2021-2022年高三理科数学§12.1 随机事件、古典概型与几何概型

田家炳中学高三年级理科数学概率之古典概型与几何概型1.古典概型的特点：(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的P （件的个数样本空间包含的基本事包含的基本事件的个数随机事件A )=A求解关键：（1）正确列举基本事件的种数（树型状法、坐标法，列表法等），在对事件的操作上注意把握好合理的分类讨论，避免在“有序与无序” 、“有无放回”等问题上出现多取和漏取；（2）当所要列举的对象不明确时，应该先设出不同的符号表示不同的对象，以便于列举表示；如果每个基本事件所包含的对象在三个以上，有时采用正难则反的方法进行列举。

1.我校要在a ，b ，c ， 的晚自习值班工作（安排每人是等可能的，每天只安排一人）。

（1） 共有多少种安排方法？（2） 其中a ，d 两人都被安排的概率是多少？（3） a ，d 两人中至少有一人被安排的概率是多少？2.先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．（Ⅰ）求点),(y x P 在直线1-=x y 上的概率；（Ⅱ）求点),(y x P 满足x y 42<的概率．3.已知实数{},2,1,1,2a b ∈--（1）求直线y ax b =+不经过第四象限的概率;（2）求直线y ax b =+与圆221x y +=有公共点的概率。

4.某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取 多少名？几种常见的几何概率模型几何概型是高中阶段一个重要的概率模型,其求解方法是多种多样的.但我们只要掌握了几种常见的几何概型,就可以做到“举一反三”,做到真正的了解和掌握这一类题目的求法.下面我们就介绍几种常见的几何概型.几何概型的概率计算 P （A ）=()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积一、长度型的几何概率模型例1、在区间［-1,2］上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为 .变式训练（2016全国）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34二．面积型的几何概率模型[2010年高考陕西卷]从如图所示的长方 形区域内任取一个点M(x,y)，则点M 取 自阴影部分的概率为 .变式训练设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．三．体积型的几何概率模型例3、在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦绣病的种子，现从中随机抽出10mL ，含带麦绣病的种子的概率有多大？变式训练在边长为2的正方体内，找一点M 到底面中心O 的距离小于1的概率四、角度型的几何概率模型例4.如图2所示，在直角三角形ABC 中，030=∠A ，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，求使|AM|>|AC|的概率。

