最新1.3.2算法案例(秦九韶算法)

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1.3算法案例—(2)秦九韶算法ppt课件

A. 4 B. 5 C. 10 D. 20 21672=8127×2+5418
8127=5418×1+2709
5418=2709×2+0
2
辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主; 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
13
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得
v0=an, vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.因此可用循环结构来实现。
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108

1.3.2算法案例(秦九韶算法)

后教Ⅰ
学生交流、补充回答自学指导中的问题，教师进行补充及纠正总结，引导学生加强对知识的理解深度。
1．强调利用常规自然的运算方法，运算量大，若用前面的计算结果，直接计算后面的式子，可以减少运算量，提高运算效率。
2．强调作为常识性的知识，让学生了解到计算机进行乘法运算比加法运算花的时间要长的多，故而在程序编写中，需要进行运算，尽量使用加法。
3．让学生明确秦九韶算法的作用和意义。
4．通过交流关于秦九韶的简介，突破本节课的情感态度与价值观目标，教师鼓励学生要增强学习数学的信心。附：
秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。秦九韶字道古．普州安岳(今四川安岳)人．南宋嘉泰二年(1202年)生；约景定二年(1261年)卒于梅州(今广东梅县)．
示标
1．学会用秦九韶算法求多项式的值。

高中数学1.3.2算法案例—秦九韶算法教案新人教A版必修

学目
技能目标
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙；探究计算机算法与数学算法的区别。
标
情感态度价值观
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
重点理解秦九韶算法的思想。
难点用循环结构表示算法的步骤。
问题与情境及教师活动
学生活动
一．复习引入
大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的
(((an x an1)x an2 )x a1) a0
1 河北武邑教师教案
问题与情境及教师活动
学生活动
思考 2：对于由内向外逐层计算一次多项式
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 （（ an x an1)x an2 )x a1)x a0
的值，其算法步骤如何？
程序框图如下图：
2 河北武邑教师教案问题与情境及教师活动
学生活动
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i＞=0
PRINT “i=”；i
教
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a
学
i=i-1
WEND
过
PRINT v
ENDห้องสมุดไป่ตู้
程思考 3：该程序框图对应的程序如何表述？
第一步，输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步，将 v 的值初始化为 an，将 i 的值初始化为 n-1. 第三步，输入 i 次项的系数 ai. 第四步，v=vx+ai,i=i-1. 第五步，判断 i 是否大于或等于 0.若是，则返回第三步；

数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(2)(新人教A版必修3)

练习:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).
小结
• 进位制的概念及表示方法; anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . • 各种进位制之间的相互转化.
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 把算式中各步所得的余数余数 2 89 从下到上排列,得到 2 44 1 89=1011001(2). 2 22 0 可以用2连续去除89或所得 2 11 0 商(一直到商为0为止),然后 2 5 1 取余数---除2取余法. 1 2 2 这种方法也可以推广为把 0 21 十进制数化为k进制数的 0 1 算法,称为除k取余法.
＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.

1.3.2算法案例2

要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 v 1 a n x an 1 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v 2 v1 x an 2 v 3 v 2 x an 3
最后的一项是什么？

vn vn1 x a0
这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法.
所以，当x = 5时，0、a1、a2、a3、a4、a5 输入x0 n=0 v=a5 v= v· 0+a5-n x
n=n+1
n < 5? 否输出v 结束
秦九韶算法检验
是
练习、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
(an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第
四步；否则，转第六步
第四步：输入i次项的系数ai 第五步：v=vx+ai, i=i-1 第六步：输出多项式的值v。
程序框图：
开始
v1 5 5 2 27 v2 27 5 3.5 138.5 v 3 138.5 5 2.6 689.9 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v5 3451.2 5 0.8 17255.2

1.3.2 算法案例---秦九韶算法

1.3.2 算法案例---秦九韶算法一、教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用.二、教学过程：[复习准备]1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数.2. 设计一个求多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+当5x =时的值的算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5x =代入多项式进行计算即可）提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.)[讲授新课]1. 教学秦九韶算法：① 提问：在计算x 的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算2x ，然后依次计算2x x ⋅，2()x x x ⋅⋅，2(())x x x x ⋅⋅⋅的值，这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算） ② 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果.③ 更有效的一种算法是：将多项式变形为 5432()254367((((25)4)3)6)7f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，依次计算 2555⨯-=，55421⨯-=，2153108⨯+=，10856534⨯-=，534572677⨯+=故(5)2677f =.――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强调格式）④ 练习：用秦九韶算法求多项式432()2351f x x x x x =+-++当4x =时的值.（学生板书→师生共评→教师提问：上述算法共需多少次乘法运算？多少次加法运算？）⑤ 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a xa x a --=++++的求值问题？改写：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++.首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+.⑥ 结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩. 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.试画出程序框图，并设计出程序；程序框图：程序设计：⑦ 练习：用秦九韶算法求多项式5432()52 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-当5x =时的值并画出程序框图.[小结] 秦九韶算法的特点及其程序设计三、巩固练习：1、练习：教材P45第2题 2、作业：教材P48第2题。

1.3.2秦九邵算法

[答案]
B
练习 4. 已知 f(x)＝3x ＋2x ＋4x＋2，利用秦九韶算法求 f(－2)的值．
4
2
[错解] f(x)＝((3x2＋2)x＋4)x＋2， V0= 3 v1＝3×(－2)2＋2＝14； v2＝14×(－2)＋4＝－24； v3＝－24×(－2)＋2＝50. 故f(－2)＝50.
[错因分析] 所求 f(－2)的值是正确的，但是错解中没有抓住秦九韶算法原理的关键，正确改写多项式，并使每一次计算只含有一次项．
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
变式：已知一个5次多项式为 5 3 f (x ) = 5x + 3.5x + 1.7x - 0.8 用秦九韶算法求当x=5时，V1,V3的值及求f(5)的值做多少次乘法运算.
v1=5×5+0=25； v2=25×5+3.5=128.5； v3=128.5×5+0=642.5； v4=642.5×5+1.7=3214.2； v5=3214.2×5-0.8=16070.8.
算法2：ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
第一步，输入a，k和n的值. 第二步，令b=0，i=1.
第三步， b = b + ai ? k
i- 1
பைடு நூலகம்
，i=i+1.

