陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。

2019-2020学年度第一学期期末检测题高二理科数学一、选择题1.命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）． A. 1 B. 2C. 3D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了..【详解】因为原命题”若3a >，则6a >”是假命题;所以其逆否命题也是假命题, 因为逆命题”若6a >,则3a >”是真命题.所以否命题也是真命题.所以命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个. 故选B .【点睛】本题考查了四种命题,属基础题.2.若向量()a 1,1,2=-r ，()2,1,3b =-r ，则a b rr +=（ ）B. C. 3【答案】D 【解析】 【分析】先求出a b +rr的坐标，再求模长即可.【详解】()3,0,1a b +=-r r 则a b r r +=故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.3.命题“存在x ∈R ，使得1ln 2x ≤成立”的否定是（ ） A. 对任意的x ∈R ，1ln 2x >成立 B. 对任意的x ∈R ，1ln 2x ≤成立C. 存在x ∈R ，1ln 2x >成立 D. 不存在x ∈R ，使得1ln 2x >成立 【答案】A 【解析】分析：利用特称命题的否定分析解答得解. 详解：由题得命题“存在x R ∈，使得1ln 2x ≤成立”的否定是：对任意的x R ∈，1ln 2x >成立.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题:p ,()x M p x ∃∈,特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝. 4.对于实数a ，b ，则“a＜b ＜0”是“1ba<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可． 【详解】若“0a b <<”即a b >，则“1b b aa =<”，故“0a b <<”是“1ba<”的充分条件， 若“1b a <”，假设13a b =-=，，则“1ba<”，得a b <且00a b <>，， 故“0a b <<”是“1b a <” 的不必要条件；对于实数,a b ，则“0a b <<”是“1ba<”充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，是此类问题常用的思维方法，是基础题．5.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D.22143x y -= 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程可知2b a =；利用椭圆焦点坐标和双曲线中222c a b =+可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程.【详解】由双曲线渐近线方程知：2b a =，即2b a = Q 椭圆221123x y +=焦点坐标为()3,0± 2229c a b ∴=+= 22594a a ∴+=，解得：24a = 22554b a ∴==∴双曲线C 的方程为22145x y -=故选：B【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于基础题. 6.给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p q 、均为假命题；②命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题；③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件； ④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”充要条件.其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】①：若“p 且q ”为假命题，则p q 、中至少有一个假命题，故①错误；②：若()221f x ax x =+-只有一个零点,则当0a =时,只有一个零点,或当0a ≠时22+40a ==V 即1a =-,故()221f x ax x =+-只有一个零点,有0a =或1a =-,故②不正确;③若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件，因为若q p p q ⌝⌝则的逆否命题为若则,所以若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；故③正确； ④：充分性：ABC ∆中，若A B >，则a>b ，根据正弦定理sin sin a b A B=，可得到sin sin A B > ，反之也成立，故④项正确.故选B.7.如图，,M N 分别是四面体OABC 的边,OA BC 的中点，P 是MN 的中点，设,OA a =u u u r r OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r 用,,a b c r r r表示OP uuu r ，则( )A.111234OP a b c =++u u u r r r r B.111244OP a b c =++u u u r r r rC. 111324OP a b c =++u u u r r r rD. 111444OP a b c =++u u u r r r r【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法和减法的运算，将OP uuu r 表示为,,a b c r r r的线性和的形式.【详解】依题意()()111244OP OM ON OA OB OC =+=++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111444a b c =++r r r，故选D. 【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查三角形中线对应向量的求法，属于基础题.8.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，则p = （ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12【答案】D 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点(,0)2p， 再由抛物线的焦点是椭圆2214x y p p +=的一个焦点得244p p p -=求解即可． 【详解】由抛物线22(0)y px p =>，所以抛物线的焦点为(,0)2p， 又因为抛物线的焦点是椭圆2214x y p p +=的一个焦点， 所以244p p p -= 解得12p =或0p =（舍去）故选D【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的定义，属于基础题．9.已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中①当14t <<时，曲线C 一定是椭圆；②当4t >或1t <时，曲线C 一定是双曲线；③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<；④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >；正确的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】在①中， 2.5t =时，曲线C 是圆；②当4t >或1t <时，(4)(1)0t t --<；在③中，若曲线C是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩；在④中，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩． 