2018年安徽省合肥168中自主招生数学试卷(含答案解析)

安徽省合肥市第一六八中学2018年10月2018～2019学年度高一上学期期中考试数学(宏志班)试题一、选择题。

1.已知全集,,,则( )A. B. C.D.【参考答案】D【试题解析】求出的定义域化简集合和求出的值域化简集合,由交集的定义可得结果.【试题解答】∵,,∴,故选D.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.函数的定义域是( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】依题意有,解得.3.下列四个图象中,是函数图象的是( )A.(1)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(3)(4)【参考答案】B【试题解析】试题分析:根据函数的定义,对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,所以(1)(2)不对.考点:函数的概念.4.已知函数满足,则( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】试题分析:根据题意得:①,令可得:②,联立可得,故选择D考点:求函数解析式以及求函数值5.已知函数是定义在上的奇函数.且当时,,则的值为( )A. B. C. D.2【参考答案】B【试题解析】分析】化简,先求出的值,再根据函数奇偶性的性质,进行转化即可得到结论. 【试题解答】∵,∴,是定义在上的奇函数,且当时,,∴,即,故选B.本题主要考查函数值的计算,考查了对数的运算以及函数奇偶性的应用,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于基础题.6.设a＝log32,b＝ln2,c＝,则( )A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.c＜b＜a 【参考答案】C【试题解析】试题分析根据a的真数与b的真数相等可取倒数,使底数相同,找中间量1与之比较大小,便值a、b、c的大小关系.解:a＝log32＝,b＝ln2＝,而log23＞log2e＞1,所以a＜b,c＝＝,而,所以c＜a,综上c＜a＜b,故选C.考点:对数值大小的比较；换底公式的应用.7.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】应用函数零点存在性定理判断.【试题解答】易知函数f(x)＝在定义域上连续,且f()＝<0 , f(1)＝－1<0 , f(2)＝ , ,根据函数零点存在性定理,可知零点所在区间为,故选B.本题考查了函数零点的判定定理的应用,判断函数零点所在区间有三种常用方法,①直接法,解方程判断,②定理法,③图象法.8.设函数,若对任意的都满足成立,则函数可以是( )A. B.C. D.不存在这样的函数【参考答案】B【试题解析】分情况讨论,得不等式,进而依次判断即可.【试题解答】当x为无理数时,f(x)＝0,xf(x)≤g(x)⇔0≤g(x),当x为有理数时,f(x)＝1,xf(x)≤g(x)⇔x≤g(x),若g(x)＝x,当x＝－ ,时g(x)<0,即A不正确若g(x)＝,已知对任意实数,x≤,且故当x为有理数或无理数时,不等式恒成立,即B正确；若g(x)＝x2,当x＝ ,则g()＝ ,,即C不正确；故选B本题考查了分段函数、函数恒成立问题,考查了分析问题解决问题的能力.难度一般.9.若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】试题分析:因为函数单调递增,所以且由,所以,解得或,所以实数的取值范围是,故选D.考点:数列的单调性及分段函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、函数的单调性的应用,不等式的求解等知识点的应用,其中解答中根据哈数是定义域山过的单调递增函数,即可列出不等关系且是解答的关键,即可求求解实数的取值范围,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.10.已知函数,若,,则( )A. B.C. D.与的大小不能确定【参考答案】A【试题解析】判断f(x1)－f(x2)的正负即可【试题解答】f(x1)－f(x2)＝(ax12＋2ax1＋4)－(ax22＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋2a(x1－x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2) 因为a＞0,x1＜x2,x1＋x2＝0所以x1－x2＜0,x1＋x2＋2＞0所以f(x1)－f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2).故选A本题考查了函数值作差法比较大小,作差,判断式子的正负,也是判断函数单调性的一种常用方法.11.已知函数,若互不相同,且满足,则的取值范围是( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】本题要先画出分段函数的图象,再根据根据分段函数第一个表达式可得出,根据分段函数第二个表达式可得出,这时可将用表示出来,通过求出关于的二次函数在相应区间上的值域即可得到的取值范围.【试题解答】由题意,可画出函数图象如下:由题意,互不相同,∴可不妨设.∵,由图象,可知.即:.∴,∴.又∵,∴依据图象,它们的函数值只能在0到2之间,∴.根据二次函数的对称性,可知:.∴则可以将看成一个关于的二次函数.由二次函数的知识,可知:在上的值域为.的取值范围即为,故选C.本题主要考查分段函数的图象,相等函数值的自变量取值,意在考查数形结合思想的应用,本题是一道较难的中档题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质.12.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则A. B.C. D.【参考答案】C【试题解析】试题分析:本选择题宜采用特殊值法.取,则,.画出它们的图象,如图所示.从而得出的最小值为两图象右边交点的纵坐标,的最大值为两图象左边交点的纵坐标,再将两函数图象对应的方程组成方程组,求解即得或所以.故选D考点:函数最值的应用.二、填空题。

维交换”；②若对任意 x Î R ，恒有 f ( g ( x)) = h( f ( x)) ，则称 g ( x) 与 h( x) 关于 f ( x) “任
意交换”.
