高中数学人教A版必修三第一章.2秦九韶算法-算法案例PPT全文课件
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数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(2)(新人教A版必修3)
练习:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).
小结
• 进位制的概念及表示方法; anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . • 各种进位制之间的相互转化.
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 把算式中各步所得的余数 余数 2 89 从下到上排列,得到 2 44 1 89=1011001(2). 2 22 0 可以用2连续去除89或所得 2 11 0 商(一直到商为0为止),然后 2 5 1 取余数---除2取余法. 1 2 2 这种方法也可以推广为把 0 21 十进制数化为k进制数的 0 1 算法,称为除k取余法.
＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
人教A版高中数学必修3第一章1.3算法案例课件(3)
比赛
（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当x=5时的值。 （1） 3906
（2）求多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7 当x = 5时的值。 （2） 2677
• 程序计算
1.3.2 算 法 案 例 （案例2） 秦 九 韶 算 法
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
练一练:求当x = 5时多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x的值.
解法一:第一将原多项式改写成如下情势 : f(x)=(((((2x-5)x-0)x-4)x+3)x-6）x+0
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方 法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢？ 算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它 们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
提取公因式
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们 加起来。
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ )＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１)+１)+１) ＋１ =5×(5×( 5×(5×(5+1 )+1) +1)+1)+１
（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当x=5时的值。 （1） 3906
（2）求多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7 当x = 5时的值。 （2） 2677
• 程序计算
1.3.2 算 法 案 例 （案例2） 秦 九 韶 算 法
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
练一练:求当x = 5时多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x的值.
解法一:第一将原多项式改写成如下情势 : f(x)=(((((2x-5)x-0)x-4)x+3)x-6）x+0
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方 法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢？ 算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它 们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
提取公因式
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们 加起来。
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ )＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１)+１)+１) ＋１ =5×(5×( 5×(5×(5+1 )+1) +1)+1)+１
人教A版高中数学必修三课件1.3.2秦九韶
算法步问骤:：怎么用程序语言表示秦九韶算v法0 呢a？n
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
高中数学【人教A版必修】3第一章1.3 算法案例 课件 (26张ppt )
第四步：重复二、三步， 直到余数为0.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约 数等于_m_；否则，返回第二步.
算法的思想
辗转相除法
问题4. 辗转相除法的算法有什么特点？ 需要使用哪种基本逻辑结构？
• 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停 止的步骤，可以使用循环结构来构造算法。
回顾：构造循环结构应确定哪几部分内容？ ①初始化变量 ②确定循环体 ③设定循环控制条件
高中数学【人教A版必修】3第一章1.3 算法案例 课件 (26张ppt )【精品】
更相减损术
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
翻译： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是 偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所 求的最大公约数。
结论：8251和6105的最大公约数就是6105和2146的最大公 约数.
第二步： 6105 = 2146 ×2 + 1813
结论：6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公 …… 约数.
最后一步： 148 = 37 ×4 + 0.
余数为0
最终结论：8251和6105的最大公约数也是148和37的最大 公约数，即37.
否
WHILE 条件 循环体
WEND
知问
回顾：
1.编程解决问题需经过哪些步骤？ 算法分析、程序框图、程序
2.循环结构的程序框图和语句？ 3.求两个正整数最大公约数的方法？ 短除法：先用两个数的公约数连续去除，一直除到 所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起 来即为最大公约数。
人教a版必修3数学教学课件第1章算法初步第3节算法案例
多项式改写,依次计算一次多项式,由于后项计算用到前项的结果,
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
目标导航
题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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题型一
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【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
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题型三
【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
人教A版高中数学必修3第一章.2算法与程序框图课件
❖输入 a,b,c
❖a+ b>c, a+ c>b,
❖否
❖
b+ c>a是否同时
❖成立?
❖是
❖存在这样的三角形
❖不存在这样的三角形
❖结束
三、循环结构
1.含义：循环结构是指在算法中从某处开 始,按照一定的条件反复执行某些步骤的算 法结构.反复执行的步骤称为循环体。
在科学计算中,有许多有规律的重复计算,如 累加求和、累乘求积等问题要用到循环结构.
步骤B
❖ 如果学生的成绩大于或等于60分，则输出 “及格”，否则输出“不及格”.