【详解】解：由方程22141x y t t +=--的曲线为C ，知：在①中，当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆，比如 2.5t =时，曲线C 是圆，故①错误； ②当4t >或1t <时，(4)(1)0t t --<，曲线C 一定是双曲线，故②正确；在③中，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，故③正确；在④中，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故④正确．故正确的有3个. 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查圆锥曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．10.命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A. 1a ≤ B. 2a ≤C. 3a ≤D. 4a ≤【答案】A 【解析】 【分析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 11.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A.32B.12C.14D. 0【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)3,0,0B，)13,0,2B ，()0,1,0C ，向量)13,1,2A B =-u u u v ,()13,1,2B C =--u u u v，11cos ,A B B C u u u v u u u v 1111A B B C A B B C u u u v u u u vu u u v u u u v ⋅=⨯2222=⨯14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）51- B.31215+ 31+【答案】A 【解析】 【分析】根据90ABF ∠=︒可知1AB BF k k =-g ，转化成关于a ，b ，c 的关系式，再根据a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可得． 【详解】据题意，(),0A a -，()0,B b ，(),0F c ，90ABF ∠=︒Q ，1AB BFk k ∴=-g 即()00100b b a c --⨯=----，21b ac∴=即2b ac =.又222c a b =-Q ，220c a ac ∴-+=，同除2a 得210c c a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即210e e +-=12e ∴=（舍）或12e =.故选A .【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题． 二、填空题 13.抛物线214y x =-的准线方程是________ 【答案】1y = 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：24x y =- ∴抛物线准线方程为：1y = 故答案为1y =【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14.若()()2,3,,2,6,8a m b n ==v v，且,a b r r 为共线向量,则m n +的值为______.【答案】6 【解析】 【分析】根据两向量共线的坐标表示，列出方程求出,m n 的值，从而可得结果.【详解】()()2,3,,2,6,8a m b n ==v Q v，且,a b r r为共线向量,∴存在实数λ，使得λa b =r r，即22368n m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1224n m λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 则6m n +=，故答案为6.【点睛】本题主要考查向量共线的性质，属于简单题. 非零向量,a b r r共线的充要条件是存在实数λ使得λa b =r r.15.已知p:(x+2)(x-3)≤0,q:|x+1|≥2,若“p∧q”为真,则实数x 的取值范围是____. 【答案】[]1,3 【解析】 【分析】分别解出p ，q 的x 的范围，再利用命题“p∧q”为真即可得出 【详解】p ：（x+2）（x-3）≤0，解得-2≤x≤3． q ：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤-3． 命题“p∧q”为真，∴2313x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ，解得1≤x≤3．则实数x 的取值范围是[1，3]． 故答案为[1，3]．【点睛】本题考查了不等式的解法、复合命题真假的判定及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知两定点()()2020A B -，、，，点P 在椭圆2211612x y +=上，且满足2PA PB -=，则PA PB ⋅u u u r u u u r=_______. 【答案】9 【解析】【分析】设P(x ，y)，可得P 的轨迹方程为：22y x -=13（x ≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得22x =4y =9，，可得PA PB ⋅u u u v u u u v 的值.【详解】解：设P(x ，y)，由()()2020A B -，、，，2PA PB -=，可得点P 的轨迹是以点A 、B 为焦点的双曲线的右支，且2a=2，c=2，∴，∴P 的轨迹方程为：22y x -=13（x ≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得：2222y x -=1311612x y ìïïí+=ïïî， 可得22x =4y =9，， ∴PA PB ⋅u u u v u u u v =2(2)(2)x x y +-+=224x y -+=9,故答案：9.【点睛】本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求双曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题.三、解答题17.写出命题“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【答案】见解析【解析】试题分析：原命题是“若p 则q ”，逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”，互为逆否命题的命题是同真同假.试题解析：∵原命题是“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”，∴它的逆命题是：若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠，是真命题；否命题是：若2320x x -+=，则1x =或2x =，是真命题；逆否命题是：若1x =或2x =，则2320x x -+=，是真命题.18.设椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的焦点为())12F F 、，且该椭圆过点12⎫⎪⎭，.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，求0y 的值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）03y =± 【解析】【分析】(1)由题意布列关于a ，b 的方程组，即可得到椭圆C 的标准方程；(2)由垂直关系得到220030x y +-=又点()00M x y ，在椭圆C 上，即可解得0y 的值.