(1)判断函数 g ( x) = 2x +1与 h ( x) = x -1是否关于 f ( x) = x2 “ n 维交换”，并说明理由；
【详解】由
x
x
3
£
0
，得
ì í î
x x
(x-
¹0
3)
£
0
，解得
0
<
x
£
3
，
所以 M = {x 0 < x £ 3} ，
由 y = x2 +1 ³ 1，所以 N = [1, +¥) ，
图中阴影部分表示的集合为 M Ç (ðU N ) = (0,1) .
故选：A. 7．B
【分析】对
A，判断
f
(x)
的奇偶性可判断；对
C．若方程
f
(
x)
=
1 4
没有实数根，则
a
<
-1
) ( D．若函数 f ( x) 在 0,+∞ 上单调递增，则 a >0
( ) 8．已知函数
f
(x)
=
2x 图象与函数 2x-1 +1
g
(x)
=
x3
- 3x2
+
3x
图象有三个交点，分别为
x1, y1
、
( ) x 2, y 2 、 ( x3, y3 ) ，则 x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 = （ ）

2018-2019学年安徽省合肥168中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，A=π3，BC=3,AB=√6，则角C等于()A. π4或3π4B. 3π4C. π4D. π62.执行如图所示的程序框图，则输出k的值为()A. 7B. 6C. 5D. 43.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5=S9，且a1>0，则S n中最大的是()A. S6B. S7C. S8D. S154.已知数据x1，x2，...，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2， (x10)对于原数据()A. 一样稳定B. 变得比较稳定C. 变得比较不稳定D. 稳定性不可以判断5.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量．如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数．在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一．根据图示可知，农民采摘的果实的个数是()A. 493B. 383C. 183D. 1236.已知集合A={t|t2−4≤0}，对于满足集合A的所有实数t，使不等式x2+tx−t>2x−1恒成立的x的取值范围为()A. (−∞,1)∪(3,+∞)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−∞,−1)D. (3,+∞)7.已知数列{αn}的前n项和s n=3n(λ−n)−6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是()A. (−∞,2)B. (−∞,3)C. (−∞,4)D. (−∞,5)8.已知△ABC中，tanA+tanB+√3=√3tanAtanB且，sinBcosB=√34，则△ABC是()A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形9.设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项之积为T n，并且满足条件：a1>1，a2016a2017>1，a2016−1a2017−1<0，下列结论中正确的是()A. S2016>S2017B. a2016a2018−1>0C. T2017是数列{T n}中的最大值D. 数列{T n}无最小值10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. 12−1πB. 1πC. 1−2πD. 2π11.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=S△PBCS△ABC ，λ2=S△PCAS△ABC，λ3=S△PAB S△ABC ，定义f(P)=(λ1,λ2,λ3)，若G是△ABC的重心，f(Q)=(16,13,12)，则()A. 点Q在△GAB内B. 点Q在△GBC内C. 点Q在△GCA内D. 点Q与点G重合12.若a，b，c>0且a(a+b+c)+bc=4−2√3，则2a+b+c的最小值为()A. √3−1B. √3+1C. 2√3+2D. 2√3−2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知关于实数x，y的不等式组{x+2y−19≥0x−y+8≥02x+y−14≤0构成的平面区域为Ω，若∀(x,y)∈Ω，使得(x−1)2+(y−4)2≤m恒成立，则实数m的最小值是______．14.cot20°cos10°+√3sin10°tan70°−2cos40°=______ ．15.若当0≤x≤ln2时，不等式a(e x−e−x)+(e2x+e−2x)+2≥0恒成立，则实数a的取值范围是______ ．16.已知数列{a n}满足：a1=32m−1(m∈N∗)，a n+1={a n−3 ,a n>32a n,a n≤3，则数列{a n}的前4m+4项的和S4m+4=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若sinB+sinC=√3，试判断△ABC的形状．18.