武汉二中2014届高三数学周练(5)

三、填空题
13．函数 y lg cos x
3 2
的定义域为
.
14．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA 底面 ABCD ，且 PA 2 ， E 为 PC 的
中点，则 P 到平面 BDE 的距离为
．
15．已知点 M 为抛物线 y x 2 上任意一点，点 N 为圆 x2 y2 2 y 3 0 上任意一点，点 P 1, 2 ，则
0
，
q
1 ，当
n
为奇数时
Sn
单调增，则
Sn
无最大值，
当 q
1
时 Sn
a1 q 1
qn 1
，
a1 q 1
0
，
q
1
,
Sn
单调增,
则 Sn 无最大值；
必要性：当 q 1 时， Sn na1 ，又 a1 0 ，则 Sn 无最大值. 可得“ a3 a1”不是“ Sn 无最大值”的必要条件； 由此可知“ a3 a1”是“ Sn 无最大值”的充分不必要条件.故选：A.
武汉市第二中学2024 届高三上数学周练（三）B 卷
一、单选题
1．复数 z (1 i)2 （ i 为虚数单位）的虚部为（ ）
1 i
A．1
B．－1
C． i
D． i
2．已知集合 A {x∣2a x a 1}， B {x∣ 2 x 3} ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 3,1
【详解】由 f (x) aex ln x x ， x 0, ，
x
f
x
a
xex ex x2
1 x
1
aex (x 1) x2

湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题考试时间：2014年11月6日 上午9：00—11：00 试卷满分：150分球的体积公式：334R V π=; 方差])()()[(1222212n x x x x x x nS -++-+-= 一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 直线04)1(2=+++y m x 与直线023=-+y mx 平行, 则=m （ ）A . 2-B . 3-C . 2或3-D . 2-或3- 2. 直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是（ ）A . 相交且过圆心B . 相交不过圆心C . 相切D . 相离 3. 下图左边是一个程序框图, 则输出的结果为（ ）A . 20B . 14C . 10D . 74. 某几何体的三视图如上图右边所示, 则该几何体的体积为（ ）A .163πB .203πC .403πD . 5π5. 统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队平均每场比赛丢失2.2个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0. 据此分析： ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球; ④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是 （ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 6. 下列说法正确的个数是 （ ） ①平行于同一直线的两条直线平行 ②平行于同一平面的两个平面平行③两条平行线中的一条和一个平面平行, 则另一条也与这个平面平行④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行, 则这条直线与另一平面也平行 A . 1 B . 2 C . 3 D . 47. 已知圆221:()(2)4C x a y -++=与圆222:()(2)1C x b y +++=相外切, 则ab 的最大值为（ ）A .B .32C .94D .8. 天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间．．．．．．．．．．．．．, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1, 2, 3, 4表示下雨, 用5, 6, 7, 8, 9, 0表示不下雨; 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据. 据此估计, 这三天．．中恰有两．．．天．下雨的概率近似为（ ）19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 2 A .236B .216C .41D . 非ABC 的结果9. 把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人1张, 事件A ：“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”是 （ ） A . 不可能事件 B . 必然事件 C . 对立事件 D . 互斥且不对立事件 10. 过点)4,3(P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条？ （ ）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题：本大题共7小题, 每小题5分, 共35分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分11. 武汉2中近3年来, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未来9年前景美好. 把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为9)(.12. 圆心在y 轴上, 半径为1, 且过点(1,2)的圆的标准方程是 . 13. 已知线性相关的两个变量y x ,之间的几组数据如下表：其线性回归方程为a bx y +=∧, 则b a ,满足的关系式为 .14. 某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二15. 已知)1,0(,∈y x , ++-+22)1(y x 22)1()1(-+-y x 的最小值为 .16. 正四面体S —ABC 中, E 为SA 的中点, F 为∆ABC 的中心, 则异面直线EF 与AB 所成的角是 .17. 已知点),(y x P 满足1)sin ()cos (22=-+-ααy x , ]2,0(πα∈, 由P 点组成的图形的面积为 .三、解答题：本大题共5小题, 共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. （本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图. 根据直方图估计：(1) 该公司月收入在1000元到1500元之间的人数; (2) 该公司员工的月平均收入; (3) 该公司员工收入的众数; (4) 该公司员工月收入的中位数;19. （本小题满分13分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以x 表示.(1) 如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差; (2) 在(1) 的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名, 记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.20. （本小题满分13分）三棱锥P －DEF 中, 顶点P 在平面DEF 上的射影为O .