当前位置：文档之家 › 算法案例(二)秦九韶算法

算法案例(二)秦九韶算法

  • 格式：ppt
  • 大小：253.50 KB
  • 文档页数：15

下载文档原格式

  / 15

合集下载

1.3算法案例-秦九韶算法教学设计

1.3算法案例-秦九韶算法教学设计

1.3算法案例(二)__秦九韶算法一、内容及其解析本节的教学内容是算法案例中的秦九韶算法，它是求一元多项式的值的一种方法.在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数式.因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题.二、教学目标及其解析目标定位知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.情感态度与价值观目标:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.目标解析1 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法.三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生不能对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解，所以教师要强调当多项式的次数增大时，此种方法的先进性就体现出来了，所以教师要找到规律，让学生体会此种解法的先进性.四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中准备使用多媒体辅助教学.五、教学过程设计问题一 什么事了解秦九韶算法？小问题1 怎样求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值呢？(设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)结论：第一种一共用了10次乘法运算，5次加法运算.而第二种一共用了5次乘法运算，5次加法运算.小问题2 用秦九韶算法求n 次多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--当0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算，多少次加法运算？小问题 3 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的求值问题？要求多项式的值，我们可以把它改写成：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++.首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+.例题1 （课本第38页例2）(设计意图：从实例到一般，先总结实例进而引申到一般) 变式巩固 用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当x=2时的函数值.小问题4 你是怎么理解秦九韶算法的？结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值.课堂小结(提问方式)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计上述的整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩. 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.【程序框图】：六 目标检测1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在2=x 的值，写出详细步骤.七 配餐作业A 组②秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x-8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6，当x=-4时的值时，υ3的值为（ ）A ．-845B ．220C ．-57D ．34③用秦九韶算法，求当x=2时，f(x)=x 5-5x 4+x 3-1的函数值.B 组1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（ ）A 、秦九韶算法与直接计算相比较，大大减少了乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单.B 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度.C 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度.D 、秦九韶算法避免对自变量x 单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度.2.用秦九韶算法和直接算法求当0x x =时()654323126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+的值,做的乘法次数分别为( )A.6,20B.7,20C.7,21D.6,21C 组求15.033.016.041.083.0)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值.八、教学反思1、学生还是不会分析运算次数的问题，应该给学生详细讲解.2、学生在多项式 11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++按照秦九韶算法写成标准形式是容易出错，且速度很慢，应教会学生快速的写法及检验方法.3、应多给学生介绍一些有关秦九韶算法的背景知识，这样更能吸引学生的注意力和学习兴趣，另外介绍历史名人的大致成就，扩大学生的文化视野.。

1.3.2算法案例2

1.3.2算法案例2

要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式 的值，即 v 1 a n x an 1 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v 2 v1 x an 2 v 3 v 2 x an 3
最后的一 项是什么？

vn vn1 x a0
这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法.
所以，当x = 5时，0、a1、a2、a3、a4、a5 输入x0 n=0 v=a5 v= v· 0+a5-n x
n=n+1
n < 5? 否 输出v 结束
秦九韶算法检验
是
练习、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
(an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0
这是怎样的 一种改写方 式？最后的 结果是什么？
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第
四步；否则，转第六步
第四步：输入i次项的系数ai 第五步：v=vx+ai, i=i-1 第六步：输出多项式的值v。
程序框图：
开始
v1 5 5 2 27 v2 27 5 3.5 138.5 v 3 138.5 5 2.6 689.9 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v5 3451.2 5 0.8 17255.2

算法案例—(2)秦九韶算法

算法案例—(2)秦九韶算法

=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
当x=5时,多项式 的值是多少？
所以,当x=5时,多
这种求多项式值的方法就项叫式秦的九值韶是算26法77..
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的
值，即 v0 a n
v1anxan1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2v一 项是什么？
：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个
一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
种算法中用了几次乘法运算？和几次加法运算？
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
问题2：能否探索一个算法,来解决任意多项式的 f(求x)值=2问x5题-5?x4-4x3+3x2-6x+7v0=2
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
特点：通过一次式的反复计算，逐步得出
高次多项式 f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
解法二:列表

高中数学必修3公开课课件 1.3.2算法案例--秦九韶算法

高中数学必修3公开课课件 1.3.2算法案例--秦九韶算法
次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允 许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是 一个理论算法.在多式求值的各种算法中，秦九 韶算法是一个优秀算法.
10
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可 以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显 然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
3
秦九韶算法
把一个多项式
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0
改写为：
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 (an xn1 an1xn2 an2 xn3 a1)x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
·2007·
11
案例2 秦九韶算法
2019年5月6日星期一
1
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数 的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序 后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学 与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中 也有一个优秀算法，即秦九韶算法，本节对这个算 法作些了解和探究.
=……
( ((an x an1)x an2 )x a1) a0
4
秦九韶算法
对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0， 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤：
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.