数列{a n}中，a1=9，a4=3且满足2a n+1=a n+a n+2,n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求S n；(3)设b n=2n(13−a n)(n∈N∗)，T n=b1+b2+⋯+b n,n∈N∗，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N∗，均有T n>m32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．19.在平面直角坐标系中，已知射线y=√3x(x≥0)与射线y=−√3x(x≥0)，过点M(1,0)作直线l分别交两射线于点A，B(不同于原点O)．(1)当OA+OB取得最小值时，直线l的方程；(2)求MA2+MB2的最小值；(3)求MA⋅MB的最小值．20.近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l所示：表1x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y=a+bx与y=c⋅d x(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； 参考数据：y −v −∑x i 7i=1y i ∑x i 7i=1u i 100.54661.542.711 50.123.47其中υi =1gy i ,υ−=17∑υi 7i=1 参考公式：对于一组数据(u 1,υ1)，(u 2,υ2)，…，(u n ,υn )，其回归直线υ̂=a ̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i n i=1υi −nu −υ−∑u i 2n i=1−nu−2,a ̂=υ−−β̂u ̂．21. 如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF =π6，点E ，F 的直径AB 上，且∠ABC =π6． (1)若CE =√13，求AE 的长；(2)设∠ACE =α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．22.若数列{b n}满足：对于n∈N∗，都有b n+2−b n=d(d为常数)，则称数列{b n}是公差为d的“隔项等差”数列．(Ⅰ)若c1=3，c2=17，{c n}是公差为8的“隔项等差”数列，求{c n}的前15项之和；(Ⅱ)设数列{a n}满足：a1=a，对于n∈N∗，都有a n+a n+1=2n．①求证：数列{a n}为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{a n}的前n项和为S n，试研究：是否存在实数a，使得S2k，S2k+1，S2k+2成等比数列(k∈N∗)？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理的应用和特殊角的三角函数值，属于基础题．直接根据正弦定理即可求出．【解答】解：由正弦定理可得BCsinA =ABsinC，∴sinC=AB⋅sinABC =√6×√323=√22，∵0<C<2π3，∴C=π4，故选C．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查循环结构，考查推理能力，属于简单题．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，由流程线循环4次，输出k．【解答】解：初始值k=9，s=1，是，第一次循环：s=910，k=8，是，第二次循环：s=45，k=7，是，第三次循环：s=710，k=6，是，第四次循环：s=35，k=5，否，输出k=5．故选C．3.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质和数列的单调性，属于基础题．由题意和等差数列的性质可得a7>0，a8<0，由等差数列的单调性可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S5=S9，∴S9−S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0，结合a1>0可得a7>0，a8<0，∴S n中最大的是S7，故选：B．4.【答案】C【解析】解：∵数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，∴111[(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2+(x4−2)2+(x5−2)2+(x6−2)2+(x7−2)2+(x8−2)2+(x9−2)2+(x10−2)2+(2−2)2]= 1，∴数据x1，x2，…，x10的方差S2=110[(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2+(x4−2)2+(x5−2)2+(x6−2)2+(x7−2)2+(x8−2)2+(x9−2)2+ (x10−2)2]=1.1>1，∴数据x1，x2，…，x10相对于原数据变得比较不稳定．故选：C．本题考查方差的求法及应用，是基础题．推导出数据x1，x2，…，x10的方差S2>1，从而数据x1，x2，…，x10相对于原数据变得比较不稳定．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查进位制及进行简单的合情推理，属于简单题．