❖用程序框图表示这一算法过程❖开. 始
❖程序框图：
❖输入 A
算法步骤：
第一步: 输入一个学生 成绩; 第二步:判断这个学生 的成绩是否小于60; 第三步: 若是则成绩不
及格，若不是则成绩 及格.
❖否
❖A<60?
❖是
❖输出“不及格”
算法分析：
Sum=0
第一步:从1开始将自然 数1,2,3,…,100逐个相加;
第二步:输出累加结果.
Sum=Sum + 1 Sum=Sum + 2 Sum=Sum + 3 … Sum=Sum + 100
思பைடு நூலகம்：
Sum=Sum + i
1.上边的式子有怎样的规律呢？
2.怎么用程序框图表示呢？
在一些算法中,经常会出现从某处开始,反 复执行某一处理步骤,这就是循环结构.
顺序结构
条件结构
循环结构
尽管不同的算法千差万别,但它们都是由三 种基本的逻辑结构构成的。
算法三种基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构) 流程图表示，实例,程序演示：
❖a+ b>c, a+ c>b,
❖否
❖
b+ c>a是否同时
❖成立?
❖是
❖存在这样的三角形
❖不存在这样的三角形
❖结束
三、循环结构
1.含义：循环结构是指在算法中从某处开 始,按照一定的条件反复执行某些步骤的算 法结构.反复执行的步骤称为循环体。
在科学计算中,有许多有规律的重复计算,如 累加求和、累乘求积等问题要用到循环结构.
步骤B
❖ 如果学生的成绩大于或等于60分，则输出 “及格”，否则输出“不及格”.
❖用程序框图表示这一算法过程❖开. 始
❖程序框图：
❖输入 A
算法步骤：
第一步: 输入一个学生 成绩; 第二步:判断这个学生 的成绩是否小于60; 第三步: 若是则成绩不
及格，若不是则成绩 及格.
❖否
❖A<60?
❖是
❖输出“不及格”
算法分析：
Sum=0
第一步:从1开始将自然 数1,2,3,…,100逐个相加;
第二步:输出累加结果.
Sum=Sum + 1 Sum=Sum + 2 Sum=Sum + 3 … Sum=Sum + 100
思பைடு நூலகம்：
Sum=Sum + i
1.上边的式子有怎样的规律呢？
2.怎么用程序框图表示呢？
在一些算法中,经常会出现从某处开始,反 复执行某一处理步骤,这就是循环结构.
顺序结构
条件结构
循环结构
尽管不同的算法千差万别,但它们都是由三 种基本的逻辑结构构成的。
算法三种基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构) 流程图表示，实例,程序演示：
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
人教A版数学必修3第一章.2算法与程序框图PPT全文课件
1.“=”左侧必须是变量,右侧可以
END
是数字、变量或者是计算公式；
2.一个语句只能有一个“=”,并且
只能给一个变量赋值；
3.有计算功能,可以把表达式的值
赋给一个变量.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人教A版数学必修3第一章.2算法与程 序框图P PT全文 课件【 完美课 件】
例2.编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平
average (a b c) / 3 输出average 结束
程序2 INPUT “Maths,Chinese,English=”;a,b,c
PRINT “The average=”;(a+b+c)/3 END
人教A版数学必修3第一章.2算法与程 序框图P PT全文 课件【 完美课 件】
人教A版数学必修3第一章.2算法与程 序框图P PT全文 课件【 完美课 件】
程序框图是由表示算法基本逻辑结构的图形组成的， 而程序则是由表示算法基本逻辑结构的算法语句组成.
任何高级程序设计语言都包含输入语句、输出语句、 赋值语句、条件语句和循环语句五种基本语句.它们与算 法的三种基本结构是相互对应的.
顺序结构 条件结构
输入语句、输出语句、赋值语句 条件语句
循环结构
循环语句
人教A版数学必修3第一章.2算法与程 序框图P PT全文 课件【 完美课 件】
问题探究一 简单的程序设计语言 问题 1 计算机能够“理解”的语言与人的语言有什么
区别？
答 计算机不同于人，人有大脑，可以思考问题，而计 算机则不能运用自然语言和程序框图描述的算法，计算 机无法识别，必须转化为其能理解的语言，即程序语言．
探究二
例. 用描点法作函数 y x3 3x2 24x 30的图象时，需要 求出自变量和函数的一组对应值.编写程序，分别计算当 x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5时的函数值.