1.3 算法案例2-秦九韶算法

1.3 算法案例2-秦九韶算法

2. 利用秦九韶算法求n次多项式f(x)的值的步骤:
先把n次多项式f(x)改写成如下形式: f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 再按照从内到外的顺序 , 依次计算一次多项 式的值, 即 v1=anx+an-1 ;
注意: 用秦九韶算法
计 算 n 次 多 项 式 f(x) 的 值时,一共需要n次乘法 运算和n次加法运算.
解: f(x)=((((0.83x+0.41)x+0.16)x+0.33)x+0.5)x+1
当x=5时, v1=0.83×5+0.41=4.56; v2=4.56×5+0.16=22.96; v3=22.96×5+0.33=115.13; v4=115.13×5+0.5=576.15; v5=576.15×5+1=2881.75. 所以, f(5)=2881.75.
作业: P48 A组 T2
思考2:阅读下列程序，说明它是解决什么的 问题算法？
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x5在x=a时的值.
当x=5时, v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2. 所以, f(5)=17255.2.
2

《算法案例---秦九韶算法》名师课件2

《算法案例---秦九韶算法》名师课件2
当x=5时,多项式的值是2677.
课堂小结
1 、通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进 一步的认识？
（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题
（2）解决一类问题，可以有不同的算法，但 计算的效率是不同的，应该选择高效的算法。
2、 秦九韶算法的特点及揭示的算法思想。 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值， 对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。 把高次转化为一次的化归思想方法。
即 若 v1 an x0 an1,
v2 v1 x0 an2 , v3 v2 x0 an3 ,
v0 an vk vk1 x0 ank (k 1，2，3 ，n)
这种算法用了 几次乘法运算 和几次的加法
vn vn1 x0 a0
运算？
则 f (x0 ) vn
设 v0 an 共做了n次乘法运算，n次加法运算。
vn vn1x a0
例题讲解
f (x0 ) ( ((an x0 an1 )x0 an2 )x0 a1 )x0 a0
vv0vaxn ai →
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
1.初始化变量
v an i n 1
v0 an
v1 v0 x an1
2.循环体
作业
（1）课本第45页练习2，第48页习题 1.3 A组第2题
（2）请同学们用另一种循环结构画 出秦九韶算法的程序框图并编写程序 语言。
（3）（选做）探究课本第45-47页内 容完成习题1.3 A组第4题
于0，若是，则返回第三步；否
则，输出多项式的值v.
★算法框图
开始 输入n, an , x的值
v=an
i=n-1

算法案例2-秦九韶算法


我们已经学过了多项式的计算，下面我们计 算一下多项式 f(x) x5 x4 x3 x2 x 1 当 x = 5 的值。 解析：下面分别用两种算法来求其值。 并计算每个算法所用乘法和加法的次数。
算法1： f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 因为f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906 共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2： f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1
第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了， 因而能够提高运算效率。对于计算机来说，做一次乘法运算 所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做 法，计算机能更快得到结果。
i=i-1 v=vx+ai
输入ai
i≥0？ 否 是
输出v
结束
练习1、已知一个5次多项式为
f x 4x 2x 3.5x 2.6x 1.7 x 0.8
5 4 3 2
用秦九韶算法求f(5)的值.
解：f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8 v0=4 v1=4×5+2=22； v2=22×5+3.5=113.5； v3=113.5×5-2.6=564.9； v4=564.9×5+1.7=2826.2； v5=2826.2×5-0.8=14130.2. 所以f(5)= =14130.2.
输入ai
Y

算法案例(秦九韶算法)


算法的步骤和流程
01
02
03
04
2. 将 $a_{i+1}$ 加到 $v$ 中。 3. 将 $v$ 存储在变量 $P$ 中。
步骤3：返回 $P$ 作为多项 式的值。
通过以上步骤，秦九韶算法可以 在 $O(n)$ 的时间内计算出一元 多项式的值，其中 $n$ 是多项式 的次数。与直接使用常规的求值 方法相比，秦九韶算法可以显著 减少乘法的次数，从而提高计算
缺点
对大系数多项式不适用
秦九韶算法适用于系数和次数都很大的多项式，但如果多项式的 系数非常大，可能会导致数值溢出或下溢，影响计算精度。
需要额外的存储空间
秦九韶算法需要存储中间结果，如果多项式的次数很大，需要额外 的存储空间。
对某些特殊多项式不适用
秦九韶算法不适用于某些特殊的多项式，如常数、一次多项式等。
秦九韶算法的应用场景
数值分析
秦九韶算法在数值分析中广泛应用于求解多项式方程的根，以及进行 数值积分和微分等计算。
科学计算
在科学计算领域，秦九韶算法被用于计算物理、化学、工程等领域中 的多项式函数值，以及进行数据拟合和插值等操作。
计算机图形学
在计算机图形学中，秦九韶算法被用于计算光线追踪和纹理映射等算 法中的多项式函数值，以提高渲染效率和精度。
05
秦九韶算法的优缺点
优点
高效性
秦九韶算法是一种快速算法，可以在多项式 时间内完成计算，比直接计算更高效。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确，易于编程实现，可 以方便地应用于计算机程序中。
数值稳定性
秦九韶算法在计算过程中可以减少舍入误差， 提高数值稳定性。
适用范围广
秦九韶算法适用于多项式的系数和次数都很 大的情况，具有较广的适用范围。

