振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)

2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案1. 圆筒质量m 。

质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其固有频率。

（10分）解：令t A xt A x ωωωcos ,sin == t A xrJ m xr J m rxJ x m J x m T o o o o ωωθ22222222222cos )(21)(21)(21212121 +=+=+=+=t kA kx U ω222sin 2121==222222max max /21)(21r J m kkA A xr J m U T o o +==+∴=ωω2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。

（10分）)(t2x xm 11x k(t P 22x k解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形对m 列运动微分方程： 022=+x k xm (2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3)由(3)式可以得出：1221)(k x k t P x +=将上式代入(1)式可得出：2112)(k k xk t P x ++-=将上式代入(2)式可得出：0)(2122121=+-++t P k k k x k k k k xm令mk k k k k k e e e =+=ω,2121，有t k k k P t P k k k x k xm e ωsin )(2120212+=+=+t k P t k k k k P x eee ωωωωωωsin )(11sin )(11121022120-⋅=-⋅⋅+=∴3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。

（10分）解：对物体m 列运动微分方程，有：0)(1=--+x x k x c xm 即：t kA kx x c xm ωsin =++ t Aωsin 1=xm )x -其稳态响应为：)sin()2()1(1222θωξ-+-⋅=t s s k kA x其中，20012arctan ,2,,s skmc m k s -====ξθξωωω4. 如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。

在梁的a 位置作用有集中载荷)(t F 。

已知梁的初始条件为零。

求解梁的响应。

（假定已知第i 阶固有频率为i ω，相应的模态函数为)(x i φ，∞=~1i ）（20分）解：悬臂梁的运动微分方程为：),(2244t x f t yS x y EI =∂∂+∂∂ρ （1） 其中：)()(),(a x t F t x f -=δ(2)令：∑∞==1)()(),(i i i t q x t x y φ(3)代入运动微分方程，有：),()(11t x f q S q EI i i i i i i =+''"∑∑∞=∞= φρφ (4)上式两边乘)(x j φ，并沿梁长度对x 进行积分，有：⎰∑⎰∑⎰=+''"∞=∞=L j i L j i i i L j i i dx t x f dx S q dx EI q 011),()(φφφρφφ(5)利用正交性条件，可得：)()()(2t Q t q t q j j j j =+ω(6) 其中广义力为：)()()()()()(00a t F dx a x t F dx t f t Q j Lj Lj j φφδφ=-==⎰⎰(7)由式（6），可得： ⎰⎰-=-=Lj j jL j j jj d t F a d t Q t q 0)(sin )()(1)(sin )(1)(ττωτφωττωτω （8）利用式（3），梁的响应为：∑⎰∑∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==101)(sin )()(1)()()(),(i Lj j j i i i i d t F a x t q x t x y ττωτφωφφ (9)5. 两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。

（20分）解：杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为：3211l m J =，2222222487)4(12l m l m l m J =+=使用影响系数法计算系统刚度阵（1）如图（1）所示，令11=θ，02=θ，对杆1和杆2分别需要施加弯矩11M ，21M 分别为：211111694343l k l l k M =⋅⋅=211211694343l k l l k M -=⋅⋅-=（2）如图（2）所示，令01=θ，12=θ，对杆1和杆2分别需要施加弯矩12M ，22M 分别为：211121694343l k l l k M -=⋅⋅-=222111224116921214343l k l k l l k l l k M +=⋅⋅+⋅⋅=因此，系统刚度阵和质量阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=222121212141169169169169l k l k l k l k l k K ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2221487003l m l m M因此，系统运动方程为04116916916916948700321211112212221=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθk k k k k l l m l m6. 如图所示量自由度系统。

（1）求系统固有频率和模态矩阵，并画出各阶主振型图形；（2）当系统存在初始条件⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0210)0()0(x x x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00)0()0(21x x 时，试采用模态叠加法求解系统响应。

（20分）解答：运动微分方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0022002121x x k kk k x x m m令主振动为)sin(2121ϕωφφ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t x x ，或直接采用0)(2=-φωM K ，有： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----00222122φφωωm k kk m k设2ωαkm =，有： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----00211221φφαα 由02112=----αα，得出： 3,121==αα因此，有：m k =1ω，mk 32=ω 先将11=α代入，有：⎩⎨⎧=+-=-02121φφφφ 令12=φ，则有11=φ，因此第一阶模态为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11)1(φ同样将32=α代入，令12=φ，有11-=φ，因此第二阶模态为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)2(φ所以，模态矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ1111令p X X Φ=，原微分方程变为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00600220022121p p p p x x k k x x m m模态空间的初始条件为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ=-2/2/02/12/12/12/1)0()0(0001x x x X X p ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡===-00)0()0(1X X p Φ 因此可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====t m k x t x x t m kx t x x p p p p 3cos 2cos )0(cos 2cos )0(02220111ωω所以，有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=Φ=)3cos (cos 2)3cos (cos 200t mk t m k x t m k t m kx X X p7. 如图所示等截面梁，长度为l ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。

集中质量m ，卷簧刚度1k ，直线弹簧刚度2k 。

写出系统的动能和势能表达式，系统质量阵和刚度阵表达式。

(10分)解答： 动能：质量阵：势能：202),(21),(21⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰t t x y m dx t t x y S T a l ρq M M q )(2110+=T n n l T Rdx S ⨯∈=⎰00ΦΦM ρn n a T a R x x m ⨯∈=)]([)]([1ΦΦM ),(21),(21),(2122210222t x y k x t x y k dx x t x y EI V c b l +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰q K K K q )(21210++=T10M M M +=刚度阵：nn lT R dx EI ⨯∈''''=⎰0ΦΦK nn b b T R x x k ⨯∈''=)()(11ΦΦK nn c c T R x x k ⨯∈=)()(22ΦΦK 210K K K K ++=。