人教A版高中数学必修3第一章.2算法与程序框图优秀课件
流程线 连接 程序框
连接点 连接程序框图的两部分
新课 1、程序框图基本概念： （1）程序框图的概念：
程序框图又称流程图，是一种用规定 的图形、指向线及文字说明来准确、 直观地表示算法的图形。 （2）程序框图的组成： 一个程序框图包括以下几部分： 表示相应操作的程序框； 带箭头的流程线； 程序框内必要文字说明。
（3）基本程序框的符号及其功能
程序框
名称
功能
终端框(起止 表示一个算法的起始和结束 框）
输入、输出框 表示算法的输入和输出的信 息
处理框(执行 框） 判断框
流程线
赋值、计算
判断一个条件是否成立，用 “是”、“否”或“Y”、 “N”标明 表示从某一框到另一框的流
一、对程序框图的认识和理解 例 2. (1)下列关于程序框图的说法正确的是( ) A．程序框图是描述算法的语言 B．程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框给 变量赋值 C．在程序框图中，一个判断框可能同时产生两种结果 D．程序框图与流程图不是同一个概念 【解】由于算法设计时要求返回执行的结果，故必须要有输 出框，对于变量的赋值可通过处理框完成，故算法设计时不 一定要有输入框，因此 B 错；一个判断框产生的结果是唯一 的，故 C 错；程序框图就是流程图，所以 D 错．故选 A. 【答案】 A
1.1.2算法的基本结构和 程序框图(1)
复习回顾
1．算法的概念：算法实际上是解决问题的一种程序
性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决
问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想． 2．算法的性质有：①有限性，②确定性，③有序性，
④不唯一性，⑤可行性．解答有关算法的概念判断题应
根据算法的这五大特点．
2、简单程序框图的画法：
人教A版高中数学必修3第一章.1算法的概念PPT全文课件
2.任意给定一个大于1 的正整数n,设计一个算 法求出n的所有因数.
答案1：第一步：依次以2~(n-1)为除数去除n,检查余数 是否为0,若是,则是n的因数;若不是,则不是n的因数. 第二步：在n的因数中加入1和n.
第三步：输出n的所有因数.
答案2:第一步:给定大于1的整数n 第二步:令i=1 第三步:用i除n,得余数r 第四步:判断“ r=0” 是否成立,若是,则i是n的因数,输出i, 第五步:将i的值增加1,仍用i表示. 第六步:判断“i>n结束算法,否则返回第三步.
巩固概念
×
3、写出求一元二次方程
ax2+bx+c=0 的根的算法.
第一步,计算Δ=b2-4ac.
第二步,如果Δ<0,则原方程无实数解 ;
否则(Δ≥0)时， x b ,
1
2a
x b .
2
2a
第三步:输出x1, x2或无实数解的信息.
练习题
4．下面的四种叙述不能称为算法的是 （C ） （A）广播的广播操图解 （B）歌曲的歌谱 （C）做饭用米 （D）做米饭需要刷锅、淘米、添水、加 热这些步骤
5．下列关于算法的说法正确的是（ D ） （A）某算法可以无止境地运算下去 （B）一个问题的算法步骤可以是可逆的 （C）完成一件事情的算法有且只有一种 （D）设计算法要本着简单、方便、可操 作的原则
6．下列关于算法的说法中，正确的是 （ C ）. A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果 C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止
知识探究（一）：算法的概念 人教A版高中数学必修3第一章.1算法的概念PPT全文课件【完美课件】
思考1:在初中，对于解二元一次方程组 你学过哪些方法？
高中数学人教A版必修3第一章算法案例PPT全文课件
〖研探新知〗 高中数学【人教A版必修】3第一章算法案例PPT全文课件【完美课件】
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
分析：8251与6105两数都比较大，而且没 有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解：8251＝6105×1＋2146
(3)、程序：
INPUT “m,n=“;m,n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 3第一 章算法 案例PP T全文课 件【完 美课件 】
4. 辗转相除法的程序框图及程序: 高中数学【人教A版必修】3第一章算法案例PPT全文课件【完美课件】
显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数，所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 3第一 章算法 案例PP T全文课 件【完 美课件 】
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146;
1.3算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
一、三维目标 （a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原 理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完 整的程序框图并写出算法程序。 （b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习 过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它 们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严 谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握 把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
人教A版必修3 《秦九韶算法和进位制》课件(14张)
A A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5
秦九韶算法的程序框图与程序
设计利用秦九韶算法计算5次多项式f(x)＝a5x5 栏
目
＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0当x＝x0时的值的
链 接
程序框图．
解析：程序框图如下：
栏 目 链 接
点评：秦九韶算法的步骤：
十进制数与二进制数的互化
第三步，b＝b＋ai·ki－1，i＝i＋1.
