第一讲-坐标系

第一讲：坐标系 1.坐标系的种类（直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系）2.直角坐标系的运用（实现了数形结合，用坐标法研究几何位置形状等问题）【例1（课本）】一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程【练习】用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。

3.平面直角坐标系中的伸缩变换定义：_____________________________________________________________.【例2（课本）】在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后的图形。

（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=【练习】 1、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。

2、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为4.极坐标系：（1）实用背景（2）极坐标系定义__________________________________________(3)相关概念：__________________叫极径_______________极角____________极坐标考点一：由点的位置确定极坐标例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）A （4，0）B （2 ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。

第1讲坐标系种类及坐标转换在数学和物理学中，坐标系是用于表示和定位点的一组数学规则。

它可以帮助我们在平面或空间中精确地描述和测量位置、方向和距离。

坐标系通常由坐标轴和原点组成，坐标轴是一条直线，它们与原点形成直角。

有多种类型的坐标系，每一种都有特定的用途和应用。

以下是常见的几种坐标系：1.直角坐标系：直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系。

它由两条垂直的坐标轴和一个原点组成。

坐标轴可以是水平的x轴和垂直的y轴，或者在三维空间中可以加上一个垂直的z轴。

直角坐标系使用(x,y,z)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。

2.极坐标系：极坐标系用于描述平面上的点，它由一个原点和一个角度和距离组成。

极坐标系以原点为中心，用一个角度（通常用弧度表示）表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，用一个距离表示点与原点之间的距离。

极坐标系使用(r,θ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线之间的角度。

3.柱坐标系：柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个角度、一个距离和一个高度组成。

柱坐标系类似于极坐标系，但增加了一个垂直的z轴来表示高度。

柱坐标系使用(r,θ,z)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的水平距离，θ表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，z表示点的高度。

4.球坐标系：球坐标系也是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个纬度、一个经度和一个距离组成。

球坐标系使用(r,θ,φ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线（通常是z轴）之间的纬度，φ表示点在参考平面上的经度。

在不同的坐标系之间进行转换时，我们需要使用特定的转换公式。

以直角坐标系和极坐标系为例，我们可以使用以下公式进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些公式使我们能够在不同坐标系之间相互转换，并确保保持位置的准确性。

平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．点的坐标：如右图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为()a b ，．点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来象限和轴：横轴（x 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0x =；第一象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩； 第二象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩； 第三象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩【引例】已知()32A -，、()32B --，、()32C -，为长方形的三个顶点，⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A 、B 、C 三点；⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点D ，并写出它的坐标；⑶ 描点后并进一步判断点A 、B 、C 、D 分别在哪一象限？⑷ 观察A 、B 两点，它们的坐标有何特点？B 与C 呢？A 与C 呢？【解析】 ⑴ 如右图所示；⑴ ()32D ，；⑴ A ：第二象限；B ：第三象限；C ：第四象限；D ：第一象限 ⑴ A 、B 坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于x 轴对称． B 、C 坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数， 位置特点：关于y 轴对称．A 、C 坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．【例1】 ⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为()12--，，“相”所在位置的坐标为()22-，，那么“炮”所在位置的坐标为 ． ⑴ 由坐标平面内的三点()()()113113A B C -，，，，，构成的ABC △是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形⑶ 若规定向北方向为y 轴正方向，向东方向为x 轴正方向，小明家的坐标为()12，，小丽家的坐标为()21--，，则小明家在小丽家的（ ）A ．东南方向B ．东北方向C ．西南方向D ．西北方向⑷ 已知点M ()34a a +-，在y 轴上，则点M 的坐标为 ． ⑸ 方格纸上A B 、两点，若以B 点为原点，建立平面直角坐标系，则A 点坐标为()34，，若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点坐标为（ ）A ．()34--，B ．()34-，C ．()34-，D ．()34，【解析】 ⑴()31-，； ⑴B ； ⑴ B ； ⑴ ()07，；⑴ A ．【例2】 ⑴ 如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ）A ．102m <<B ．102m -<<C ．0m <D ．12m >（人大附中期中）⑵ 已知点()391M a a --，在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．0 （一五六中学期中）⑶ 已知点()23A a b -，在第一象限，点()43B a b --，在第四象限，若a b ，都为整数，则2a b += ．（人大附中期中）⑷ 已知点()381P a a --，，若点P 在y 轴上，则点P 的坐标为 ；若点P 在第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为 ．（四中期中）⑸ 如果点()A a b ，在第二象限，则点()221B a b -++，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑴ 设()3,a ab 在第三象限，则：① (),a b 在第 象限；② ,a a b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第 象限； ③ ()3,b a b -在第 象限.【解析】 ⑴D ； ⑵ B ； ⑶ 7或8； ⑷ 503⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()21-，； ⑸A ； ⑹由题意知0,0a b <>，答案依次为：一；三；一.【例3】 ⑴ 对任意实数x ，点()22P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 点()11P x x -+，，当x 变化时，点P 不可能在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四（四中期中） ⑶ 证明：①点()22m n ，不在第三、四象限；②点()2122m m ++，不在第四象限．【解析】 ⑴ C ；⑵ D ；⑶ ①∵20n ≥，∴点()22m n ，不在第三、四象限；② 若210220m m +>⎧⎨+<⎩，不等式组无解， ∴点()2122m m ++，不在第四象限. 【点评】 “不存在类问题”需要对点坐标进行正负分析．【变式】平面直角坐标系内，点(),1A n n -一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 C【点评】 本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等式组的问题．。