结合进位制进行简单的合情推理得：农民采摘的果实的个数是3×40+1×41+3×42+2×43，计算得解．解：由题意有：农民采摘的果实的个数是3×40+1×41+3×42+2×43=183． 故选C ．6.【答案】B【解析】解：由t 2−4≤0得，−2≤t ≤2，∴−1≤1−t ≤3不等式x 2+tx −t >2x −1恒成立，即不等式x 2+tx −t −2x +1>0恒成立，即不等式(x +t −1)(x −1)>0恒成立，∴只需{x +t −1>0x −1>0或{x +t −1<0x −1<0恒成立，∴只需{x >1−t x >1或{x <1−t x <1恒成立，∵−1≤1−t ≤3只需x >3或x <−1即可． 故选：B ．由条件求出t 的范围，不等式x 2+tx −t >2x −1变形为x 2+tx −t −2x +1>0恒成立，即不等式(x +t −1)(x −1)>0恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或 同为负处理．本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．7.【答案】A【解析】 【分析】由已知求出a n 利用为单调递减数列，可得a n >a n+1，化简解出即可得出 本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力． 【解答】解：∵s n =3n (λ−n)−6，①∴s n−1=3n−1(λ−n +1)−6，n >1，②①−②得数列a n =3n−1(2λ−2n −1)(n >1,n ∈N ∗)为单调递减数列， ∴a n >a n+1，且a 1>a 2∴3n−1(2λ−2n −1)>3n (2λ−2n −3)，且λ<2 化为λ<n +2，(n >1)，且λ<2， ∴λ<2，∴λ的取值范围是(−∞,2)．故选：A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角形形状的判定，考查了两角和的正切及倍角公式的应用，是基础题．利用两角和的正切求得A+B，再由倍角公式求得B，则答案可求．【解答】=−√3，解：∵由tanA+tanB+√3=√3tanAtanB，得：tanA+tanB1−tanAtanB即tan(A+B)=−√3，∴A+B=120°，C=60°，，又sinBcosB=√34∴sin2B=√3，2则2B=60°或2B=120°，即B=30°或B=60°，若B=30°，则A=90°，tan A不存在，不合题意；若B=60°，则A=C=60°，△ABC为正三角形．故选：A．9.【答案】D<0，【解析】解：∵a1>1，a2016⋅a2017>1，a2016−1a2017−1∴0<a2017<1，a2016>1，∴0<q<1，a n>0，∴S2017=S2016+a2017>S2016，则A错．∵a2016−1<0，a2017−1∴0<a2017<1，a2016>1，2−1<0，则B错．a2016a2018−1=a2017T2017=T2016⋅a2017<T2016，则C错，D对．故选：D．因为a1>1，a2016⋅a2017>1，所以1>q>0，a n>0，S2017=S2016+a2017>S2016，则A 错．因为a 2016−1a2017−1<0，所以0<a 2017<1，a 2016>1，a 2016a 2018−1=a 20172−1<0，则B 错，T 2017=T 2016⋅a 2017<T 2016，则C 错，D 对．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】 【分析】本题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．求出阴影部分的面积即可，连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积−直角三角形AOB 的面积． 【解答】解：设扇形的半径为r ，则扇形OAB 的面积为14πr 2，连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：14πr 2−12r 2，∴此点取自阴影部分的概率是．故选：C ．11.【答案】B【解析】解：由已知得，f(P)=(λ1,λ2,λ3)中的三个坐标分别为P 分△ABC 所得三个三角形的高与△ABC 的高的比值， ∵f(Q)=(16,13,12)，∴P 离线段BC 的距离最近，故点Q 在△GBC 内 故选：B ．分析知λ的值对应的是P 分△ABC 所得三个三角形的高与△ABC 的高的比值，比值大，说明相应的小三角形的高比较大，f(Q)=(16,13,12)，可以得出Q点离线段BC距离近，故其应在△GBC内．考查对新定义的理解，此类题关键是通过新给出的定义明了定义所告诉的关系与运算，然后用定义所提供的方式来解题，本题是把相应的坐标与小三角形的高与大三角形的比值对应起来，根据坐标即可得出相应的定点到三个边距离的远近．以此来判断相应的点在大三角形中的相应位置．12.【答案】D【解析】解：若a，b，c>0且a(a+b+c)+bc=4−2√3，所以a2+ab+ac+bc=4−2√3，4−2√3=a2+ab+ac+bc=14(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2)∴(2√3−2)2≤(2a+b+c)2，则(2a+b+c)≥2√3−2，故选项为D．