(1) 如果PE ＝PF ＝PD , 证明O 是三角形DEF 的外心（外接圆的圆心）(2) 如果1==PF PE , 2=PD, 2=EF , 5==DF DE ,证明: O 是三角形DEF 的垂心（三条高的交点）21. （本小题满分14分）已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC ∩BD =O , AA 1=23,BD ⊥A 1A , ∠BAD =∠A 1AC =60°, 点M 是棱AA 1的中点. (1) 求证：A 1C ∥平面BMD ;(2) 求证：A 1O ⊥平面ABCD ; (3) 求三棱锥AMD B -的体积.甲 组 乙 组9 17 10 1x8 922. (本小题满分13分) 已知圆0442:22=-+-+y x y x C ．(1) 写出圆C 的标准方程, 并指出圆心坐标和半径大小;(2) 是否存在斜率为1的直线m , 使m 被圆C 截得的弦为AB , 且OB OA ⊥(O 为坐标原点）．若存在, 求出直线m 的方程; 若不存在,说明理由．武汉二中2014——2015学年上学期高二年级期中考试数学（文科）试卷=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯375005.0325015.0275025.0225025.017502.012501.02400元(3) 众数为2500元;(4) 中位数为2400元（面积分为相等的两部分;19. 解：(1)依题意得:89103544x x +++==,解得8x =, ………2分 方差2222135353511[2(8)(9)(10)]444416s =⨯-+-+-=. ……2分（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为12,A A ,他们的命中次数分别为9,7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为123,,B B B ,他们的命中次数分别为8,8,9. 依题意,不同的选取方法有:111213(,),(,),(,)A B A B A B ,212223(,),(,),(,)A B A B A B 共6种. ……5分设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件C , 则C 中恰含有1112(,),(,)A B A B 共2种. ……2分21()63P C ∴==. ……2分20. (1) 证明：过P 作PO 垂直于平面DEF , O 为垂足, 连OD 、OE 、OF , 又PD ＝PE ＝PF所以直角三角形PDO , 直角三角形PEO , 直角三角形PFO 全等, 从而有OD ＝OE ＝OF , 故O 为三角形DEF 的外心. （4分）(2)过P 作PO 垂直于平面DEF , O 为垂足, 因为1==PF PE , 2=EF , 5==DF DE , 2=PD ,所以三角形PEF 、PDF 、PED 都是直角三角形. ……1分⎪⎩⎪⎨⎧⊥⇒=⋂⊥⊥PDF PE P PD PF PD PE PF PE 平面 ……3分DF PE PDF⊥⇒⎩⎨⎧⊂⊥⇒平面平面DF PDF PE ……1分 又DF PO DEFDEFO ⊥⇒⎩⎨⎧⊂⊥平面平面DF P , P PO PE =⋂,(2) 11BD AA BD AC BD A AC ⊥⊥⊥,得面于是1BD A O ⊥, AC BD O ⋂=1111116022cos 60ABCDBAD AO AC AB AA AO AC AO ABCD A AC AO BD ⎫⎫⎫⎪⎪∠=⇒=⎬⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪∠=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⊥⎪⎭平面………4分(3)体积转换法：因为⊥O A 1平面ABCD , M 为O A 1的中点, 所以M 到平面ABCD 的距离为23211=O A , 三角形ABD 的面积为3, 23==--ABD M AMD B V V 22. (1)圆的标准方程为9)2()1(22=++-y x , 圆心坐标)2,1(-, 半径为3………3分 (2)假设直线b x y m +=:, 代入圆的方程得：044)1(2222=-++++b b x b x ,因为直线与圆相交, 所以01162<-+b b 244,122121-+=--=+b b x x b x x ……4分。

武汉市2014届高三2月调研测试数 学（理科）2014.2.20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数m (3＋i)－(2＋i)（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为 A ．2，6 B ．2，7 C ．3，6 D ．3，73．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A ．47尺B ．1629尺C ．815尺D ．1631尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若(9x －13x )n （n ∈N *）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A ．252B ．－252C ．84D ．－847．设a ，b ∈R ，则“a 1－b 2＋b 1－a 2＝1”是“a 2＋b 2＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB ＝2AA 1＝2a ．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为P ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1，BB 1上运动且满足EF ＝a 时，则PD 1C 1 B 1A1 ABCDE GF H的最小值为A ．1116B ．34C ．1316D ．789．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 210．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为A ．3＋1B ．23＋2C ．3－1D ．23－2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．12．曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部与边界）．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋4y 的最大值为 ． 13．如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小正方形个数为f (n )，则 （Ⅰ）f (5)＝ ；（Ⅱ）f (n )＝ ．14．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）m ＝ ；（Ⅱ）对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为 ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ⌒＝AC ⌒，DE 交AB 于点F ．若AB ＝4，BP ＝3，则PF ＝ ．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2cos θ－sin θ)－a ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin2θ．（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ．（Ⅰ）若a ＝32，b ＝10，求c ；（Ⅱ）求a cos C －c cos Ab的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＞0，a n ＋1＝2－|a n |，n ∈N *． （Ⅰ）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；（Ⅱ）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5．（Ⅰ）求直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段BC 1上确定一点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． 21．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD 中，|AB |＝22，|BC |＝2．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，分别以HF ，EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上；（Ⅱ）若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF 1和NF 2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T ．是否存在点N ，使得直线OP 、OQ 、OS 、OT 的斜率k OP 、k OQ 、k OS 、k OT 满足k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f (x )＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，使f (x 0)≤0，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）证明：b －a b ＜ln b a ＜b －aa ，其中0＜a ＜b ；（Ⅲ）设[x ]表示不超过x 的最大整数，证明：[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．武汉市2014届高三2月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D 二、填空题11．3π2＋ 3 12．4 13．（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n 2－2n ＋1 14．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或41 15．215 16．[0，12) 三、解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ① 又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝π4．由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4， 即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知B ＝π4，∴A ＋C ＝3π4，即C ＝3π4－A ．∴a cos C －c cos Ab ＝sin A cos C －cos A sin C sin B ＝sin(A －C )22＝2sin(2A －3π4)． ∵△ABC 是锐角三角形，∴π4＜A ＜π2，∴－π4＜2A －3π4＜π4，∴－22＜sin(2A －3π4)＜22，∴－1＜a cos C －c cos A b＜1．故a cos C －c cos Ab的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a 1＞0，∴a 2＝2－|a 1|＝2－a 1，a 3＝2－|a 2|＝2－|2－a 1|．当0＜a 1≤2时，a 3＝2－(2－a 1)＝a 1，∴a 21＝(2－a 1)2，解得a 1＝1．当a 1＞2时，a 3＝2－(a 1－2)＝4－a 1，∴a 1(4－a 1)＝(2－a 1)2，解得a 1＝2－2（舍去）或a 1＝2＋2．综上可得a 1＝1或a 1＝2＋2． (6)分（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2－a 1)＝a 1＋(2－|2－a 1|)，即|2－a 1|＝3a 1－2． 当a 1＞2时，a 1－2＝3a 1－2，解得a 1＝0，与a 1＞2矛盾；当0＜a 1≤2时，2－a 1＝3a 1－2，解得a 1＝1，从而a n ＝1（n ∈N *），此时{a n }是一个等差数列；综上可知，当且仅当a 1＝1时，数列{a n }为等差数列．………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵AA 1C 1C 为正方形，∴AA 1⊥AC ．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， ∴AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由已知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，∴AB ⊥AC ．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)，∴→A 1B ＝(0，3，－4)，→A 1C 1＝(4，0，0)，→B 1C 1＝(4，－3，0)． 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·→A 1B ＝0，n ·→A 1C 1＝0．即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0．令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，∴n ＝(0，4，3)． 设直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，则 sin θ＝|cos ＜→B 1C 1，n ＞|＝|→B 1C 1·n ||→B 1C 1||n |＝3×45×5＝1225．故直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为1225．………………………………6分 （Ⅱ）设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且→BD ＝λ→BC 1（λ∈[0，1]），∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，∴x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，∴→AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)． 又→A 1B ＝(0，3，－4)，由→AD ·→A 1B ＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925∈[0，1]． 故在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ．此时BD BC 1＝λ＝925．…………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2．P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14．