第四步，判断i>n是否成立．若是，则执行第五步；否 则返回第三步．
第五步，输出b的值．
十进制数与其他进制数__________________________
栏
________________．
点评：当多项式函数中间出现空项时，利用秦 九韶算法求函数值，要补上系数为0的相应 项．当然当一个多项式函数空项很多时，用一 般的计算方法可能更简单一些．如对于f(x)＝x6 －2x2＋5，求f(2)的值，就没有必要再利用秦九 韶算法了，直接将x＝2代入计算即可．
►跟踪训练 1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋ 5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要 做乘法和加法的次数分别为( )
把十进制数53化为二进制数为( )
A．101 101(2) B．110 101(2)
C．110 001(2) D．100 001(2)
栏 目
解析：方法一(除二取余法)
链 接
53＝2×26＋1，26＝2×13＋0，13＝2×6＋1，6＝
2×3＋0，3＝2×1＋1，1＝2×0＋1；余数由后往前
写得110 101.
1．3 算法案例 1．3.2 秦九韶算法和进位制
栏 目 链 接
用秦九韶算法求函数值
秦九韶算法的程序框图与程序
设计利用秦九韶算法计算5次多项式f(x)＝a5x5 栏
目
＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0当x＝x0时的值的
链 接
程序框图．
解析：程序框图如下：
栏 目 链 接
点评：秦九韶算法的步骤：
十进制数与二进制数的互化
第三步，b＝b＋ai·ki－1，i＝i＋1.
第四步，判断i>n是否成立．若是，则执行第五步；否 则返回第三步．
第五步，输出b的值．
十进制数与其他进制数__________________________
栏
________________．
点评：当多项式函数中间出现空项时，利用秦 九韶算法求函数值，要补上系数为0的相应 项．当然当一个多项式函数空项很多时，用一 般的计算方法可能更简单一些．如对于f(x)＝x6 －2x2＋5，求f(2)的值，就没有必要再利用秦九 韶算法了，直接将x＝2代入计算即可．
►跟踪训练 1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋ 5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要 做乘法和加法的次数分别为( )
把十进制数53化为二进制数为( )
A．101 101(2) B．110 101(2)
C．110 001(2) D．100 001(2)
栏 目
解析：方法一(除二取余法)
链 接
53＝2×26＋1，26＝2×13＋0，13＝2×6＋1，6＝
2×3＋0，3＝2×1＋1，1＝2×0＋1；余数由后往前
写得110 101.
1．3 算法案例 1．3.2 秦九韶算法和进位制
栏 目 链 接
用秦九韶算法求函数值
人教a版必修三：《1.3算法案例(1)》ppt课件(322页)
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§1.3（一）
探究点二：更相减损术
思考 2 (1)用更相减损术可以求两个正整数 m，n 的最大公约数，那么用什么逻辑结 构来构造算法？其算法步骤如何设计？
答 (1)用循环结构设计算法，算法如下：
第一步，任意给定两个正整数m，n(m>n)． 第二步，计算 m－n 所得的差 k. 第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示． 第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
第一章 算法初步
§1.3 算法案例(一)
本节知识目录
§1.3（一）
明目标、知重点
算法 案例 (一)
填要点、记疑点
探究点一 探究点二 探究点三
辗转相除法 更相减损术 秦九韶算法的基本思想
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
§1.3（一）
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§1.3（一）
探究点二：更相减损术
(2)该算法的程序框图如何表示？该程序框图对应的程序如何表述？
答 程序框图： 程序：
INPUT m，n WHILE m< >n k＝m－n IF n>k THEN m＝n n＝k ELSE m＝k END IF WEND PRINT m END
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
高中数学人教版必修三《1.3.2秦九韶算法》课件
= 3906 10次的乘法运算,5次的加法运算 4次的乘法运算,5次的加法运算
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
• 四级所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
• 五级
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