【详解】(1)22121b⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，且223a b -=，解得 2241a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （若用定义先解出2a 也可，或用通径长解出基本量也可）（2）点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，则有120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v 且00y ≠，则()()2200000030x y x y x y -⋅-=+-=，，① 而点()00M x y ，在椭圆C 上，则220014x y +=② 联立①②消去20x ，得20103y =≠，所以03y =±. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，椭圆的几何性质，以及数量积的代数运算，属于基础题.19.已知圆221:(1)4C x y -+=，一动圆P 与直线12x =-相切且与圆C 外切． （1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过()1,0F 作直线l ，交（1）中轨迹E 于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）220x y +-=.【解析】【分析】（1）利用直接法，求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；（2）法一：由（1）得抛物线E 的焦点C （1，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法，求出线段AB 中点的纵坐标，得到直线的斜率，求出直线方程． 法二：设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与抛物线方程，设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理，求出m 即可．【详解】（1）设P （x ，y ），则由题意，|PC |﹣（x 12+）12=，=x +1，化简可得动圆圆心P 的轨迹E 的方程为y 2＝4x ；（2）法一：由（1）得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点C （1，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则2112224,4y x y x ⎧=⎨=⎩ 两式相减．整理得()211221214y y x x x x y y -=≠-+ ∵线段AB 中点的纵坐标为﹣1∴直线l 的斜率()21442,12AB k y y ===-+-⨯ 直线l 的方程为y ﹣0＝﹣2（x ﹣1）即2x +y ﹣2＝0.法二：由（1）得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点C （1，0）设直线l 的方程为x ＝my +1由241y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵线段AB 中点的纵坐标为﹣1 ∴()124122m y y --+==- 解得1,2m =- 直线l 的方程为112x y =-+即2x +y ﹣2＝0. 【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力，难度较小．20.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA 1C 1C ， AB=3，BC=5.（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（3）求点C 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）见解析；（2）1625；（3）125. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接转化成平面ABC⊥平面AA 1C 1C. (2)利用空间向量法求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值. (3)利用空间向量法求点C 到平面11A BC 的距离.试题解析：证明：（1）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC I 平面AA 1C 1C AC =，所以1AA ⊥平面ABC.（2）由（1）知，1AA ⊥AC, 1AA ⊥AB.由题意知3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,则()()()()1110,3,0,0,0,4,0,3,4,4,0,4B A B C .设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =r ，则1110,0.n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r 即340,40,y z x -=⎧⎨=⎩令3z =，则0,4x y ==，所以()0,4,3n r =.同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0m =r. 所以16cos,25m n m n m n ⋅==⋅r r r r r r . 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.（3）由（2）知平面11A BC 的法向量为()0,4,3n r =，()10,0,4CC =u u u u r所以点C 到平面11A BC 距离1·125C C n d n ==u u u u r r r . 点睛：本题主要是利用空间向量法解答，所以大家主要是在计算时要认真仔细，不要计算出错.。

2019-2020 年高二上学期期末考试理科数学含答案注意事项：1.答题前，请先将自己的姓名、考场、考号在卷首的相应位置填写清楚；2.选择题答案涂在答题卡上，非选择题用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） .1．在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a,b, c ，且 a 3b sin A ，则 sin BA.3B. 6C.3D.63332．抛物线 yx 2 焦点坐标是A ． ( 1，0)B ． ( 1 ， 0)C ． (0,1 ) D ． (0, 1 )44443．“ x 1”是“ x 2x ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．椭圆x 2y 21与双曲线x 2y 2 1有相同的焦点，则 a 的值是4 aa21B ．1 或－ 2C ．1 或1 D ． 1A ．225．若 A (x,5x,2 x1) ， B (1,x 2, x) ，当 AB 取最小值时，x 的值为A ．6B ．3C ．2D ． 16．下列命题中为真命题的是①“若 x 2y 2 0 ，则 x, y 不全为零” 的否命题； ②“等腰三角形都相似” 的逆命题； ③“若m1，则不等式x 2 2x m 0 的解集为”的逆否命题。