1.3 算法案例2-秦九韶算法

2. 利用秦九韶算法求n次多项式f(x)的值的步骤:
先把n次多项式f(x)改写成如下形式: f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 再按照从内到外的顺序 , 依次计算一次多项式的值, 即 v1=anx+an-1 ;
注意: 用秦九韶算法
计算 n 次多项式 f(x) 的值时,一共需要n次乘法运算和n次加法运算.
解: f(x)=((((0.83x+0.41)x+0.16)x+0.33)x+0.5)x+1
当x=5时, v1=0.83×5+0.41=4.56; v2=4.56×5+0.16=22.96; v3=22.96×5+0.33=115.13; v4=115.13×5+0.5=576.15; v5=576.15×5+1=2881.75. 所以, f(5)=2881.75.
作业: P48 A组 T2
思考2:阅读下列程序，说明它是解决什么的问题算法？
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x5在x=a时的值.
当x=5时, v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2. 所以, f(5)=17255.2.
2

1.3.2算法案例-秦九韶算法

计算多项式f(x) =x5＋x4＋x3＋x2＋x＋１当x = 5 的值算法1：因为f(x) =x５＋x４＋x３＋x２＋x＋１所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2：ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
作业:
课本P45页练习T2; P48页A组T2.
《数书九章》——秦九韶算法设 f (x) 是一个n次的多项式
f ( x) an x an 1 x
n n 1
a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x an 1 x
n n 1
a1 x a0 a1 ) x a0 a2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1 an x an 1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1 x an 2 v3 v2 x an 3
最后的一项是什么？

vn vn 1 x a0
这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7的系数
x=5
2
-5 10 5

福建省永安第十二中学高中数学人教B版必修三：1.3.2秦九韶算法 (教案)

《秦九韶算法》教案永安十二中罗上尧 .11.25（星期五）课题秦九韶算法课型新授课授课班级高二（）班教学目标知识与技能目标：1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序．过程与方法目标：模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.情感、态度、价值观目标：通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.重点：秦九韶算法的特点，对秦九韶算法的先进性理解. 教学资源： PPT难点：秦九韶算法思想的理解及用循环结构表示算法步骤.教学互动内容设计意图一、创设情景，揭示课题 1.秦九韶人物简介2.问题是数学的心脏，带着问题思考数学的智慧二、新课探究知识探究(一):秦九韶算法的基本思想思考1：怎样求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值呢？算法1：将5=x 代入1)(2345+++++=x x x x x x f计算得(5)3906f =，并统计所做的计算的种类及计算次数。

（共需要10次乘法运算，5次加法运算）算法2：在计算x 的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算2x ，然后依次计算2x x ⋅，2()x x x ⋅⋅，2(())x x x x ⋅⋅⋅的值，这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算）结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长了解数学史及中国古代数学对世界数学的贡献，激发学生的爱国主义情怀.通过学生的操作认识算法1的算法种类和计算次数.帮助学生建立改进算法，提高计算效率的意识.得多，因此第二种做法能更快地得到结果.算法3：我们把多项式变形为：()((((1)1)1)1)1f x x x x x x =+++++再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。

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=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
2、已知多项式f(x)=2x4-x3-2x2+3x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。
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N
输出v
结束
i=i-1 v=vx+ai 输入ai
Y
程序
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i>=0
PRINT “i=”；i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
练习： 1、已知多项式f(x)=x5+2x4+x3-3x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。
吗f？(x )a nxna n 1xn 1a 1xa 0
( (a nxa n 1)xa n 2)xa 1)xa 0
v v
0 k
an vk1 x
ank
算法步骤
(k 1, 2, , n)
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值
第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1
第三步：输入i次项的系数ai
第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于 0,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v.
开始输入n,an,x的值
v=an
i=n-1
i≥0？
N
输出v
结束
i=i-1 v=vx+ai 输入ai
Y
开始输入n,an,x的值
v=an
i=n-1
i≥0？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。
例：已知一个五次多项式为
f( x ) 5 x 5 2 x 4 3 .5 x 3 2 .6 x 2 1 .7 x 0 .8
f ( x ) ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1anxan1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2v1xan2 v3v2xan3
最后的一项是什么？vnv来自1xa0第三步：输入i次项的系数ai
v1anxan1
第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0,若是,
则返回第三步;否则,输出多项式的值v.
v2v1xan2
v 3 v2xan3
vnvn1xa0
程序框图
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值
第二步：将v的值初始化为an, 将i的值初始化为n-1
(a n x n 1 a n 1 x n 2 a 1 )x a 0
(a n ( x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0
( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式 f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）多项式的系数
+
X5
5 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 0 25 135 692.5 3449.5 17256 5 27 138.5 689.9 3451.2 17255.2
多项式的值
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来
1.3.2算法案例(秦九韶算法)
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
算法2：
= 3906
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。解：将多项式变形：
f ( x ) (5 x ( 2 ) ( x 3 ( . 5 ) x 2 . 6 ) x 1 . 7 ) x 0 . 8
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 5 v155227 v22 753.513 .58 v313 .5 8 52.668 .99 v468 .9 9 51.734.251 v534.25 51 0.817.2 255