2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《12.1随机事件的概率与古典概型》

2021届高考人教A版数学（理）总复习配套文档：12.1随机事件的概§12.1随机事件的概率1.随机事件和确定性事件(1)在条件s下，一定会发生的事件，叫做相对于条件s的必然事件．(2)在条件s下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件s的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件s的确定事件．（4）在条件s下可能发生或可能不发生的事件称为相对于条件s的随机事件。

（5）确定性事件和随机事件统称为事件，通常使用大写字母a、B、C？代表权。

2.频率和概率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a 出Na Na的发生次数是事件a的发生频率，事件a的发生比例FN（a）=事件a的发生频率n(2)对于给定的随机事件a，如果随着试验次数的增加，事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上，把这个常数记作p(a)，称为事件a的概率，简称为a的概率．3．事件的关系与运算定义如果事件a发生，则事件b一定发生，这包含关系时称事件b包含事件a(或称事件a包含于事件b)相等关系并事件(和事件)若b?a且a?b若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生，称此事件为事件a与事件b的并a＝ba∪b(或a＋b)b?a(或a?b)符号表示事件（或和事件）如果事件发生，如果且仅当事件a发生且事件与事件（产品事件）B相交，则该事件称为事件a和事件B的交叉事件（或产品事件）。

如果∩ B是不可能的事件，那么事件a和事件B是相互排斥的。

如果∩ B是不可能的事，a是不可能的事∪ B是不可避免的事件，那么事件a和事件B是相互对立的事件。

A.∩ B=？A.∩b＝什么？P （a）∪ b） =P（a）+P（b）=1a∩ B（或AB）相反事件4概率的一些基本性质(1)概率的取值范围：0≤p(a)≤1.(2)必然事件的概率p(e)＝1.(3)不可能事件的概率p(f)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式① 如果事件a和事件B相互排斥，那么p（a∪ b） =P（a）+P（b）。

§12.2随机事件与概率、古典概型与几何概型考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.随机事件与概率求随机事件概率 A5题5分填空题★☆☆2.古典概型求古典概型事件的概率B7题5分4题5分7题5分填空题★★★3.几何概型求几何概型事件的概率A 填空题★☆☆分析解读随机事件与概率、古典概型、几何概型是江苏高考必考内容,重点考查古典概型,试题难度中等.五年高考考点一随机事件与概率1.(2016天津改编,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为.答案2.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.答案教师用书专用(3—4)3.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(3分)(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(6分)保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a(10分) 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a元.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元.(12分)4.(2014陕西,19,12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.解析(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.考点二古典概型1.(2017天津文改编,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为.答案2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.答案3.(2016课标全国Ⅰ改编,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是.答案4.(2016北京改编,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为.答案5.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是.答案6.(2016课标全国Ⅲ改编,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是.答案7.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.答案8.(2014浙江,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是.答案9.(2013江苏,7,5分)现有某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.答案10.(2014四川,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解析(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3), (2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3), (3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)==.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P()=1-=.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.教师用书专用(11—18)11.(2014湖北改编,5,5分)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则p1,p2,p3的大小关系为.答案p1<p3<p212.(2014陕西改编,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为.答案13.(2014课标Ⅱ,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.答案14.(2013安徽改编,5,5分)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为.答案15.(2013浙江,12,4分)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于.答案16.(2013重庆,13,5分)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.答案17.(2014天津,15,13分)其年级情况如下表:男同学现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解析(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率P(M)==.18.(2013山东,17,12分)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2个,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.解析(1)从身高低于1.80米的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78米以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78米以下的概率为P==.(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=.考点三几何概型1.(2016课标全国Ⅱ改编,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.答案2.(2014重庆,15,5分)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为(用数字作答).答案3.(2013陕西理改编,5,5分)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是.答案1-教师用书专用(4)4.(2013湖南改编,9,5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=.答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一随机事件与概率1.(苏教必3,三,2,5,变式)从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为.答案0.32.(苏教必3,三,1,5,变式)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.答案0.25考点二古典概型3.(2018江苏淮安宿迁高三期中)连续抛一枚质地均匀的硬币3次,恰好2次正面向上的概率为.答案4.(2017江苏南京、盐城一模,5)在数字1、2、3、4中随机选两个数字,则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为.答案5.(2017江苏南京学情调研,4)现有4名学生A,B,C,D平均分乘两辆车,则“A,B两人恰好乘坐同一辆车”的概率为.答案6.(2017镇江高三上学期期末)袋中有形状、大小都相同的5个球,其中3个白球,2个黄球,从袋中一次随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为.答案7.(2017南京、盐城第二次模拟考试,3)某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为.答案考点三几何概型8.(苏教必3,三,3,5,变式)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为.答案9.(苏教必3,三,3,3,变式)已知△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为.答案10.(2016江苏泰州模拟)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017江苏徐州四校模拟)已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是.答案二、解答题(共15分)2.(2017江苏南京溧水中学质检,16)某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究,他们每天在实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠,然后分别记录了4月1日至4月5日每天(1)求这5天的平均感染数;(2)从4月1日至4月5日中任取2天,记感染数分别为x,y,用(x,y)的形式列出所有的基本事件,其中(x,y)和(y,x)视为同一事件,并求|x-y|≤3或|x-y|≥9的概率.解析(1)由题意得,这5天的平均感染数为=25.(2)(x,y)的所有取值情况为(23,32),(23,24),(23,29),(23,17),(32,24),(32,29),(32,17),(24,29),(24,17),(29,17),基本事件总数n=10,设满足|x-y|≥9的事件为A,则事件A包含的基本事件为(23,32),(32,17),(29,17),共有m=3个,∴P(A)=,设满足|x-y|≤3的事件为B,则事件B包含的基本事件为(23,24),(32,29),共有m'=2个,∴P(B)=,∴|x-y|≤3或|x-y|≥9的概率P=P(A)+P(B)=+=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 古典概型1.(2017江苏东海中学质检)一个均匀的正四面体面上分别标有1、2、3、4四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别记为b、c.若方程x2-bx-c=0至少有一根a∈{1,2,3,4},就称该方程为“漂亮方程”,方程为“漂亮方程”的概率为.答案2.(2016江苏苏北四市调研,5)若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,则甲与丙都不在第一天值班的概率为.答案方法2 几何概型3.(2017江苏南京溧水中学质检,6)长为4、宽为3的矩形ABCD的外接圆为圆O,在圆O内任意取点M,则点M在矩形ABCD内的概率为.答案4.已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率;(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.解析(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36(个);由a·b=-1得-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个,故满足a·b=-1的概率为=.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足a·b<0的基本事件的结果A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0}.画出图形如图,矩形的面积S矩形=25,阴影部分的面积S阴影=25-×2×4=21,故满足a·b<0的概率为.。

