公式探究的学习.提出问题①让学生猜想cos(α-β)=?你认为cos(α-β)=cosα-cosβ对吗？举例验证.②回忆前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？③回忆向量的数量积的知识及向量方法的作用,结合单位圆能找到两个单位向量其夹角是α-β吗？④得到cos(α-β)公式后,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围是任意的吗？⑤类比前面学过的诱导公式及同角的基本关系式的应用,如何正用、逆用、灵活运用两角差的余弦公式进行求值、化简与证明呢？让学生充分发挥想象能力,自主探究.思路一:提出问题后,教师大胆放开,不要以担心学生找不到方向或花费过多时间为由而包揽一切,要学生很容易想讲授新知到cos(α-β)=cosα-cosβ？的问题,也会马上由特殊角来验证它的正确性,如:α=60°、β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=231 ,这一反例足以说明了c os(α-β)≠cosα-cosβ(当然它也不是对任意角α、β都不成立的),从而进一步明确了“恒等”的意义,统一对探索目标的认识,也为后面以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备.既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,即α-β这个角的余弦问题,学生会迁移前面学过的知识与方法,很自然地联想到利用单位圆上的三角函数线来探究(如图1).设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠PO x=α-β,过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角通过讲结合练，启发引导，让学生学习总结。

陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》2两角和与差的的正切函数导学案 北师大版必修4【学习目标】1．能按照两角和与差的正弦、余弦公式得出两角和与差的正切公式，提升转化能力与分析问题的能力．2．能熟练应用公式解决简单的三角函数式的化简、求值问题. 【重点难点】重点：两角和与差的正切公式的推导及应用． 难点：公式的变形及“1”的灵活利用．【利用说明】认真阅读讲义P118～120，尝试利用两角和与差的正弦及余弦公式推导两角和与差的正切公式，并注意公式成立的条件，勾画出有疑惑的地方与同窗交流探讨，最后结合讲义基础知识和例题，完成导学案．【自主学习】1．知识链接（1）在同角三角函数大体关系中，tan _______,α=其中角α的范围是 ．（2）两角和与差的正弦、余弦公式（其中α，β为任意角）：①=+)cos(βα_________________； ②=-)cos(βα__________________； ③=+)sin(βα ； ④=-)sin(βα___________________；2．公式推导 当cos()0αβαβαβ+++≠时，将S 与C 两边分别相除，就有sin cos cos sin ().()a βαβαβ++===tan (T αβ+) 在上式中,以-β替换β,就取得 (-)αβ=tan .(T αβ-) 其中,αβ应该知足条件：___________________________________________.3．公式变形：【合作探讨】1．已知.2,20,2tan ,31tan πβππαβα<<<<-== （1）求tan()αβ-； （2）求βα+的值．2．求下列各式的值：（1） 75tan 175tan 1+-； （2）︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .3．已知tan()2,tan()3,αβαβ+=--=-求tan 2,tan 2.αβ的值【课堂检测】1．求值：（1）17tan 43tan 117tan 43tan -+ ； （2）.50tan 10tan 3)50tan 10(tan ⋅++2．已知1tan()2,tan .42παβ+== （1）求tan α的值； （2）求sin()2sin cos .2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值【课后训练】。

用心用情 服务教育两角和与差的正切函数》教材通过类比正、余弦函数的定义的推导得出正切函数的定义，锻炼学生类比推理的的能力。

【知识与能力目标】理解并掌握正切函数的定义。

【过程与方法目标】类比正、余弦函数的定义得出正切函数的定义。

【情感态度价值观目标】通过正切函数定义的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。

【教学重点】理解并掌握正切函数的定义。

【教学难点】理解并掌握正切函数的定义。

用心用情 服务教育电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知。

和角与差角正切公式的应用和角与差角正切变形公式的应用二、 例题解析。

例题1、不查表求值1tan105（）2tan 75（）3tan15（）1221tan ,tan(),tan(2).25ααβαβ=-=--例题、（）已知求 ()44tan ,tan(),tan 2.55αβαβα+=-=-（2）已知求 ()21tan ,tan(),tan().5444ππαββα+=-=+（3）已知求()2αβααβ-=+-解：（1）()tan(2)tan ()αβααβ∴-=+-tantan()1tan tan()ααβααβ+-=-⋅- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+⋅-⋅()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-⋅+⋅1tan105（）tan(6045)=+tan 60tan 451tan 60tan 45+=-⋅=2=-2tan 75（）tan(4530)2=+=3tan15（）tan(4530)2=-=。