第一讲 坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ (λ>0)，y ′＝ (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称__________． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个______O ，叫做极点；自极点O 引一条______Ox ，叫做极轴；再选定一个______单位、一个______单位(通常取______)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的______叫做点M 的极径，记为____；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角______叫做点M 的极角，记为____．有序数对______叫做点M 的极坐标，记为______．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ____0，θ可取__________． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与______________表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为______________．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有______种表示．如果规定ρ>0，________，那么除______外，平面内的点可用______的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是______确定的．3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为______，x 轴的正半轴作为______，并在两种坐标系中取相同的__________．(2)互化公式：如图所示，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别是(3，π3)，(4，－π6)，则△AOB 为________三角形．2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．3．(课本习题改编)极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 4．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________.题型一 平面直角坐标系中的伸缩变换例1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；(3)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得到的曲线C ′的焦点坐标．椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程为________．题型二 极坐标与直角坐标的互化例2 (2012·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.(2013·北京)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 题型三 求曲线的极坐标方程例3 已知P ，Q 分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上，∠AOB ＝π3，△POQ 的面积为8，则PQ 中点M 的极坐标方程为________．(1)(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.(2)(2012·江苏改编)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为________．转化与化归思想在坐标系中的应用典例：(5分)(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．方法与技巧1．我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P ′(x ′，y ′)是变换图形后的点的坐标，P (x ，y )是变换前图形的点的坐标．注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆．2．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．3．如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可． 失误与防范极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.A 组 专项基础训练1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 2．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________．3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x 2＋y 2＝16变换为椭圆x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是________．4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________． 5．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．6．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝π4对称的直线极坐标方程为________．7．在极坐标系中，曲线ρ＝a sin θ与ρ＝a cos θ(a >0，ρ>0,0≤θ<π)的交点的极坐标为________． 8．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________． 9．(2012·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．10．在极坐标系中，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C 1：ρ＝4sin θ的异于极点的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝8sin θ的异于极点的交点为B ，则|AB |＝________.B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．2．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________． 3．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)与直线ρsin(θ＋π6)＝1的两个交点之间的距离为________．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，则|PQ |的最大值为________．5．圆心为C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为______________________． 6．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .则线段MN 的长为________．7．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且OA ＝OB ，则点B 的直角坐标为________．答案基础知识自主学习 要点梳理1．λ·x μ·y 伸缩变换2．(1)定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 (2)距离|OM | ρ xOM θ (ρ，θ) M (ρ，θ) ≥ 任意实数(3)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z ) (0，θ)(θ∈R ) 无数 0≤θ<2π 极点 惟一 惟一3．