1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，大事A 的概率的计算公式 P (A )＝构成大事A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．要切实理解并把握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能消灭的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机大事的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赐予每个随机数肯定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN 作为所求概率的近似值．【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本大事就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以大事发生的频率估量概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的外形有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A.12B.13C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2021·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则大事“－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.14 答案 A解析 ∵由－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(2022·辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8 答案 B解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为大事A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2022·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估量阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．答案 1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求大事的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2021·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 由于∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则大事“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2021·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12 答案 B解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划学问交汇命题的问题例3 (2022·重庆)某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，依据题意可画出图形，如图所示，则总大事所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的大事A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.命题点3 与定积分交汇命题的问题例4 (2021·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3|21＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.思维升华 求解与面积有关的几何概型的留意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4(2)(2022·湖北)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.78(3)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 (1)B (2)D (3)B解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 大事A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4，所以选B.(2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB＝2－142＝78.(3)依据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为⎠⎜⎛π4π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪ππ4＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.题型三 与体积有关的几何概型例5 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为______________________ __________________________________________________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的留意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 由于VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S 矩形ABCD ·AA 1＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16.18．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (12分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率． 易错分析 不能正确理解题意，无法找出精确 的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 由于是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1， 即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[4分]要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分] 由于阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[12分]温馨提示 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确推断大事是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证大事是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本大事的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机大事需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本大事，然后利用平面直角坐标系就能顺当地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机大事需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本大事，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．精确 把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2022·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15 答案 B解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( )A.12B.13C.25D.35 答案 D解析 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－(－1)4－(－1)＝35.3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6 D.4－π4 答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.5.从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13 C.14 D.16 答案 B解析 依据题意由定积分的几何意义可得如图所示阴影部分的面积为S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3|10＝13，所以点M 取自阴影部分的概率为S S 正方形OABC ＝131×1＝13.6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示大事“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2 ＝12＋1π. 9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、其次次消灭的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本大事总数为6×6＝36(个)； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本大事为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本大事的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本大事的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项力量提升 (时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽视不计)，可捕获距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内回旋，则苍蝇被捕获的概率是( )A.π180B.π150C.π120D.π90 答案 C解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕获到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕获的概率是π260＝π120.12．(2021·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为大事“x ＋y ≥12”的概率，p 2为大事“|x －y |≤12”的概率，p 3为大事“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1 答案 B解析 如图，点(x ，y )所处的空间为正方形OBCA 表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个大事对应的图形，依据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．大事“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；大事“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；大事“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.13．(2022·辽宁)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是_________________________________________________________．答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )． (1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4，所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停靠两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．假如甲船停靠时间为1 h ，乙船停靠时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记大事A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求大事构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}． A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。