两角和与差的正弦、余弦函数一.教学目标1.知识与技能：（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2.过程与方法：通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二.教学重、难点 ：重点: 公式的应用.难点: 两角差的余弦公式的推导.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学过程（一）、复习：1、写出两角和与差的余弦公式，说说它是如何推导的。

2、写出两角和与差的正弦公式，说说它是如何推导的。

3、说说公式结构的特征。

（二）、例题解析：例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==；（2）()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；例2、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，，于是有 43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例3、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β==- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.例4x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：=，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和2的. （三）、小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（四）作业：习题3-2 A组第2,3题．五、课后反思：。

《两角和与差的正切函数》教学设计教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来，单独作为一节，这对学生的自主探究学习提供了平台．因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，对其应用学生有了一定的理解，同时对于三角函数变形中，角的变换也有了一定的掌握，因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移，更多地让学生自主学习，独立地推导两角和与差的正切公式，为学生提供进一步实践的机会．也可以说本节并不是什么新的内容，而是对前面所学知识的整合而已．在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神．对于公式成立的条件，可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决．在学习两角和与差的正切公式中，有许多优美的三角恒等式，包括倍角公式，半角公式等．它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形之美．本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容，教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结，从分析公式的推导过程入手，探究问题解决的来龙去脉，揭示它们的逻辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路．1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式，能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．2．通过两角和与差的正切公式的推导及运用，让学生从中体会转化与化归的思想方法，培养学生用联系变化的观点观察问题，通过学生的互相交流增强学生的合作能力，加强学生对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．教学重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用．导入新课思路1．（问题导入）通过前面的学习，你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求．教师进一步提出：能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课，探究两角和与差的正切公式．思路2．（直接导入）在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后，能否探究出tan （α±β）与tan α、tan β间的关系？是否与sin （α±β）公式相似?如何推导呢?由此展开新课，揭示课题．新知探究提出问题①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值，那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？②利用所学两角和与差的公式，对比分析公式C α-β、C α+β、S α-β、S α+β，能否推导出tan （α-β）=?tan （α+β）=?③分析观察公式T α-β、T α+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？④前面两角和与差的正\，余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？活动：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β，可以完全让学生自己进行探究tan （α-β），tan （α+β）究竟如何，教师只是适时地点拨就行了．通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以cos αcos β即可得到，在这一过程中学生很可能想不到讨论cos αcos β等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对cos αcos β讨论如下：当cos （α+β）≠0时，tan （α+β）=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++． 若cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+． 根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan （α-β）=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+． 由此推得两角和与差的正切公式，简记为“T α-β、T α+β”．tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+；（T α+β）tan （α-β）=βαβαtan tan 1tan tan +-．（T α-β） 我们把公式T α+β，T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过程可以知道α、β\，α±β有一定的取值范围，即α≠2π+kπ（k ∈Z ），β≠2π+kπ（k ∈Z ），α±β≠2π+kπ（k ∈Z ），这样才能保证tan （α±β）与tan α，tan β都有意义．教师应留出一定的时间让学生回味\，反思探究过程，点明推导过程的关键是：tan （α+β）→sin （α+β），cos （α+β）→sin α、sin β、cos α、cos β→tan α、tan β．我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面：①公式成立的条件是什么?（提示学生从公式的形式和推导过程看）tan α、tan β、tan （α±β）都有意义，且1±tan αtan β≠0；②注意公式的形式：公式右边分子是单角α、β正切的和与差，分母是1减（或加）单角α、β正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同，公式右边分母的符号与分子的符号相反；③公式的作用：将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式，用于角的变换．（基本关系式用于三角函数的变形）可用于三角函数的计算、化简、证明．至此，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，统一叫作三角函数的和差公式．一般地，我们把公式S α+β，C α+β，T α+β都叫作和角公式，而把公式S α-β，C α-β，T α-β都叫作差角公式．要让学生明晰这六个公式的推导过程，清晰逻辑关系主线．可让学生自己画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tan α+tan β=tan （α+β）（1-tan αtan β），tan α-tan β=tan （α-β）（1+tan αtan β），在化简求值中就经常用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力．