2008年振动力学期末考试试题
大学期末考试
第一题（20分）
1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，
匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量
m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为
系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振
时的固有频率。
解：
系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。
AB转角：
系统动能：
m1动能：
m2动能：
m3动能：
系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：
上式求导，得系统的微分方程为：
固有频率和周期为：
2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘
上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量
为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平
弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自
弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固
有频率。
解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。
物体B动能：
轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能：
系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：
上式求导得系统的运动微分方程：
固有频率为：
第二题（20分）
1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，
每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运
动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，
建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。
解：
系统为二自由度系统。
当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k
当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k
因此系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
频率方程为：
解出系统2个固有频率：
，
2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，
弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，
杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，
试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微
振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。
解：
系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和
x2为系统的广义坐标。
当x1＝1，x2＝0时，AD转角为，
两个弹簧处的弹性力分别为和。对
D点取力矩平衡，有：；另外有。
同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：
，
因此，系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
频率方程为：
即：
第三题（20分）
在图示振动系统中，已知：物体
的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、
k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法
建立系统的振动微分方程；（2）若
k1= k3=k4= k0，又k2=2 k0，求系统固
有频率；（3）取k0=1，m1=8/9，m2=1，
系统初始位移条件为x1(0)=9和
x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。
解：
（1）系统可以简化为二自由度振动系统。
当x1＝1，x2＝0时，有：
k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2
当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
（2）当，时，运动微分方程用矩阵表示为：
频率方程为：
求得：
（3）当k0=1，m1=8/9，m2 =1时，系统质量阵：
系统刚度阵：
固有频率为：
，
主模态矩阵为：
主质量阵：
主刚度阵：
模态空间初始条件：
，
模态响应：
，
即：
，
因此有：
第四题（20分）
一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支
承，弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x
方向作用有简谐外部激励。图示水平位置为
静平衡位置。（1）以x和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1 =1，k2 =3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少时，能够使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动？
解：
（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、θ为广义坐标，x为质心的纵向位移，θ 为刚杆的角位移，如图示。
当、时：
，
当、时：
，
因此，刚度矩阵为：
质量矩阵为：
系统动力学方程：
（2）当m=12，L =，k 1 =1，k 2 =3时，系统动力学方程为：
频率方程为：
即：
求得：
（3）令，代入上述动力学方程，有：
由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有：
，
要使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动，则需，因此。