RA ．①B ．①③C ．②③D ．①②③7. 设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列，其公比为2，则2a 1 a 2 的值为2a 3 a 4A ． 1B ．1112C ．D ．488．设 A 是△ ABC 中的最小角，且cos Aa 1 ，则实数 a 的取值范围是a 1A ． a ≥ 3B ． a ＞－ 1C ．－ 1＜ a ≤ 3D ． a ＞ 09．已知方程 ax 2by 2 ab 和ax by c 0(其中 ab0, a b, c 0) ，它们所表示的曲线可能是A ．B ．C ．D ．10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1B 1C 1 D 1 中， M 和 N 分别为 A 1B 1 和 BB 1 的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值是2 3 10 2 A ．B ．C ．D ．5510511. 正方体 ABCD - A 1 B 1C 1D 1 中， BB 1 与平面 ACD 1 所成角的余弦值为A ．23 2 63B ．C ．D ．33312. 椭圆 x2y 21上有两点 P 、Q ，O 为原点，若 OP 、 OQ 斜率之积为1 ，16 4422则 OPOQ为A . 4B. 20C. 64D. 不确定2011—2012 学年度上学期期末模块质量调研试题高二（理）数学2012. 1第II 卷综合题（共90 分）题号二17 18 19 202122总分得分二、填空题 ：（本大题共 4 小题，每小题13．已知命题 p : xR ， sin x 1 ，则4 分，共 16 分．把正确答案填在题中横线上）p ： ____________.x2y21的离心率为 3 ，则两条渐近线的方程为________________. 14．若双曲线2b2a15．等差数列{a n}的前 n 项和为 S n,且a4a2 8 ， a3 a526.记T n S n，如果存在正整2n，T n M 都成立.则M的最小值是n数 M，使得对一切正整数.x y 5 016．若不等式组y a表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_______.0x2三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）在△ ABC 中，a,b, c分别为角 A，B， C所对的三边，a2(b c)2bc,（I）求角 A；（II）若b c 2，求 b 的值. sin B18．（本小题满分 12 分）设 { a} 是等差数列， {b } 是各项都为正数的等比数列，且a b 1 ， b1 b2a2，n n11b3是 a1与 a4的等差中项。

2019-2020学年度第一学期期末检测题高二理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）． A. 1 B. 2C. 3D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了..【详解】因为原命题”若3a >，则6a >”是假命题;所以其逆否命题也是假命题, 因为逆命题”若6a >,则3a >”是真命题.所以否命题也是真命题.所以命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个. 故选B .点睛】本题考查了四种命题,属基础题.2.若向量()a 1,1,2=-r ，()2,1,3b =-r ，则a b rr +=（ ）A.B. C. 3D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出a b +rr的坐标，再求模长即可.【详解】()3,0,1a b +=-r r 则a b r r +=故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.3.命题“存在x ∈R ，使得1ln 2x ≤成立”的否定是（ ） A. 对任意的x ∈R ，1ln 2x >成立 B. 对任意的x ∈R ，1ln 2x ≤成立 C. 存在x ∈R ，1ln 2x >成立 D. 不存在x ∈R ，使得1ln 2x >成立【答案】A 【解析】分析：利用特称命题的否定分析解答得解. 详解：由题得命题“存在x R ∈，使得1ln 2x ≤成立”的否定是：对任意的x R ∈，1ln 2x >成立.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题:p ,()x M p x ∃∈,特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝.4.对于实数a ，b ，则“a＜b ＜0”是“1ba<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可．【详解】若“0a b <<”即a b >，则“1b b aa =<”，故“0a b <<”是“1ba<”的充分条件， 若“1b a <”，假设13a b =-=，，则“1ba<”，得a b <且00a b <>，，故“0a b <<”是“1b a <” 的不必要条件；对于实数,a b ，则“0a b <<”是“1ba<”充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，是此类问题常用的思维方法，是基础题．5.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D.22143x y -= 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程可知b =；利用椭圆焦点坐标和双曲线中222c a b =+可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程.【详解】由双曲线渐近线方程知：b a =，即b = Q 椭圆221123x y +=焦点坐标为()3,0± 2229c a b ∴=+= 22594a a ∴+=，解得：24a = 22554b a ∴==∴双曲线C 的方程为22145x y -=故选：B【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于基础题. 6.给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p q 、均为假命题；②命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题；③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件； ④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件.其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】①：若“p 且q ”为假命题，则p q 、中至少有一个假命题，故①错误；②：若()221f x ax x =+-只有一个零点,则当0a =时,只有一个零点,或当0a ≠时22+40a ==V 即1a =-,故()221f x ax x =+-只有一个零点,有0a =或1a =-,故②不正确;③若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件，因为若q p p q ⌝⌝则的逆否命题为若则,所以若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；故③正确； ④：充分性：ABC ∆中，若A B >，则a>b ，根据正弦定理sin sin a b A B=，可得到sin sin A B > ，反之也成立，故④项正确.故选B.7.如图，,M N 分别是四面体OABC 的边,OA BC 的中点，P 是MN 的中点，设,OA a =u u u r r OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r 用,,a b c r r r表示OP uuu r ，则( )A. 111234OP a b c =++u u u r r r rB. 111244OP a b c =++u u u r r r rC. 111324OP a b c =++u u u r r r rD. 111444OP a b c =++u u u r r r r【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法和减法的运算，将OP uuu r表示为,,a b c r r r 的线性和的形式.【详解】依题意()()111244OP OM ON OA OB OC =+=++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111444a b c =++r r r，故选D. 