对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T α±β处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan （2π-β），因为tan 2π的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式tan （2π-β）=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理．讨论结果：①—④略．应用示例例1 已知tan α=2，tan β=-31，其中0＜α＜2π，2π＜β＜π． （1）求tan （α-β）；（2）求α+β的值．活动：本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决．对于（2）教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯：由三角函数值求角必先找出所求角的范围．解：（1）因为已知tan α=2，tan β=-31， 所以tan （α-β）=321312tan tan 1tan tan -+=•+-βαβα=7． （2）因为tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan •-+=321312+-=1， 又因为0＜α＜2π，2π＜β＜π，所以2π＜α+β＜43π． 在2π与43π之间，只有45π的正切值等于1，所以α+β=45π． 例2 计算οο15tan 115tan 1+-的值． 活动：教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用，难度不大，可由学生自己完成．对部分思路受阻的学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现与T α-β右边形式相近，但需要进行一定的变形，又因tan45°=1，原式化为οοοο15tan 45tan 115tan 45tan +-，再逆用公式T α-β即可解得． 解：因为tan45°=1， 所以οο15tan 115tan 1+-=οοοο15tan 45tan 115tan 45tan +-=tan （45°-15°）=tan30°=33． 点评：本例体现了对公式全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识．变式训练1．不查表求tan105°的值．解：tan105°=tan （60°+45°） =32311345tan 60tan 145tan 60tan --=-+=-+οοοο． 2．不查表，计算：（1）tan22°+tan23°+tan22°tan23°；（2）tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°tan30°．解：（1）原式=tan （22°+23°）·（1-tan22°tan23°）+tan22°tan23°=tan45°·（1-tan22°tan23°）+tan22°tan23°=1．（2）原式=tan17°tan43°+tan30°（tan17°+tan43°）=tan17°tan43°+tan30°tan （17°+43°）（1-tan17°tan43°）=tan17°tan43°+tan30°tan60°（1-tan17°tan43°）=1．例3 若tan （α+β）=52，tan （β-4π）=41，求tan （α+4π）的值． 活动：本例是教材和与差角公式的最后一个例题，需要用到拆角技巧，对此学生是熟悉的．教学时可让学生自己探究解决，但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系，通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动，以实现解题的突破．解：因为α+4π=（α+β）-（β-4π）， 所以tan （α+4π）=tan ［（α+β）-（β-4π）］ =223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=⨯+-=-++--+πββαπββα． 点评：本题是典型的变角问题，就是把所求角利用已知角来表示，具有一定的技巧，这就需要教师巧妙地引导，让学生亲自动手进行角的变换，使之明白此类变角的技巧，从而培养学生灵活运用公式的能力．变式训练已知sin α=32，α∈（2π，π），cos β=-43，β∈（π，23π）． 求tan （α+β）．解：由cos β=-43，β∈（π，23π），sin α=32，α∈（2π，π）， ∴sin β=-β2cos 1-=-2)43(1--=-47， cos α=-35)32(1sin 122-=--=-a ∴tan β=37，tan α=-552． ∴tan （α+β）=1772753235215755637)552(137552tan tan 1tan tan +-=++-=⨯--+-=-+βαβα． 4．（1）已知α+β=45°，求（1+tan α）（1+tan β）的值．（2）已知sin （α+β）=21，sin （α-β）=31，求βαtan tan ． 活动：对于问题（1），教师可与学生一起观察分析已知条件．通过分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan α，tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路．在问题（2）中，我们欲求βαtan tan ，若利用已知条件直接求tan α，tan β的值有一定的困难，但细心观察公式S α+β、S α-β发现，它们都含有sin αcos β和cos αsin β，而βαtan tan 化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路．教学中尽可能地让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答．解：（1）∵α+β=45°，∴tan （α+β）=tan45°=1．又∵tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan --， ∴tan α+tan β=tan （α+β）（1-tan αtan β），即tan α+tan β=1-tan αtan β．∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+（1-tan αtan β）+tan αtan β=2．（2）∵sin （α+β）=21，sin （α-β）=31， ∴sin αcos β+cos αsin β=21．① sin αcos β-cos αsin β=31．② ①+②，得sin αcos β=125， ①-②，得cos αsin β=121， ∴121125sin cos cos sin tan tan ==βαβαβα=5． 点评：本题都是公式的变形应用，像（1）中当出现α+β为特殊角时，就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tan α+tan β=tan （α+β）（1-tan αtan β），这个变形式子对我们解题很有用处．而（2）中化切为弦的求法更是巧妙，解完后留出一定的时间让学生认真总结反思，熟练掌握其变化的思想方法．变式训练1．求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）（1+tan45°）的值．解：原式=［（1+tan1°）（1+tan44°）］［（1+tan2°）（1+tan43°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］（1+tan45°）=2×2×2×…×2=223．2．计算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°．解：原式=tan45°（1-tan15°tan30°）+tan15°tan30°=1．课堂小结本节课主要学习的是：推导了两角和与差的正切公式；研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用；学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对“转化”数学思想方法的理解，掌握探究公式的方法，学会应用公式的三种基本方式；通过例题我们对公式不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式．作业1．已知一元二次方程ax 2+bx +c =0（ac ≠0）的两个根为tan α，tan β，求tan （α+β）的值． 解：由韦达定理，得tan α+tan β=-a b ，tan αtan β=ac ，∴tan （α+β）=a c b c a b a c a ba a -=--=--=-+1tan tan 1tan tan ββ．1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续，也注意了复习巩固两角和差公式．设计意图在于深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．2．对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角．在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思考、探究解法，然后教师再进行必要的点评．重在理清思路，纠正错误，点拨解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型．总之，本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体．。

