05 第五节 第二类曲面积分

第五节 第二类曲面积分
分布图示
★ 有向曲面的概念
★ 引例 流向曲面制定侧的流量 ★ 第二类曲面积分的概念 ★ 第二类曲面积的计算
★ 例1
★ 例2
★ 例3
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题11-5 ★ 返回
内容要点
一、有向曲面：双侧曲面 单侧曲面
在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②中，故事情节围绕一列从波士顿地铁
系统中神秘消逝的第86号列车而展开. 这个地铁系统前一天才举行通车仪式, 但是现在第86号却消失了, 什么痕迹也没有留下.事实上, 很多人都报告说他们听到了列车在它们的正上方或正下方飞驰的声音, 但是谁也没有真正地看到过它. 当确定这列火车为止的所有努力都失败之后, 哈佛的数学家罗杰.图佩罗给交通中心打电话, 并且提出了一个惊人的理论:这个地铁系统非常复杂, 以至于它可能变成了一个单面典面(麦比乌斯带)的一部分, 而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.
二、第二类曲面积分的概念与性质
定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量
,cos cos cos k j i n
γβα++=
又设
k
z y x R j z y x Q i z y x P z y x A
),,(),,(),,(),,(++=
其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数
γβαc o s c o s c o s R Q P n v ++=⋅
则∑上的第一类曲面积分
⎰⎰∑
⋅dS n v
.)cos cos cos (⎰⎰∑
++=
dS R Q P γβα
(5.5)
称为函数),,(z y x A
在有向曲面∑上的第二类曲面积分.
三、第二类曲面积分的计算法
设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.
⎰⎰⎰⎰±=∑
yz
D dxdy
y x z y x R dxdy
z y x R )],(,,[),,(. (5.9)
上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.
例题选讲
第二类曲面积分的计算法
例1 (E01) 计算曲面积分,2
2
2
⎰⎰∑
++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体
}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.
解 如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑
+
=
3
4
2
2
2
dydz x
dydz x
dydz x
.0
2
2
2
bc a dydz dydz a
yz
yz
D D ⎰⎰⎰⎰=-
=
类似地可得,
22ac b dzdx y ⎰⎰∑
=.2
2
ab c dxdy z
=⎰⎰∑
于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++
例2 (E02) 计算,⎰⎰∑
xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分.
解 把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑∑+
=
1
2
xyzdxdy
xyzdxdy
xyzdxdy
dxdy
y x xy dxdy y x xy xy
xy
D D )1(12
22
2----
--=
⎰⎰
⎰⎰
dxdy
y x xy
xy
D ⎰⎰--=2
212
利用极坐标
.15
21sin 2
2
2=
-=⎰⎰
θθrdrd r r xy
D
例3 (E03) 计算,)(2
⎰⎰∑
-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(2
2y x z +=介于平
面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.
解 .cos cos )
(dS cos )()(2
2
2
dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰∑
∑
∑
+=
+=
+γ
αα
在曲面∑上，有
.1
1
c o s c o s x x z x -=-=
-=
γ
α
⎰⎰⎰⎰
∑
--+=
-+∑
dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(2
2
dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+
+-=)(21)()(41222
2
.821cos )(2120
2
22
2222πθθ
π
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡++=⎰
⎰
⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D
课堂练习
1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑
dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关
系?
2.计算曲面积分,⎰⎰∑
++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1
=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.。