已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式．13.【答案】37【解析】【分析】本题主要考查了线性规划的基本应用问题，也考查了数形结合解题的方法，是中档题．画出不等式组构成的平面区域Ω，把问题转化为求平面区域内的点到定点P(1,4)距离的平方最大值，利用图形求出m的取值范围，即可得出m的最小值．【解答】解：画出不等式组{x+2y−19≥0x−y+8≥02x+y−14≤0构成的平面区域Ω，如图所示；求得A(2,10)，C(3,8)，B(1,9)．若∀(x,y)∈Ω，使得(x−1)2+(y−4)2≤m恒成立，则问题转化为求平面区域内的点M到定点P(1,4)距离的平方最大值，由图形知点A到点P的距离最大，为d=√(2−1)2+(10−4)2=√37，所以m≥37，即m的最小值为37．故答案为：37．14.【答案】2【解析】解：cot200cos100+√3sin100tan700−2cos400=cos200cos100sin200+√3sin100sin700cos700−2cos400=cos200cos100+√3sin100cos200sin200−2cos400=cos200(cos100+√3sin100)sin200−2cos400=2cos200(cos100sin300+sin100cos300)sin200−2cos400=2cos200sin400−2sin200cos400sin200=2故答案为：2把原式中的切转化成弦，再利用和差化积进行化简．化简过程中注意利用30°、60°等特殊角．本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值．在求三角的问题中，要注意这样的口决“三看”即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用．15.【答案】[−256,+∞)【解析】解：当0≤x ≤ln2时，不等式a(e x −e −x )+(e 2x +e −2x )+2≥0恒成立， 即为a(e x −e −x )+(e x −e −x )2+4≥0恒成立， 设t =e x −e −x ，当0≤x ≤ln2时，0≤t ≤32， 则at +t 2+4≥0对0≤t ≤32时恒成立， 即有−a ≤t +4t 对0≤t ≤32时恒成立， 设f(t)=t +4t ，可得f(t)在[0,32]递减， 可得f(t)的最小值为f(32)=32+83=256，可得−a ≤256，则a ≥−256， 故答案为：[−256,+∞)．由换元法和指数函数的单调性可得at +t 2+4≥0对0≤t ≤32时恒成立，再由参数分离和对勾函数的单调性，可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，以及指数函数和对勾函数的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．16.【答案】12(2m+1−1)2m −1【解析】解：由m ∈N ∗，可得2m −1≥1，故a 1=32m −1≤3， 当1<k ≤m 时，2k−1a 1≤3×2m−12m −1=3×2m−12m−1+(2m−1−1)<3×2m−12m−1=3∴a k =2k−1a 1(k =1,2，…m)∴S 4m+4=a 1+a 2+⋅…+a 4m+4=(1+2+⋯+24m+3)a 1=12(2m+1−1)2m −1故答案为：12(2m+1−1)2m −1由m ∈N ∗，可得2m −1≥1，故a 1=32m −1≤3，然后证明当1<k ≤m 时，2k−1a 1的取值范围，根据数列求和公式，即可得到结论．本题主要考查数列递推式，考查数列和不等式的综合，考查数列的求和公式，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC，利用正弦定理化简得：2a2=(2b−c)b+(2c−b)c，整理得：bc=b2+c2−a2，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，又A为三角形的内角，则A=60°；(Ⅱ)∵A+B+C=180°，A=60°，∴B+C=180°−60°=120°，即C=120°−B，代入sinB+sinC=√3得：sinB+sin(120°−B)=√3，∴sinB+sin120°cosB−cos120°sinB=√3，∴32sinB+√32cosB=√3，即sin(B+30°)=1，∴0<B<120°，∴30°<B+30°<150°，∴B+30°=90°，即B=60°，∴A=B=C=60°，则△ABC为等边三角形．【解析】(Ⅰ)利用余弦定理表示出cos A，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cos A中，化简后求出cos A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；(Ⅱ)由A为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=√3中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B为60°，可得出三角形ABC三个角相等，都为60°，则三角形ABC为等边三角形．此题考查了三角形形状的判断，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.