3. 2.3两角和与差的正切函数[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一两角和与差的正切公式(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝______________________.(3.7)(2)Tα－β：tan(α－β)＝______________________.(3.8)思考1你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？思考2在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)Tα＋β的变形：tan α＋tan β＝______________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________________.tan αtan β＝________________________.(2)Tα－β的变形：tan α－tan β＝____________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝____________________________.这些变式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.思考1 直接写出下列式子的结果：(1)tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝________； (2)tan 75°＝________；(3)1－tan 15°1＋tan 15°＝________. 思考2 求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.题型一 化简求值例1 求下列各式的值.(1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.反思与感悟 公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个.跟踪训练1 求下列各式的值.(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.题型二 给值求值(角)例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.反思与感悟 此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.跟踪训练2 已知sin α＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( ) A.－ 3 B. 3 C.－33 D.33题型三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状.反思与感悟 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系.跟踪训练3 已知A.B.C 为锐角三角形ABC 的内角.求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tanC .例4 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.错解 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6， ①tan αtan β＝7， ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，∴α＋β＝π4或α＋β＝54π. 错因分析 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.正解 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6tan αtan β＝7易知 tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π. 点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.1.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A.13 B.－13C.3D.－3 2.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定3.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____. 4.已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________.5.已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π3)＝22，求： (1)tan(α＋β－π4)； (2)tan(α＋β).1.公式T α±β的结构特征和符号规律(1)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α或tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T α±β应用时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ). (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等. 特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α. (3)公式的变形用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan α·tan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.答案精析知识梳理知识点一(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β思考1 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β.当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得 tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考2 在公式T α＋β，T α－β中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )． 知识点二(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β) (2)tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1思考1 (1)1 (2)2＋3 (3)33思考2 解 ∵tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)，∴原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.题型探究例1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3； (2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1， ∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1. 跟踪训练1 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4. 跟踪训练2 C [∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33.tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝－3＋331＋(－3)·(－33)＝－33.] 例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－33， ∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6， ∴C ＝π6， ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3， ∴△ABC 为等腰钝角三角形．跟踪训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 当堂检测1．A 2.B3.π44.175．解 (1)∵(π12＋α)＋(β－π3)＝α＋β－π4， ∴tan(α＋β－π4)＝tan[(π12＋α)＋(β－π3)] ＝tan (π12＋α)＋tan (β－π3)1－tan (π12＋α)tan (β－π3)＝2＋221－2×22＝321－4＝－ 2.(2)∵α＋β＝(α＋β－π4)＋π4，∴tan(α＋β)＝tan (α＋β－π4)＋tan π41－tan (α＋β－π4)tan π4＝－2＋11＋2＝－(2－1)2＝22－3.。