2023/9/16
4
单击此处编辑母版标题样式
算法二：先运算x2的值，然后顺次运算
• 单击此处编辑x2母·x、版（文本x2样·x）式·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
2023/9/16
2
单击此处编辑母版标题样式
案例2、秦九韶算法
• 单击此秦处九编韶辑算母法版是文求本一样元式多项式的值的一种方法。
• 二级
•怎三样•级四求级多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 算法一• 五：级把5代入，运算各项的值，然后把它们加起来。
算法二：先运算x2的值，然后顺次运算x2·x、
• 单击此处课编堂辑母小版结文本：样式
• 二•级三级1、秦九韶算法的方法和步骤 • 2四、级• 五秦级九韶算法的流程图及程序
2023/9/16
14
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• 单击此处编辑母版文本样式
• 二1级.3.2 • 三级 谢谢大家 • 四级 • 五级
人教版 高中数学
新课标人教版高中数学必修三第一章 第三节《算法案例》第二课时秦九韶算法与进位制(共33张ppt)
1.3 算法案例
第2课时 秦九韶算法与进位制
2019.11
课程标准
通过阅读中 国古代数学 中的算法案 例，体会中 国古代数学 对世界数学 发展的贡献
学习要求
数学素养
1.了解算法的含义，体会算法的思想
数学抽象
2.在分析案例的基础上了解算法的基本特
征
数学运算
3.理解秦九韶算法的计算过程，并了解它 逻辑推理
v5 v4x 0.8 2826.2 5 0.8 14130.2
所以当x=5时，多项式的值为14130.2
例2 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5
y=y+(n+1)*a˄n n=n+1 WEND PRINT y END
62 0
余数
2 4 0 2
458=13022（4）=2042（6）
例2 将五进制数3241（5）转化为七进制数.
30241（5）=3×54+2×52+4×5+1=1946.
7 1946 7 278 7 39
结束
INPUT “a,k=”
b=0 i=0 DO
q=a\k
r=a MOD k
b=b+r*10∧i i=i+1 a=q
a，k
LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
例1 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
利用除k取余法，将十进制数a化为k进制数b的算法步骤如何设计？
第2课时 秦九韶算法与进位制
2019.11
课程标准
通过阅读中 国古代数学 中的算法案 例，体会中 国古代数学 对世界数学 发展的贡献
学习要求
数学素养
1.了解算法的含义，体会算法的思想
数学抽象
2.在分析案例的基础上了解算法的基本特
征
数学运算
3.理解秦九韶算法的计算过程，并了解它 逻辑推理
v5 v4x 0.8 2826.2 5 0.8 14130.2
所以当x=5时，多项式的值为14130.2
例2 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5
y=y+(n+1)*a˄n n=n+1 WEND PRINT y END
62 0
余数
2 4 0 2
458=13022（4）=2042（6）
例2 将五进制数3241（5）转化为七进制数.
30241（5）=3×54+2×52+4×5+1=1946.
7 1946 7 278 7 39
结束
INPUT “a,k=”
b=0 i=0 DO
q=a\k
r=a MOD k
b=b+r*10∧i i=i+1 a=q
a，k
LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
例1 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
利用除k取余法，将十进制数a化为k进制数b的算法步骤如何设计？
1.3 算法案例 课件(36张PPT)高中数学必修3(人教版A版)
正解: f(x)=3x4+0· x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50. 故f(-2)=50.
反思利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项 式改写,依次计算一次多项式,由于后项计算用到前项的结果,故应认真、 细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不存在,可将这些项的 系数看成0,即把这些项看成0· xn.
列表 2 x=5 2
-5 10 5
0 -4 25 125 25 121
求多项式的值
【例2】 用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当x=3时的值.
分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7分别是多少,再针对这些式子进行计算.