【答案】解：(1)数列{a n }中，a 1=9，a 4=3且满足2a n+1=a n +a n+2,n ∈N ∗，由2a n+1=a n +a n+2,n ∈N ∗， 可知{a n }成等差数列，设公差为d ， 则：d =a 4−a 14−1=−2，∴a n =11−2n ． (2)由a n =11−2n ≥0， 得n ≤5， ∴当n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n=n(9+11−2n)2=−n 2+10n ，所以：S n =−n 2+10n ； 当n >5时，S n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=2(a 1+a 2+⋯+a 5)−(a 1+a 2+⋯+a n )， 整理得：S n =n 2−10n +50故S n ={−n 2+10n,1≤n ≤5n 2−10n +50,n >5,(n ∈N ∗)； (3)b n =2n(13−a n)=1n(n+1)=1n −1n+1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n )+(1n −1n+1)=1−1n+1， ∴T n 单调递增． ∴要使T n >m 32恒成立， 只要使m32<T 1=12， 即m <16，(m ∈Z)， 故整数m 的最大值为15．【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式． (2)利用分类讨论思想，对数列进行求和． (3)利用裂项相消法和恒成立问题进行应用．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和问题的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，恒成立问题的应用．19.【答案】解：(1)设A(a,√3a),B(b,−√3b)(a,b >0)因为A ，B ，M 三点共线，所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,√3a)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(b −1,−√3b)，…….(2分) 所以−√3b(a −1)−√3a(b −1)=0，得a +b =2ab ，即1a +1b =2，…………………………………………………..(4分) 又OA +OB =2a +2b =(a +b)(1a +1b )=2+ab +ba ≥4， 等号当且仅当a =b =1时取得．此时直线l 的方程为x =1……………………………………………………(6分) (2)MA 2+MB 2=(a −1)2+3a 2+(b −1)2+3b 2=4(a 2+b 2)−2(a +b)+2=4(a +b)2−2(a +b)−8ab +2=4(a +b)2−6(a +b)+2=4(a +b −34)2−14(9分) 因为由a +b =2ab ≤2(a+b 2)2，所以a +b ≥2，等号当且仅当a =b =1时取得，……………………………………………..(11分) 所以当a +b =2时，MA 2+MB 2取最小值6.……………………………….(12分) (3)MA ⋅MB =−MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(a −1)(b −1)+3ab =2ab +a +b −1=2(a +b)−1≥3等号当且仅当a =b =1时取得，所以MA ⋅MB 的最小值为3.………………..(16分)【解析】(1)设A(a,√3a),B(b,−√3b)(a,b >0)，通过A ，B ，M 三点共线，推出1a +1b =2，然后利用基本不等式转化求解最小值，得到a =b =1时取得．求出直线l 的方程． (2)利用已知条件表示MA 2+MB 2，利用基本不等式求解最小值即可． (3)通过MA ⋅MB =−MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a +b)−1≥3，MA ⋅MB 的最小值为3． 本题考查函数与方程的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：(1)根据散点图判断，y =c ⋅d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；…………(3分)(2)由y =c ⋅d x ，两边同时取常用对数得：1gy =1g(c ⋅d x )=1gc +1gd ⋅x ； 设1gy =v ，∴v =1gc +1gd ⋅x ；………………(5分)计算x −=4,v −=1.54，∑x i 27i=1=140，∴lgd ̂=∑x i 7i=1v i −7x −v−∑x i 27i=1−7x−2=50.12−7×4×1.54140−7×42=728=0.25，………………(7分)把样本中心点(4,1.54)代入v=1gc+1gd⋅x，得：l ĝc=0.54，∴v̂=0.54+0.25x，∴l ĝy=0.54+0.25x，……………………(9分)∴y关于x的回归方程式：ŷ=100.54+0.25x=100.54×(100.25)x=3.47×100.25x；………(10分)把x=8代入上式，ŷ=3.47×102=347；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；…………………………(12分)【解析】(1)根据散点图知y=c⋅d x适宜作y关于x的回归方程类型；(2)对y=c⋅d x两边同时取常用对数，化为线性回归方程，求出对应的系数，得出y关于x的回归方程，再利用方程求出x=8时对应的函数值．