两角和与差的正弦、正切公式（一）
学习目标
1、利用余弦公式推出两角和、差正弦、余弦和正切公式
2、记住，并会用两角和、差正弦、余弦和正切公式
学习重点难点
重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用
知识链接
1、诱导公式
cos()_________α-= sin()_________α-=
sin()cos_________αβ+= sin()cos_________αβ-=
tan()_________αβ+= tan()_________αβ-=
2、cos()αβ-=__________________________________________________
探索：
cos()αβ-=
sin()αβ+=
sin()αβ-=
tan()αβ+=
tan()αβ-=
拓展提升与巩固练习
1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.
2、已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、sin 72cos 42cos72sin 42- （2）、cos 20cos70sin 20sin 70- （3）、1tan151tan15
+-．
知识归纳总结
当堂检测P131练习。

§2.2两角和与差的三角函数（第二课时）一、教学目标：1．知识与技能（1）能够推导两角和与差的正切公式，并理解记忆公式．（2）能够灵活利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．2．过程与方法在研究复角正切函数与单角正切函数的关系的过程中，引导学生通过观察比对、联系旧知、自主推证，经历问题的分析与解决过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3．情感态度与价值观培养学生细心观察、认真思考、严谨论证的良好思维品质。

二、教材分析：本章已学习三角函数的基本关系，两角和与差的余弦、正弦公式。

本节课中，这是推导两角和与差的正切公式必备的基础知识。

两角和与差的三角函数第一课时中，利用诱导公式将正弦转化为余弦，由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦公式。

所应用的转化与化归的数学解题思想为本节课提供分析解决问题的方法。

本节课的学习过程既是培养学生联系所学知识分析问题解决问题的能力，也是对所学知识与方法的巩固应用。

本节课的学习，使学生对两角和与差的三角函数公式有完整的认识，初步具备灵活应用所学知识分析与解决三角函数的相关问题的能力，进一步掌握分析相关问题的方法。

同时，为二倍角公式的学习奠定基础。

三、教学重难点：教学重点是两角和与差的正切公式的推导及公式的形式特点；教学难点是灵活应用正切公式及其变形分析解决问题．四、教学方法与手段以问题导引学生自主探究归纳新知识．例题教学中体现学生思考分析、动手操作的自主学习方式，教师引导学生小组合作讨论、集体交流讨论，形成结论与方法．五、教学过程：【复习提问】上节课我们学习了两角和与差的余弦与正弦公式，请按照它们之间的逻辑推导顺序分别叙述它们的推导过程及公式.师生活动：教师提问，引导学生即回顾公式巩固记忆，又对研究公式的方法进行复习归纳.设计意图：准确掌握上节课所学公式是本节课推导正切公式的重点，上节课公式的推导方法也是研究本节课的重要方法，通过复习回顾，为本节课提供解决问题必要的知识与方法工具.【问题引入】上节课我们学习了两角和与差的余弦与正弦公式，了解到βα+，βα-的余弦值、正弦值，可以用α与β的正余弦值表示．那么，βα+，βα-的正切值是否有类似的公式？师生活动：教师提出问题，指导学生自主思考、实践操作.设计意图：渗透类比的思想方法，培养学生发现问题的意识与能力。