………………………………………………4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18， P (X ＝2)＝P (B 1-·B 3)＝P (B 1-)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58． ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98．………………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得F (2，0)，C (2，1)．由→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，得R (2λ，0)，R ′(2，1－λ)． 又E (0，－1)，G (0，1)，则直线ER 的方程为y ＝12λx －1， ① 直线GR ′的方程为y ＝－λ2x ＋1． ②由①②，得M (22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵(22λ1＋λ2)22＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2＋(1－λ2)2(1＋λ2)2＝(1＋λ2)2(1＋λ2)2＝1，∴直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上．…………………………5分 （Ⅱ）假设满足条件的点N (x 0，y 0)存在，则直线NF 1的方程为y ＝k 1(x ＋1)，其中k 1＝y 0x 0＋1，直线NF 2的方程为y ＝k 2(x －1)，其中k 2＝y 0x 0－1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．消去y 并化简，得(2k 21＋1)x 2＋4k 21x ＋2k 21－2＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 212k 21＋1，x 1x 2＝2k 21－22k 21＋1．∵OP ，OQ 的斜率存在，∴x 1≠0，x 2≠0，∴k 21≠1． ∴k OP ＋k OQ ＝y 1x 1＋y 2x 2＝k 1(x 1＋1)x 1＋k 1(x 2＋1)x 2＝2k 1＋k 1·x 1＋x 2x 1x 2＝k 1(2－4k 212k 21－2)＝－2k 1k 21－1．同理可得k OS ＋k OT ＝－2k 2k 22－1．∴k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝－2(k 1k 21－1＋k 2k 22－1)＝－2·k 1k 22－k 1＋k 21k 2－k 2(k 21－1)(k 22－1)＝－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)． ∵k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0，∴－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)＝0，即(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)＝0． 由点N 不在坐标轴上，知k 1＋k 2≠0，∴k 1k 2＝1，即y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝1． ③又y 0＝x 0＋2， ④ 解③④，得x 0＝－54，y 0＝34．故满足条件的点N 存在，其坐标为（－54，34）．………………………………13分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若t ＜0，令x ＝1t ，则f (1t )＝e t 1－1－1＜0；若t ＝0，f (x )＝e x －1＞0，不合题意； 若t ＞0，只需f (x )min ≤0．求导数，得f ′(x )＝e x －1－t ． 令f ′(x )＝0，解得x ＝ln t ＋1．当x ＜ln t ＋1时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，ln t ＋1)上是减函数； 当x ＞ln t ＋1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(ln t ＋1，＋∞)上是增函数． 故f (x )在x ＝ln t ＋1处取得最小值f (ln t ＋1)＝t －t (ln t ＋1)＝－t ln t ． ∴－t ln t ≤0，由t ＞0，得ln t ≥0，∴t ≥1．综上可知，实数t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，+∞)．…………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )≥f (ln t ＋1)，即e x －1－tx ≥－t ln t ．取t ＝1，e x －1－x ≥0，即x ≤e x －1．当x ＞0时，ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时，等号成立， 故当x ＞0且x ≠1时，有ln x ＜x －1．令x ＝b a ，得ln b a ＜b a －1（0＜a ＜b ），即ln b a ＜b －a a ．令x ＝a b ，得ln a b ＜a b －1（0＜a ＜b ），即－ln b a ＜a －b b ，亦即ln b a ＞b －a b ．综上，得b －a b ＜ln b a ＜b －aa ．………………………………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ），得b －a b ＜ln b a ＜b －aa ．令a ＝k ，b ＝k ＋1（k ∈N *），得1k ＋1＜ln k ＋1k ＜1k ．对于ln k ＋1k ＜1k ，分别取k ＝1，2，…，n ， 将上述n 个不等式依次相加，得 ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n ＜1＋12＋…＋1n ， ∴ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ． ①对于1k ＋1＜ln k ＋1k ，分别取k ＝1，2，…，n －1，将上述n －1个不等式依次相加，得 12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1，即12＋13＋…＋1n ＜ln n （n ≥2）， ∴1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n （n ∈N *）． ②综合①②，得ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n ．易知，当p ＜q 时，[p ]≤[q ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤[1＋ln n ]（n ∈N *）．又∵[1＋ln n ]＝1＋[ln n ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋ (1)]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．……………………………14分。

湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考高三数学试卷（理科）参考答案CDDDBCACBB②和③ 3或13 2(0,]3 216．解：（Ⅰ）∵()2π3πcos 2cos 22cos 22323f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴.故函数()f x 的最小正周期为π；递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )（Ⅱ）解法一：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =． 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，∴2132a a =+-⨯，即2320a a -+=，故1a =（不合题意，舍）或2a =． 因为222134b c a +=+==，所以∆ABC 为直角三角形.解法二：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．由正弦定理得：1πsin sin 6a A ==，∴sin C =，∵0πC <<，∴π3C =或2π3． 当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =．（不合题意，舍） 所以∆ABC 为直角三角形. 17.(Ⅰ) 延长AD ，FE 交于Q ．因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ，所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角．在梯形ADEF 中，因为DE ∥AF ，AF ⊥FE ，AF＝2，DE ＝1得∠AQF ＝30°．(Ⅱ) 方法一：设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得DG ⊥AF ．因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，(第17题图)所以AB ⊥DG ．所以DG ⊥平面ABF ．过G 作GH ⊥BF ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角A －BF －D 的平面角．在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得DG．在直角△BAF 中，由AB BF ＝sin ∠AFB ＝GH FG ，得GH x， 所以GH．在直角△DGH 中，DG，GH，得DH＝． 因为cos ∠DHG ＝GH DH ＝13，得x所以AB方法二：设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．则 F (0，0，0)，A (－2，0，0)，E0，0)，D (－10)，B (－2，0，x )， 所以DF ＝(1，0)，BF ＝(2，0，－x )．因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)．设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 所以，可取2n ＝，1． 因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅⋅＝13，得 x所以AB18．解：（1）当1n =时，由111211a S a -=⇒=.又1121n n a S ++-=与21n n a S -=相减得：12n n a a +=，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=（2）设n a 和1n a +两项之间插入n 个数后，这2n +个数构成的等差数列的公差为(第17题图)n d ， 则11211n n n n a a d n n -+-==++， 又(12361)611952,2014195262+++++=-=， 故61616220146262262(621)2612.6363b a d =+-⋅=+⨯=⨯ 19 0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==.（Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦ 211.76p p =-++. ………………11分因为E(X 1)< E(X 2)， 所以21211.76p p <-++.所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.620．解：（1）依题意，得2a =，c e a == 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ． （2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=． （*） 由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-． 方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． 故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83(,)55M -， (3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-， 令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**）又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202*********202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为4 方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ， 同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， 故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为421、解：（I ）'121()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---， 当1[,1]2x ∈时，由'()0n f x =知1x =或者2n x n =+， 当1n =时，11[,1]232n n =∉+，又111()28f =，(1)0n f =，故118a =； 当2n =时，11[,1]222n n =∈+，又211()216f =，(1)0n f =，故2116a =； （II ）当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+， ∵1[,)22n x n ∈+时，'()0n f x >；(,1)2n x n ∈+时，'()0n f x <； ∴()n f x 在2n x n =+处取得最大值，即2224()()22(2)n n n n n n a n n n +==+++ 综上所述，21,(1)84,(2)(2)n n n n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩． 当2n ≥时，欲证 2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n+≥ ∵011222222(1)()()()n n n n n n n C C C C n n n n+=+⋅+⋅++⋅ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=，所以，当2n ≥时，都有21(2)n a n ≤+成立． （III ）当1,2n =时，结论显然成立；当3n ≥时，由（II ）知3411816n n S a a a =+++++2221111181656(2)n <++++++ 11111111()()()816455612n n <++-+-++-++ 1117816416<++=． 所以，对任意正整数n ，都有716n S <成立．。