高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介导学案新人教A版选修44

四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。

选修4-4 第一讲 坐标系
1.4.1 柱坐标系
【学习目标】
记住在柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法； 能把柱坐标与直角坐标点的坐标互化。

在圆形体育场内,如何确定看台上某个座位的位置.体会柱坐标系在解决相关实际问题的便利.
【文本研读】
1. 阅读范围： 选修4—4柱坐标系与球坐标系简介：柱坐标系P16---P17。

2. 学习要求： 体会柱坐标系的建立；对条件的限制在实际运用中能注意到；记住转换公式。

3．知识拓展： 复习在直角坐标系中点的确立。

【情境链接】
建立一个空间直角坐标系，并标明点P （1,1,1）的位置。

【问题探究】
问题1.写出柱坐标系的定义。

（特别要注意条件）
问题2.写出空间点P 的直角坐标系（x,y,z ）与柱坐标
)z ，，（θρ之间的变换公式。

练习1.点A 的柱坐标是)7,6
,2(π
，则它的直角坐标是什么？
练习2.点B 的直角坐标是)222,2(，
-，则它的柱坐标是什么？
【实战演练】（要求：严格进行板书）
1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标：)3,3
2,
4(),1,6
,2(-π
π
Q P .
2.建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.
3.点A 的柱坐标是)4,6
,2(π
-，则它的直角坐标是什么？
4.点P 的直角坐标是)3,3,3(--，则它的柱坐标是什么？。

人教版高中数学选修 4-4 同步辅导第一讲 坐标系四、柱坐标系与球坐标系简介A 级基础巩固一、选择题1．空间直角坐标系 Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是 ( )A. 1， π，2B. 2， π，02 3C. ， π ， πD. 3 ， π ， π3 4 66 2π解析：由 P(ρ，θ，z)，当 θ＝ 2 时，点 P 在平面 Oyz 内． 答案： AM1， π π，则它的直角坐标为 () ．已知点 的球坐标为， 2 3 6A. 1， π πB. 3 3 1 3， 6 4，4 ，23 3 1 33 3 C. 4， 4，2 D.4 ，4，2 解析：设点 M 的直角坐标为 (x ，y ，z)，π π因为点 M 的球坐标为 1，3，6 ，ππ 3 所以 x ＝1·sin 3cos 6＝4，ππ3y ＝1·sin 3sin 6＝ 4 ，π 1z ＝1·cos 3＝ 2.33 1所以 M 的直角坐标为 4， 4 ，2 .答案： B3．设点 M 的直角坐标为 (2，0，2)，则点 M 的柱坐标为 ()A ．(2， 0，2)B ．(2，π，2)C ．( 2，0，2)D ．( 2，π，2)解析：设点 M 的柱坐标为 (ρ， θ，z)，所以 ρ＝ x 2＋y 2＝2，tan θ＝y＝0，x所以 θ＝0，z ＝2，所以点 M 的柱坐标为 (2，0，2)．答案： A4．在空间直角坐标系中的点M(x ， y ，z)，若它的柱坐标为π)3，，3 ，则它的球坐标为 (3π πB. 3π πA. 3， ，4 2， ， 43 3π π D. 3 2， π πC. 3， ，3 4 ， 34解析：因为 M 点的柱坐标为 π，设点 M 的直角坐标 M 3， ， 33为(x ，y ， z)．π 3π 3 3所以 x ＝3cos 3＝2，y ＝3sin 3＝2 ，z ＝3，3 3 3所以 M 点的直角坐标为 2， 2 ，3 .设点 M 的球坐标为 (γ， φ，θ)．γ是球面的半径，φ为向量 OM 在 xOy 面上投影到 x 正方向夹角，θ为向量 OM 与 z 轴正方向夹角．所以 r＝9＋27＋9＝3π2，容易知道φ＝，同时结合点 M 的4433 3 3直角坐标为2，2，3 ，z32可知 cosθ＝＝＝，π所以θ＝4，π π所以 M 点的球坐标为 3 2，3，4 .答案： B5．在直角坐标系中，点 (2，2，2)关于 z 轴的对称点的柱坐标为()，3π，πA. 2，2B. 2，22424，5π，7πC. 2，2D. 22，2244解析： (2， 2，2)关于 z 轴的对称点为 (－2，－ 2，2)，（－2）2＋（－2）2＝2 2，tanθ＝y＝－2＝1，x －2因为点 (－2，－ 2)在平面 Oxy 的第三象限内，5π所以θ＝4，5π所以所求柱坐标为 2 2，4，2 .答案： C二、填空题π 3π6．已知点 M 的球坐标为 4，4，4，则它的直角坐标为 _______，它的柱坐标是 ________．答案：－，，，3π22)2，2 2(2224．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为2，2π，5，且点 M73在数轴 Oy 上的射影为 N，则 |OM|＝________，|MN |＝________．解析：设点 M 在平面 Oxy 上的射影为 P，连接 PN，则 PN 为线段MN 在平面 Oxy 上的射影．因为 MN ⊥直线 Oy，MP⊥平面 Oxy，所以 PN⊥直线 Oy.2π所以 |OP|＝ρ＝2，|PN|＝ρcos 3＝1，所以 |OM|＝ρ2＋z2＝22＋（5）2＝3.在Rt△MNP 中，∠ MPN ＝90°，所以 |MN|＝ |PM|2＋|PN|2＝（5）2＋12＝ 6.答案： 36．已知点M 的球坐标为，π，3π，则点 M 到 Oz 轴的距离8444为________．解析：设点 M 的直角坐标为 (x，y，z)，π3π则由 ( r，φ，θ)＝4，4，4，π3π知x＝4sin4 cos 4＝－ 2，π3πy＝4sin4 sin 4＝2，πz＝4cos4＝2 2，所以点 M 的直角坐标为 (－2， 2，2 2)．故点 M 到 Oz 轴的距离为（－ 2） 2＋22＝2 2.答案： 2 2三、解答题9．设点 M 的直角坐标为 (1，1，2)，求点 M 的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝ x 2＋y 2＝ 2，ytan θ＝x ＝1，πθ＝ 4(点 1，1)在平面 xOy 的第一象限．r ＝ x 2＋y 2＋z 2＝ 12＋12＋（ 2）2＝2.2 2 π由 rcos φ＝z ＝ 2(0≤φ≤π)，得 cos φ＝ r ＝2 ，φ＝4.π 2 ，球坐标为 π π所以点 M 的柱坐标为2， 4， 2，4， 4 . ．在柱坐标系中，点 M 的柱坐标为 2，2π， 5 ，求点 M 到 10 3原点 O 的距离．解：设点 M 的直角坐标为 (x ， y ，z)． 由 ρ，θ， ＝ ，2π，5 知(z)2 32 2 3，x ＝ ρcos θ＝2cosπ＝－ 1，y ＝2sin π＝33因此 |OM|＝x 2＋y 2＋z 2＝ （－ 1）2＋（ 3）2＋（ 5）2＝3.B 级能力提升1．空间点 P 的柱坐标为 (ρ，θ，z)，点 P 关于点 O(0， 0，0)的对称点的坐标为 (0<θ≤π)()人教版高中数学选修4-4 同步辅导A．(－ρ，－θ，－ z) C．(ρ，π＋θ，－ z)B．(ρ，θ，－ z) D．(ρ，π－θ，－ z)解析：点 P(ρ，θ，z)关于点 O(0，0， 0)的对称点为 P′(ρ，π＋θ，－ z)．答案： C2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为 Oxy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为Ozx 坐标面，如图所示，若某地在西经 60°，南纬 45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为 ________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为3π5π，，.R433π5π答案： R，4，3ρ＝1，3．在柱坐标系中，求满足0≤θ<2π，的动点 M （ρ，θ，z）围0≤z≤ 2成的几何体的体积．解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π， 0≤z≤2 的动点 M (ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线 Oz 为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径 r＝1，h＝2，人教版高中数学选修4-4 同步辅导所以 V＝Sh＝π r2h＝ 2π.。

