高考考案数学理科第一轮复习课件10.3随机事件、古典概型与几何概型

2.几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多 个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 因此，用几何概型求解的概率问题和古曲概型的思路是相 同 的 ， 同 属 于 “ 比 例 解 法 ”, 即 随 机 事 件 A 的 概 率 可 以 用 “事件A包含的基本事件所占的图形面积(或体积、长度)” 与“试验的基本事件所占总面积(或总体积、总长度)”之比 来表示.
►一个关键：几何概型概率求解.
(2)[解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对
应的几何图形.利用图形的几何度量来求随机事件的概率]已知
球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这 π
一点不在球内的概率为__1_－___6__.
解析 由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球＝4π 3 ，正方体
＝1－6×6 6＝56.
答案
5 6
知识点二 几何概型
1.几何概型的概念 (1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度 量(长度、面积或体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称 几何概型 . (2)几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区 域，相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比.
3.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝ 基本事件的总数
►一个易错点：误解基本事件的等可能性致误.
(1)[解决古典概型的重要前提是求基本事件的总数，这些基本 事件必须是等可能的]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概 率为________.
解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6×6＝36 个可能的结 果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概率 P
4π
的体积为 V 正方体＝23＝8，则这一点不在球内的概率 P＝1－

(2)利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计 数原理的灵活应用．
(1)(2019·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个
不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率
为( )
3 A.10
B．25
3 C.20
D．14
(2)(2018·石家庄一模)用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2， a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1＜a2
2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
8
19
44
92
178
455
这个射手射击一次，击中靶心的概率约是( )
A．0.80
B．0.85
C．0.90
D．0.99
C [由题意，该射手击中靶心的频率大约在0.9附近上下波动，故其概率 约为0.90.故选C.]
4．古典概型与几何概型
பைடு நூலகம்名称
古典概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
不同点
基本事件有有限个
几何概型 基本事件有无限个
计算公式
P(A)＝________________ P(A)＝__________________
[常用结论] 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如
下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞 机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击 中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．

3
5
12
＝ .故选C.
题后师说
古典概型中样本点个数的探求方法
巩固训练2
(1)[2024·山东济南模拟]从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，
则所得三角形是直角三角形的概率为(
)
3
1
A．
B．
10
3
C．
5
答案：C
2
9
D．
10
(2)[2024·安徽宣城模拟]将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻
人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只
有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答．结果
被调查的1 200人(学号从1至1 200)中有366人回答了“是”．由此可以
估计这1 200人中闯过红灯的人数是________．
答案：132
题后师说
计算简单随机事件的频率或概率的解题思路
稳定于
率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概
率P(A)．
4．概率的基本性质
(1) 对 任 意 的 事 件 A ， 都 有 0≤P(A)≤1. 必 然 事 件 的 概 率 P(Ω) ＝
________，不可能事件的概率P(∅)＝________．
1
0
(2)如果事件A与事件B互斥，则P(A∪ B)＝______________.
ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
子集
①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．事件的关系与运算

域用A表示(A⊆Ω),则P(A)= A的几何度量.
Ω的几何度量
考法一 古典概型概率的求法 1.求解古典概型概率的步骤
2.基本事件个数的确定方法 1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. 2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标 法.
3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. 4)运用排列组合知识计算.
A39 7
答案 D
创新 生活中的概率问题 1.概率问题常与生活实际或数学文化相结合,主要考查学生的逻辑推 理、数据分析、数学抽象等核心素养. 2.解决这类问题的关键:①认真审题,把握信息;②弄清提供的问题情境的 意义;③抽象转化成数学问题,应用熟悉的数学知识解决.
例1 (2021湖南湘潭一模,7)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习 之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐 渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音 节字母组成,能够读出,但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料,用 节省法计算保持和遗忘的数量,并根据试验结果绘成描述遗忘进程的曲 线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单 词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代 替概率,不考虑其他因素,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
m=5+4+3+2+1=15,则取到的整数十位数字比个位数字大的概率P= m =15
n 25
=3.
5
答案 B
考法二 几何概型概率的求法
例2 (2021辽宁辽南协作体联考,9)1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰 教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形 ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之 和等于直角梯形的面积”,可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲 尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、易 懂的证明,就把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠ECB=60°,在梯 形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△CDE(阴影部分)中的概率 是() A.2(2- 3 ) B.2- 3 C. 3 -1 D.2( 3-1)