2.3两角和与差的正切函数学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式T (α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．2.通过T (α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养．两角和与差的正切公式 名称 简记符号公式使用条件两角和的正切 T (α＋β)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z ) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切T (α－β) tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z ) 且tan α·tan β≠－1tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(2)公式的特例 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？[提示] tan (α＋β)＝sin （α＋β）cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到．1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan (α－β)＝( ) A ．13 B ．12 C ．－13 D ．－3 A [因为tan α＝3，tan β＝43， 所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]2．设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，则α－β等于( )A ．π3 B ．π4 C ．3π4D ．－π4D [tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1. ∵－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝－π4.] 3.1＋tan 15°1－tan 15°的值为( )A ．2B ．－ 2C ． 3D ．－3C [原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.]4.tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝________．3[tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝tan (82°－22°)＝tan 60°＝ 3.]化简求值【例1】求下列各式的值：(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.[解](1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan (60°＋15°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°，∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．1．(1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. [解] (1)∵tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1 ＝2－3－12－3＋1＝1－33（3－1）＝－33.(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.给值求值(或求角)【例2】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2 2.求：①tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；②tan (α＋β).(2)设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0＜|α|＜π2，0＜|β|＜π2，求α＋β的值．[解] (1)①tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.②tan (α＋β)＝tan⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4tanπ4＝－2＋11－（－2）×1＝22－3.(2)由已知，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α＜0，tan β＜0，所以－π2＜α＜0，－π2＜β＜0，所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝－23π.1．“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．2．已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．2．已知tan α＝13，tan β＝－2，且0＜α＜π2＜β＜π，求：(1)tan (α－β)的值；(2)角α＋β的值．[解](1)因为tan α＝13，tan β＝－2，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0＜α＜π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，所以α＋β＝3π4.正切公式的综合应用[探究问题]1．若α＋β＝π，则tan α与tan β存在怎样关系？[提示]tan α＝tan (π－β)＝－tan β.2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C与tan A tan B tan C有何关系？[提示]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan (A＋B)＝－tan C，∴tan A＋tan B1－tan A tan B＝－tan C，∴tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.3．在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？[提示]A＋B＋C＝π或A2＋B2＝π2－C2.【例3】在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．[思路探究]可先求出tan (B＋C)和tan (A＋B)的值．再由诱导公式分别求tan A 和tan C的值，从而可得A，B，C，即可判断三角形形状．[解]tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－3，又0°<A<180°，∴A＝120°，而tan C＝tan [π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33.又0°<C<180°，∴C＝30°，∴B＝30°. ∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．将例3中的条件变为“△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝233”，试求tanA·tan B的值．[解]因为A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，所以tan (A＋B)＝tan 60°＝ 3.又tan (A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B，所以2331－tan A·tan B＝3，解得tan A·tan B＝1 3.1．等式中同时出现tan A±tan B与tan A·tan B时，一般是构造tan (A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．2．在三角形中要注意应用A＋B＋C＝π这一隐含条件．1．公式T(α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k ∈Z ).2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan αtan β，tan (α＋β)，tan α＋tan β三者知二，即可表示或求出第三个．( ) (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3能用公式tan (α＋β)展开．( ) (3)存在α，β∈R ，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立． ( ) (4)公式T (α±β)对任意α，β都成立． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定B [(1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan (A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.]3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________． π4 [∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan (A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A tan B＝13＋121－13×12＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4.]4．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值．[解]∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°＝－tan 60°tan 18°tan 42°，∴原式＝－1.。