9.§1.3.2算法案例—秦九韶算法(2)


否那么 ,输出多项式的值 v.
思考 2：该算法的程序框图如何表示 ?
程序框图如下列图： 2
公众号：惟微小筑
教师课时教案
问题与情境及教师活动
学生活动
INPUT "n =〞；n
INPUT "an =〞；a
INPUT "x =〞；x
v =a
i =n -1
WHILE i＞ =0
教
PRINT "i =〞；i INPUT "ai =〞；a
加法运算 ?
秦九韶算法适用一般的多项式 f(x) =anxn +an -1xn -1 +… +a1x +a0 的
过 求值问题 .直接法乘法运算的次数最|多可到达 (n 1)n ,加法最|多 n 2
程 次 .秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最|多 n 次 ,加法最|
多n次
及 思考 4：在秦九韶算法中 ,记 v0 an 那么第 k 步的算式是什么 ?
学 目
技能目标
模仿秦九韶计算方法 ,体会古人计算构思的巧妙；探究计算机算法与数 学算法的区别 .
标
情感态度价值观
通过对秦九韶算法的学习 ,了解中国古代数学家对数学的奉献 ,充分 认识到我国文化历史的悠久 .
重点 理解秦九韶算法的思想 .
难点 用循环结构表示算法的步骤 .
问题与情境及教师活动
学生活动
一．复习引入
法运算和多少次加法运算 ?
学 共需要 10 次乘法运算 ,5 次加法运算 . 我们把多项式变形为： f (x) x2 (1 x(1 x(1 x))) x 1
过 再统计一下计算当 x 5 时的值时需要的计算次数 ,可以得出仅

1.3.2算法案例(2)秦九韶算法


思考5:上述求多项式 思考5:上述求多项式 5: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法 利用该算法求f(x 秦九韶算法， 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 一共需要多少次乘法运算， 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？ 加法运算？ n次乘法运算， n次加法运算 次乘法运算， 次加法运算 次乘法运算 思考6:在秦九韶算法中， 6:在秦九韶算法中 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么 步的算式是什么？ 第k步的算式是什么？ (k=1， vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)
思考4:对于f(x)=(…((a 思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ 4:对于 an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算 一次多项式的值，其算法步骤如何？ 一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v 第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0. 计算v
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 第二种做法与第一种做法相比 乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率 而且对于计算机来说,做 因而能提高运算效率.而且对于计算机来说 减少了 因而能提高运算效率 而且对于计算机来说 做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多 因此 第二种做法能更快地得到结果. 第二种做法能更快地得到结果
知识探究( 知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
列表 2 -5 0 -4 3 -6 0
x=5
10 25 125 605 3040 15170
2 5 25 121 608 3034 15170
所以,当x=5时,多项式的值是15170.
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
点评:秦九韶算法是求一元多项式的 值的一种方法.
它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转 化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法 运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算 和n次加法运算,大大提高了运算效率.
是
程序
INPUT a0,a1,a2,a3,a4,a5
INPUT x0 n=1 v=a5 WHILE n<=5 v=vx0+a5-n n=n+1 WEND PRINT v END
结束
达标检测
1.已知f(x)=x5-4x4+2x2-5x+1,求f(3)的值. f(3)=-77
2.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要
时的值.
1397
5.利用秦九韶算法计算函数f(x)=x+2x2+3x3+4x4+5x5
的值时,需要做加法､乘法的次数分别为__4___､__5___.
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的程序框图
作业： P48 A组 2 预习 进位制
解法二:列表
原多项式 的系数
2 -5 -4 3 -6 7
x=5
10 25 105 540 2670
2 5 21 108 534 2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 多项式
的值.
练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.
解:原多项式先化为:
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得
v0=an,
vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步 骤,因此可用循环结构来实现.
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534 所以,当x=5时,多 v5=v4x+7=534×5+7=2677 项式的值是2677.
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
学习目标： 1、了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦
九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2、模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的
巧妙。
知识回顾
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）
和（
）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是（ ）
A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
[问题]画出程序框图,表示用秦九韶算法求5次多 项式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 (x0是任意实数)时的值的过程,然后写出程序.
程序框图 开始
输入a0,a1,a2,a3,a4,a5 输入x0 n=1 v=a5
n≤5?
否
输出v
n=n+1
v=vx0+a5-n
做乘法和加法的次数分别是( A )
A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5
3.用秦九韶算法求多项式f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5当x=4时的 值,给出如下数据:①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143 其运算过
程中(包括最终结果)会出现的数有_②__③__④__⑤___(只填序号).
4.用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2
[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的 求值问题? f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v0=2 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量,
即Байду номын сангаас计算x2,然后依次计算
x2 • x, (x2 • x) • x, ((x2 • x) • x) • x
的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘 法运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 结果.
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1,
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
知识探究
阅读教材37页—39页内容，解决下列问题：
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序
x=5 f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7 PRINT f END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7