【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查三角形中线对应向量的求法，属于基础题.8.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，则p = （ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12【答案】D 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点(,0)2p， 再由抛物线的焦点是椭圆2214x y p p +=的一个焦点得244p p p -=求解即可． 【详解】由抛物线22(0)y px p =>，所以抛物线的焦点为(,0)2p， 又因为抛物线的焦点是椭圆2214x y p p +=的一个焦点， 所以244p p p -= 解得12p =或0p =（舍去） 故选D【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的定义，属于基础题．9.已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中①当14t <<时，曲线C 一定是椭圆；②当4t >或1t <时，曲线C 一定是双曲线；③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<；④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >；正确的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】在①中， 2.5t =时，曲线C 是圆；②当4t >或1t <时，(4)(1)0t t --<；在③中，若曲线C是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩；在④中，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩． 【详解】解：由方程22141x y t t +=--的曲线为C ，知：在①中，当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆，比如 2.5t =时，曲线C 是圆，故①错误； ②当4t >或1t <时，(4)(1)0t t --<，曲线C 一定是双曲线，故②正确；在③中，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，故③正确；在④中，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故④正确．故正确的有3个. 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查圆锥曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．10.命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A. 1a ≤B. 2a ≤C. 3a ≤D. 4a ≤【答案】A 【解析】 【分析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 11.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A.3 B.12C.14D. 0【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B，()13,0,2B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-u u u v ,()13,1,2B C =--u u u v，11cos ,A B B C u u u v u u u v 1111A B B C A B B C u u u v u u u vu u u v u u u v ⋅=⨯2222=⨯14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A.51- B.31- C.15+ D.31+【答案】A 【解析】 【分析】根据90ABF ∠=︒可知1AB BF k k =-g ，转化成关于a ，b ，c 的关系式，再根据a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可得． 【详解】据题意，(),0A a -，()0,B b ，(),0F c ，90ABF ∠=︒Q ，1AB BFk k ∴=-g 即()00100b b a c --⨯=----，21b ac∴=即2b ac =.又222c a b =-Q ，220c a ac ∴-+=，同除2a 得210c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即210e e +-=12e ∴=（舍）或12e =.故选A . 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题．二、填空题13.抛物线214y x =-的准线方程是________ 【答案】1y = 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：24x y =- ∴抛物线准线方程为：1y = 故答案为1y =【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14.若()()2,3,,2,6,8a m b n ==v v，且,a b r r 为共线向量,则m n +的值为______.【答案】6 【解析】 【分析】根据两向量共线的坐标表示，列出方程求出,m n 的值，从而可得结果.【详解】()()2,3,,2,6,8a m b n ==v Q v，且,a b r r为共线向量,∴存在实数λ，使得λa b =r r，即22368n m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1224n m λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 则6m n +=，故答案为6.【点睛】本题主要考查向量共线的性质，属于简单题. 非零向量,a b r r共线的充要条件是存在实数λ使得λa b =r r.15.已知p:(x+2)(x-3)≤0,q:|x+1|≥2,若“p ∧q”为真,则实数x 的取值范围是____. 【答案】[]1,3 【解析】 【分析】分别解出p ，q 的x 的范围，再利用命题“p ∧q ”为真即可得出 【详解】p ：（x+2）（x-3）≤0，解得-2≤x≤3． q ：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤-3． 命题“p∧q”为真，∴2313x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ，解得1≤x≤3．则实数x 的取值范围是[1，3]． 故答案为[1，3]．【点睛】本题考查了不等式的解法、复合命题真假的判定及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知两定点()()2020A B -，、，，点P 在椭圆2211612x y +=上，且满足2PA PB -=，则PA PB ⋅u u u r u u u r =_______.【答案】9【解析】【分析】设P(x ，y)，可得P 的轨迹方程为：22y x -=13（x ≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得22x =4y =9，，可得PA PB ⋅u u u v u u u v 的值.