(1)极点 极轴 长度单位 (2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 yx(x ≠0) 4．ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2) ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R ) θ＝π＋α(ρ∈R )(2)θ＝π＋αρcos θ＝a (－π2<θ<π2) ρsin θ＝a (0<θ<π)夯基释疑1．直角 2.43 3.x 2＋y 2－2x －y ＝0 4.(2，π6)，(2，5π6)题型分类深度剖析例1 解 (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于A (x ，y )为(13，－2)，∴x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′的坐标为(1，－1)．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×(13x ′)，即y ′＝x ′，∴直线l ′的方程为y ＝x .(3)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1.可见曲线C ′仍为双曲线，且焦点坐标为F 1(－5,0)、F 2(5,0)．跟踪训练1 x 2＋y 2＝1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.例222解析 将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 跟踪训练2 1解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1. 例3 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)(0<θ<π3)解析 建立如图所示极坐标系，设动点M 坐标为(ρ，θ)(0<θ<π3)．P 、Q 两点坐标分别为(ρ1,0)，(ρ2，π3)．则有12ρ1ρ2sin π3＝8，①12ρρ1sin θ＝4，② 12ρρ2sin(π3－θ)＝4，③ ②×③得：14ρ2ρ1ρ2sin θsin(π3－θ)＝16，④由①得ρ1ρ2＝323代入④得 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)(0<θ<π3)，即为所求极坐标方程．跟踪训练3 (1)1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ解析 如图，设P (ρ，θ)为直线上任一点， 在△OPM 中，|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 56π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρ12.∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，即f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.(2)ρ＝2cos θ解析 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 练出高分 A 组 1.⎝⎛⎭⎫1，－π2 解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 2．ρcos θ＝1解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，其极坐标方程为ρcos θ＝1.3.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14xy ′＝y解析 设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (λ>0)代入x ′2＋y ′216＝1，得(λx )2＋(μy )216＝1，即16λ2x 2＋μ2x 2＝16.与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1，即所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y . 4. 3解析 极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫2，π3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)． ∴所求两点间的距离为(1－1)2＋(3－0)2＝ 3. 5．(－33，－3)解析 点M 的直角坐标为x ＝ρcos θ＝6cos116π＝33，y ＝ρsin θ＝6sin 116π＝－3.即M (33，－3)，所以它关于y 轴对称的点为(－33，－3)． 6．ρsin θ＝2解析 直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2， 直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，所以所求的直线方程为y ＝2. 其极坐标方程为ρsin θ＝2. 7．(2a 2，π4) 解析 两式相除得tan θ＝1⇒θ＝π4⇒ρ＝a sin π4＝2a 2.8．相离解析 直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为r ＝1，圆心到直线的距离d ＝22＝2>1.故直线与圆相离． 9. 3解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32. ∴弦长为2×32＝ 3. 10．2 3解析 将射线与曲线C 1的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝4sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝23，故点A 的极坐标为(23，π3)， 同理由⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝8sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ＝43，可得点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，π3， 所以|AB |＝43－23＝2 3.B 组1．－8或2解析 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.2．ρcos θ＝3解析 由ρ＝6cos θ得，ρ2＝6ρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.3．2 3解析 由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线ρ＝4cos(θ－π3)对应的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝4，直线ρsin(θ＋π6)＝1对应的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小，由垂径定理可求得弦长为23，即两交点之间的距离为2 3.4．18解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6解析 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.6．2解析 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x .把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，∴y 1＝0，y 2＝1.∴|MN |＝(3)2＋1＝2.即线段MN 的长为2.7．(6－2，6＋2)解析 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos 5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2.。