《数书九章》——秦九韶算法
设 f ( x) 是一个n 次的多项式
f ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0
(an x n 1 an 1 x n 2 a1 ) x a0
10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
1.3算法案例 课件-高一数学人教A版必修3
f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下 形式：
f (x) ((((4x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=5时的值：
WHILE d<>n
IF d>n THEN m=d
ELSE m=n
n=d
END IF d=m－n WEND d=2^k*d
PRINT d
END
问题2：怎样求多项式 f (x) x5 x4 x3 x2 x 1当x=5 的值呢？
方法1：把5代入多项式，计算各项的值，然后把它们加 起来。这时共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5 次加法运算。
例1：用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减得，如图所示：
98－63=35 63－35=28 35－28=7 28－7=21 21－7=14 14－7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。
思考：把更相减损术与辗转相除法比较，你有什么
发现？你能根据更相减损术设计程序，求两个正数的 最大公约数吗？
v1 an x an1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1 x an2 ,
v3 v2 x an3 ,
vn vn1 x a0 ,
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项 式的值。
上述方法称为秦九韶算法。直到今天， 这种算法仍是 多项式求值比较先进的算法。
例2、已知一个5次多项式为
⑤十进制化k进制
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下 形式：
f (x) ((((4x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=5时的值：
WHILE d<>n
IF d>n THEN m=d
ELSE m=n
n=d
END IF d=m－n WEND d=2^k*d
PRINT d
END
问题2：怎样求多项式 f (x) x5 x4 x3 x2 x 1当x=5 的值呢？
方法1：把5代入多项式，计算各项的值，然后把它们加 起来。这时共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5 次加法运算。
例1：用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减得，如图所示：
98－63=35 63－35=28 35－28=7 28－7=21 21－7=14 14－7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。
思考：把更相减损术与辗转相除法比较，你有什么
发现？你能根据更相减损术设计程序，求两个正数的 最大公约数吗？
v1 an x an1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1 x an2 ,
v3 v2 x an3 ,
vn vn1 x a0 ,
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项 式的值。
上述方法称为秦九韶算法。直到今天， 这种算法仍是 多项式求值比较先进的算法。
例2、已知一个5次多项式为
⑤十进制化k进制
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故f(-2)=50. 反思:利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式 改写, 若在多项式中有几项不存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项 看成0·xn.
高中数学【人教A版必修】三第一章.2 秦九韶 算法- 算法案 例PPT全 文课件 【完美 课件】
B
高中数学【人教A版必修】三第一章.2 秦九韶 算法- 算法案 例PPT全 文课件 【完美 课件】
分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7xБайду номын сангаас6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7分别是多少,再针对这些式子进行计算.
高中数学【人教A版必修】三第一章.2 秦九韶 算法- 算法案 例PPT全 文课件 【完美 课件】
解:f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
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1.3算法案例
秦九韶算法
复习回顾
一、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 1、辗转相除法 2、更相减损术
二、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
思考：如何求1734，816，1343的最大公因数. 17
首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外逐 层计算一次多项式的值.
v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238,
所以当x=2时,多项式的值为238.
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解:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1 =((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 按照由内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=8;
v1=8×2+5=21; v2=21×2+0=42; v3=42×2+3=87; v4=87×2+0=174; v5=174×2+0=348; v6=348×2+2=698; v7=698×2+1=1 397.故当x=2时,多项式的值为1 397.
v1=7×3+6=27; v2=27×3+5=86; v3=86×3+4=262; v4=262×3+3=789; v5=789×3+2=2 369; v6=2 369×3+1=7 108; v7=7 108×3=21 324.
故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324. 反思:秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
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15170
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
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解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.
易错点:利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误
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正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2,
v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50.
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B
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分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7xБайду номын сангаас6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7分别是多少,再针对这些式子进行计算.
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解:f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
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1.3算法案例
秦九韶算法
复习回顾
一、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 1、辗转相除法 2、更相减损术
二、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
思考：如何求1734，816，1343的最大公因数. 17
首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外逐 层计算一次多项式的值.
v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238,
所以当x=2时,多项式的值为238.
高中数学【人教A版必修】三第一章.2 秦九韶 算法- 算法案 例PPT全 文课件 【完美 课件】
解:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1 =((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 按照由内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=8;
v1=8×2+5=21; v2=21×2+0=42; v3=42×2+3=87; v4=87×2+0=174; v5=174×2+0=348; v6=348×2+2=698; v7=698×2+1=1 397.故当x=2时,多项式的值为1 397.
v1=7×3+6=27; v2=27×3+5=86; v3=86×3+4=262; v4=262×3+3=789; v5=789×3+2=2 369; v6=2 369×3+1=7 108; v7=7 108×3=21 324.
故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324. 反思:秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
高中数学【人教A版必修】三第一章.2 秦九韶 算法- 算法案 例PPT全 文课件 【完美 课件】
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注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
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解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.
易错点:利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误
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正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2,
v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50.