【详解】解：设P(x ，y)，由()()2020A B -，、，，2PA PB -=，可得点P 的轨迹是以点A 、B 为焦点的双曲线的右支，且2a=2，c=2，∴∴P 的轨迹方程为：22y x -=13（x ≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得：2222y x -=1311612x y ìïïí+=ïïî， 可得22x =4y =9，， ∴PA PB ⋅u u u v u u u v =2(2)(2)x x y +-+=224x y -+=9,故答案：9.【点睛】本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求双曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题.三、解答题17.写出命题“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【答案】见解析【解析】试题分析：原命题是“若p 则q ”，逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”，互为逆否命题的命题是同真同假.试题解析：∵原命题是“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”，∴它的逆命题是：若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠，是真命题；否命题是：若2320x x -+=，则1x =或2x =，是真命题；逆否命题是：若1x =或2x =，则2320x x -+=，是真命题.18.设椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的焦点为())12F F 、，且该椭圆过点12⎫⎪⎭，.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，求0y 的值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）0y = 【解析】【分析】(1)由题意布列关于a ，b 的方程组，即可得到椭圆C 的标准方程；(2)由垂直关系得到220030x y +-=又点()00M x y ，在椭圆C 上，即可解得0y 的值.【详解】(1)22121b⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，且223a b -=，解得 2241a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （若用定义先解出2a 也可，或用通径长解出基本量也可）（2）点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，则有120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v且00y ≠，则()()2200000030x y x y x y -⋅-=+-=，，① 而点()00M x y ，在椭圆C 上，则220014x y +=② 联立①②消去20x ，得20103y =≠，所以0y =. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，椭圆的几何性质，以及数量积的代数运算，属于基础题.19.已知圆221:(1)4C x y -+=，一动圆P 与直线12x =-相切且与圆C 外切． （1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过()1,0F 作直线l ，交（1）中轨迹E 于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）220x y +-=.【解析】【分析】（1）利用直接法，求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；（2）法一：由（1）得抛物线E 的焦点C （1，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法，求出线段AB 中点的纵坐标，得到直线的斜率，求出直线方程． 法二：设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与抛物线方程，设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理，求出m 即可．【详解】（1）设P （x ，y ），则由题意，|PC |﹣（x 12+）12=，=x +1，化简可得动圆圆心P 的轨迹E 的方程为y 2＝4x ；（2）法一：由（1）得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点C （1，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则2112224,4y x y x ⎧=⎨=⎩ 两式相减．整理得()211221214y y x x x x y y -=≠-+ ∵线段AB 中点的纵坐标为﹣1∴直线l 的斜率()21442,12AB k y y ===-+-⨯ 直线l 的方程为y ﹣0＝﹣2（x ﹣1）即2x +y ﹣2＝0.法二：由（1）得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点C （1，0）设直线l 的方程为x ＝my +1由241y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵线段AB 中点的纵坐标为﹣1 ∴()124122m y y --+==- 解得1,2m =- 直线l 的方程为112x y =-+即2x +y ﹣2＝0. 【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力，难度较小．20.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA 1C 1C ， AB=3，BC=5.（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（3）求点C 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）见解析；（2）1625；（3）125. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接转化成平面ABC⊥平面AA 1C 1C. (2)利用空间向量法求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值. (3)利用空间向量法求点C 到平面11A BC 的距离.试题解析：证明：（1）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC I 平面AA 1C 1C AC =，所以1AA ⊥平面ABC.（2）由（1）知，1AA ⊥AC, 1AA ⊥AB.由题意知3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,则()()()()1110,3,0,0,0,4,0,3,4,4,0,4B A B C .设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =r ，则1110,0.n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r 即340,40,y z x -=⎧⎨=⎩ 令3z =，则0,4x y ==，所以()0,4,3n r =.同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0m =r. 所以16cos ,25m n m n m n ⋅==⋅r r r r r r . 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.（3）由（2）知平面11A BC 的法向量为()0,4,3n r =，()10,0,4CC =u u u u r所以点C 到平面11A BC 距离1·125C C n d n ==u u u u r r r . 点睛：本题主要是利用空间向量法解答，所以大家主要是在计算时要认真仔细，不要计算出错.。