2022版新高考数学总复习--第十二章 概率与统计§12.1 随机事件、古典概型与几何概型— 专题检测 —一、单项选择题1.(2021北京海淀高三模拟试卷一,9)一个盒中装有大小相同的2个黑球,2个白球,从中任取一球,若是白球,则取出来;若是黑球,则放回盒中,直到把白球全部取出,则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为 ( )A.37216B.3772C.29D.227答案 A 要满足题意,共有三种取法:(白黑黑白),(黑白黑白),(黑黑白白),其中(白黑黑白)的取法概率为24×23×23×13=227,(黑黑白白)的取法概率为24×24×24×13=124,(黑白黑白)的取法概率为24×24×23×13=118,综上,所求概率为227+124+118=37216,故选A.2.(2021八省联考,2)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,再把卡片随机分给这3位同学,每人1张,则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为 ( )A.16B.13C.12D.23答案 C 三张卡片随机分给三位同学,共有A 33=6种情况,恰有1位学生分到写有自己学号的卡片,有C 31=3种情况,所以恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为36=12.思路分析 先求出三张卡片随机分给三位同学的基本事件数,再求出恰有1位学生分到写有自己学号卡片的基本事件数,利用古典概型的概率公式求解即可.3.(2021天津南开中学统练(25),5)已知球的半径为R ,一等边圆锥(圆锥母线长与圆锥底面直径相等)位于球内,圆锥顶点在球上,底面与球相接,则该圆锥的表面积为 ( ) A.3π4R 2B.9π4R 2C.√3π4R 2 D.2√3π3R 2答案 B 如图,设圆锥的底面半径为r ,则圆锥的高为√3r , 由R 2=r 2+(√3r -R )2,解得r =√32R ,则圆锥的表面积S =πr2+12×2πr ×2r =3πr 2=3π×(√32R)2=94πR 2.故选B .4.(2021四川凉山二诊,3)一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他正整数整除的数叫做素数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如8=3+5.在不超过20的素数中,随机地取两个不同的数,其和等于20的概率是 ( ) A.17 B.19 C.114 D.328答案 C 在不超过20的素数2,3,5,7,11,13,17,19中,随机地取两个不同的数,基本事件总数n =C 82=28,其和等于20包含的基本事件有:(3,17),(7,13),∴其和等于20的概率P =228=114.5.(2021四川顶级名校联考,11)做一个游戏:让大家各自随意写下两个小于1的正数,然后请他们各自检查一下,所写的两数与1是否构成一个锐角三角形的三边,最后把结论告诉你,作为主角的你,只需将每个人的结论记录下来就行了.假设有n 个人说“能”,而有m 个人说“不能”,那么由此可以算得圆周率π的近似值为 ( ) A.n m+nB.m m+nC.4n m+nD.4mm+n答案 D 设所写的两个数为x ,y ,0<x <1,0<y <1, (x ,y )在以1为边长的正方形内, ∵x ,y ,1组成锐角三角形,1为最大边, ∴x 2+y 2-1>0,则x 2+y 2>1,∴(x ,y )在以原点为圆心,以1为半径的四分之一圆外, ∴1-14π×121≈nm+n,得π≈4mm+n,故选D .6.(2021江西五市九校协作体联考,4)为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类:可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组,其中可回收物宣传小组有3位同学,餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派1人的概率为 ( ) A.27 B.514 C.37 D.1021答案 D 现从9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,基本事件总数n =C 95=126, 每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m =C 32(C 21)3+C 31C 31C 22(C 21)2=60,则每个宣传小组至少选派1人的概率P =m n =60126=1021. 7.(2021安徽皖南八校联考,8)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图),刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.在某一球内任意取一点,则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为( )A.12B.23C.4√39πD.√39答案 C 设球的直径为√3a ,则球的内接正方体的棱长为a ,正方体的内切球的半径r =a2,∴正方体的内切球的体积V内切球=43π×(a 2)3=π6a 3,∵V内切球V牟合方盖=π4,∴V 牟合方盖=4π×π6a 3=23a 3,∴此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为23a343π(√32a )3=4√39π. 8.(2021河南普通高中适应性测试,9)从正方体的12条棱中任选3条棱,则这3条棱两两异面的概率为 ( ) A.255 B.355 C.455 D.655答案 A 从正方体的12条棱中任选3条棱,基本事件总数n =C 123=220,这三条棱两两异面包含的基本事件个数m =8, 故这3条棱两两异面的概率P =m n =8220=255.二、多项选择题9.(2021届山东潍坊重点中学联考,10)从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是 ( ) A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12答案 ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2, 则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2相互独立.从两袋中各摸出一个球,2个球都是红球的概率为13×12=16,A 正确;“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误; 2个球中至少有1个红球的概率为1-P (A )·P (B )=1-23×12=23,C 正确; 2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选ACD .三、填空题10.(2021安徽六校联考,16)A ,B ,C ,D 四人之间进行投票,各人投自己以外的人1票的概率都是13(个人不投自己的票),则仅A 一人是最高得票者的概率为 . 答案527解析 所有的投票情况共有34=81种, 则仅A 一人是最高得票者,有2种情况:第一种情况,A 得了3票,即B 、C 、D 都投了A ,而A 投了B 、C 、D 中的一个,包含的基本事件个数为3;第二种情况,A 得了2票,即B 、C 、D 中有2个人投了A ,另外一个人投了除A 和本人以外的另外2人中的一个,而A 投了B 、C 、D 中没有得到选票的2人中的一个,包含的基本事件个数为C 32C 21C 21=12,∴仅A 一人是最高得票者的概率P =3+1281=527. 11.(2021天津南开二模,13)甲、乙两人参加一次历史知识竞赛,已知在备选的10道试题中,甲、乙分别都能答对其中的8道题.规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答,至少答对2道题才算合格.则甲不合格的概率是 .甲、乙两人中恰有一人合格的概率是 . 答案115;28225解析 设甲、乙合格分别为事件A 、B , 则甲考试合格的概率为P (A )=C 82C 21+C 83C 103=1415,∴甲不合格的概率为1-P (A )=115, 由题意知,乙合格的概率为P (B )=1415,故甲、乙两人恰有一人合格的概率为C 21×1415×115=28225. 12.(2021天津和平期末,13)现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件,若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具,则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 . 答案910解析 基本事件总数n =C 53=10,其中甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m =C 32C 21+C 31C 22=9,则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率P =m n =910.13.(2021天津红桥二模,13)在抗击新冠肺炎疫情期间,甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”,其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生,乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生.现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人,则抽调出的两名医生都是男医生的概率为 . 