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四柱坐标系与球坐标系简介错误!1．柱坐标系（1)定义:建立空间直角坐标系Oxyｚ。

设P是空间任意一点,它在Oｘy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)（ρ≥0，0≤θ＜２π）表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点Ｐ的位置可用有序数组(ρ,θ,ｚ)(ｚ∈R)表示，这样,我们建立了空间的点与有序数组（ρ，θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P（ρ,θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜２π,z∈R。

(2）空间点Ｐ的直角坐标（x,ｙ，z)与柱坐标（ρ,θ，z）之间的变换公式为错误!２．球坐标系（1）定义：建立空间直角坐标系Oxｙz,设P是空间任意一点，连接OＰ,记|ＯP|＝r，ＯP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Ｏｘy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到ＯＱ时所转过的最小正角为θ。

这样点P的位置就可以用有序数组（r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组（r，φ，θ）之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系）,有序数组（r,φ,θ）叫做点Ｐ的球坐标,记作Ｐ(ｒ，φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π．(2)空间点Ｐ的直角坐标(ｘ,y，z）与球坐标(r,φ,θ）之间的变换关系为错误!错误!柱坐标与直角坐标的互相转化［例1］(1)设点A的直角坐标为(1,错误!,5)，求它的柱坐标.(２)已知点P的柱坐标为错误!，求它的直角坐标.［思路点拨］直接利用公式求解.[解］（1)由变换公式错误!即ρ2=１2+(3)2＝4,∴ρ＝２．tａn θ＝错误!=错误!，又ｘ＞0,y＞０,点Ａ在第一象限.∴θ=错误!，∴点A的柱坐标为错误!。

1.2.1极坐标系的的概念学习目标1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.学习过程一、学前准备情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 二、新课导学◆探究新知（预习教材P 8～P 10，找出疑惑之处）1、如右图，在平面内取一个 O ，叫做 ； 自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通常取 方向），这样就建立了一个 。

2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。

有序数对 叫做点M 的 ，记作 。

3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ ___________________________________________. ◆应用示例例题1：(1)写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>.（2）：思考下列问题，给出解答。

①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ⑤本题点G 的极坐标统一表达式。

答：◆反馈练习小结：在平面直角坐标系中，一个点对应 个坐标表示，一个直角坐标对应 个点。

极坐标系里的点的极坐标有 种表示，但每个极坐标只能对应 个点。

三、总结提升1．已知5,3M π⎛⎫⎪⎝⎭，下列所给出的能表示该点的坐标的是A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．55,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )A 、),(θρB 、),(θρ-C 、),(πθρ+D 、),(θπρ-(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3A B C D E F G ππππππ。

高中数学选修4­4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P2.微信公众号：学设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcos θ，＝ρsin θＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x 2＋y 2，θ＝yx（x ≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：微信公众号：学圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．微信公众号：学四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．微信公众号：学第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数微信公众号：学其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．微信公众号：学(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线lt 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．微信公众号：学(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．微信公众号：学。