答案19解析 设抽调出的两名医生都是男医生为事件A ,则P(A)=C41C11C61C61= 1 9 .四、解答题14.(2021江西八所重点中学月考,18)江西全面推进城市生活垃圾分类,在2021年年底实现“零”填埋.据统计,截至2020年4月,全省11个设区市有1 596个党政机关、2 008个事业单位、369个公共场所、373个相关企业、51个示范片区、1 752个居民小区开展了垃圾分类工作,覆盖人口248.1万人.某校为了宣传垃圾分类知识,面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查,每位学生仅有一次参与机会,通过抽样,得到100人的得分情况,将样本数据分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,并整理得到如下频率分布直方图:已知成绩的中位数为75.(1)求x,y的值,并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替);(2)现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动,再从中选出两人进行一对一PK,求抽出的两人恰好来自同一组的概率.解析(1)∵中位数为75,∴0.005×10+10y+0.04×(75-70)=0.5,∴y=0.025,又∵0.05+0.25+0.4+10x+0.1=1,∴x=0.02,则平均数x=55×0.05+65×0.25+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75.5.(2)解法一:第四组与第五组人数的比为2∶1,∴从第四组抽选4人,记为1、2、3、4,从第五组抽选2人,记为a、b,所有基本事件为12、13、14、1a、1b、23、24、2a、2b、34、3a、3b、4a、4b、ab共15种,来自同一组的有:12、13、14、23,24、34、ab,共7种情况,故恰好来自同一组的概率P=715.解法二:第四组与第五组的人数之比为2∶1,所以利用分层抽样从第四组与第五组中分别抽选4人,2人.设从6人中抽选两人恰好来自同一组为事件A ,则P (A )=C 42+C 22C 62=715.所以抽选的两人恰好来自同一组的概率为715. 15.(2021北京海淀二模,18)为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生,将他们的竞赛成绩(单位:分)用茎叶图记录如下:(1)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人,估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率;(2)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取2人,估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率;(3)为便于普及冬奥知识,现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ1,这10名女生竞赛成绩的平均数为μ2,能否认为μ1>μ2?说明理由.解析 (1)由茎叶图可知,随机抽取的30名学生中男生有15名,其中竞赛成绩在90分以上的有5名, 所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为515=13.所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人,估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率为13.(2)记A i (i =1,2)表示“第i 名男生的竞赛成绩在90分以上”,B j (j =1,2)表示“第j 名女生的竞赛成绩在90分以上”,C 表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.同(1),从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人,估计该女生竞赛成绩在90分以上的概率为315=15,则P (C )=P (A 1A 2B 1B 2+A 1A 2B 1B 2+A 1A 2B 1B 2+A 1A 2B 1B 2+A 1 A 2 B 1B 2)=P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)+P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)+P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)+P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)+P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)=13×13×(1-15)×(1-15)+13×13×(1-15)×15+13×13×15×(1-15)+(1-13)×13×(1-15)×(1-15)+13×(1-13)×(1-15)×(1-15)=88225. (3)参考答案:不能确定μ1>μ2.上述10名男生,10名女生竞赛成绩的数据是随机的,所以μ1,μ2是随机的,所以不能确定μ1>μ2.16.(2021北京平谷质量监控,18)随着人民生活水平的提高,人们对牛奶品质要求越来越高,某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶,在一地区进行了质量满意调查,现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本,得到下表(单位:人次):满意度老年人 中年人青年人酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意503030505080(1)从样本中任取1人,求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率;(2)从该地区的老年人中随机抽取2人,青年人中随机抽取1人,估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率;(3)依据表中三个年龄段的数据,你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1,使得整体对鲜奶的满意度提升最大?(直接写结果)解析 (1)设这个人恰好对生产的酸奶质量满意为事件A ,抽取的总人次为500,其中对酸奶质量满意的有100+120+150=370人次,所以P (A )=370500=3750. (2)由频率估计概率,可得抽取的老年人对生产的鲜奶质量满意的概率为45,抽取的青年人对生产的鲜奶质量满意的概率为35,记抽取的三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意为事件D ,P (D )=C 21×45×35×(1-45)+(45)2×(1-35)=56125, 所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为56125. (3)青年人.17.(2021北京延庆一模,18)2022年第24届冬季奥林匹克运动会,简称“北京张家口冬奥会”,将在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行,这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京将承办所有冰上项目,延庆和张家口将承办所有的雪上项目.下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表:2022年北京冬奥会赛程表(第七版,发布自2020年11月)2022年 2月 北京赛区延庆赛区张家口赛区当日决赛数开闭幕式冰壶 冰球速度滑冰 短道速滑 花样滑冰高山滑雪有舵雪橇钢架雪车无舵雪橇跳台滑雪 北欧两项越野滑雪 单板滑雪冬季两项 自由式滑雪 5(六) * * 1 1* 1 1 * 11 6 6(日)* *1*1111117说明:“*”代表当日有不是决赛的比赛;数字代表当日有相应数量的决赛. (1)(i )若在这两天每天随机观看一个比赛项目,求恰好看到冰壶和冰球的概率; (ii )若在这两天每天随机观看一场决赛,求两场决赛恰好在同一赛区的概率;(2)若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场,记X 为赛区的个数,求X 的分布列及期望E (X ).解析 (1)(i )记“在这两天每天随机观看一个比赛项目,恰好看到冰壶和冰球”为事件A.由题表可知,在这两天每天随机观看一个比赛项目,共有10×10=100种不同的情况,其中恰好看到冰壶和冰球,共有2种不同的情况.所以P (A )=2100=150.(ii )记“在这两天每天随机观看一场决赛,两场决赛恰好在同一赛区”为事件B.由题表可知,在这两天每天随机观看一场决赛共有6×7=42种不同的情况,其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同的情况,在张家口赛区共有4×4=16种不同的情况.所以P (B )=2+1642=37. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3.根据题意,P (X =1)=C 43C 73=435, P (X =2)=C 11C 22+C 11C 42+C 21C 42+C 22C 41C 73=1+6+12+435=2335,P (X =3)=C 11C 21C 41C 73=835.随机变量X 的分布列为X 123P435 2335 835数学期望E (X )=1×435+2×2335+3×835=7435.。