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，△ACE中，AC=4，∠A=π3，CE=√13，∴13=16+AE2−2×4×AE×12，∴AE=1或3；(2)由题意，∠ACE=α∈[0,π3]，∠AFC=π−∠A−∠ACF=π2−α．在△ACF中，由正弦定理得CFsinA =ACsin∠CFA，∴CF=2√3cosα；在△ACE中，由正弦定理得CEsinA =ACsin∠AEC，∴CE=2√3sin(π3+α)，该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，S△CEF=12CE⋅CF⋅sin∠ECF=2sin(2α+π3)+√3，∵α∈[0,π3]，∴0≤sin(2α+π3)≤1，∴α=π3时，S△CEF取最大值为4√3，该空地产生最大经济价值．【解析】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)利用余弦定理，即可求AE的长；(2)设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=12CE⋅CF⋅sin∠ECF，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．22.【答案】解：(Ⅰ)易得数列C n ={4n −1,当n 为奇数时4n +9,当n 为偶数时易得数列{c n }前15项之和=(3+59)×82+(17+65)×72=535．(Ⅱ)①∵a n +a n+1=2n(n ∈N +) (1) a n+1+a n+2=2(n +1)(n ∈N +) (2) (2)−(1)得a n+2−a n =2(n ∈N +)， ∴{a n }为公差为2的“隔项等差”数列．当n 为偶数时，a n =2−a +(n2−1)×2=n −a ，当n 为奇数时，a n =2(n −1)−a n−1=2(n −1)−[(n −1)−a]=n +a −1， ②当n 为偶数时，S n =a ⋅n2+n 2(n2−1)2×2+(2−a)⋅n2+n 2(n2−1)2×2=12n 2；当n 为奇数时，S n =a ⋅n+12+n+12(n+12−1)2×2+(2−a)⋅n−12+n−12(n−12−1)2×2=12n 2+a −12．故当n =2k 时，S 2k =2k 2，S 2k+1=2k 2+2k +a ，S 2k+2=2(k +1)2，由S 2k ，S 2k+1，S 2k+2成等比数列得S 2k+12=S 2k ⋅S 2k+2，即(2k 2+2k +a)2=2k 2×2(k +1)2，解得a =0．所以存在实数a =0，使得S 2k ，S 2k+1，S 2k+2成等比数列(k ∈N ∗).【解析】(Ⅰ)根据题意运用等差数列的求和公式求解即可，但是注意项数，及首项，末项，(Ⅱ)分类讨论求解判断出a n 和S n ，由(S 2k+1)2=S 2k −S 2k+2，则(2k 2+2k +a)2=2k 2⋅2(k +1)2，求出a 的值．本题考查了数列的实际应用，属于难题，思维量大，计算量大．。

2018年安徽省合肥168中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②＝1，③＝﹣b，正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．（5分）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）A．B．C．D．3．（5分）有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（）A．x＝1，y＝3B．x＝4，y＝1C．x＝3，y＝2D．x＝2，y＝3 4．（5分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．180°C．210°D．270°5．（5分）已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（）A．1B．0C．﹣1D．﹣6．（5分）如图所示，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值为（）A．B．C．D．7．（5分）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（）A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或18．（5分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等9个图形，小明随机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．10．（5分）直线y＝kx+b经过A（2，1）、B（﹣1，2）两点，则不等式＞kx+b＞﹣2的解集为．11．（5分）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝．12．（5分）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果⊙O1、⊙O2半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是．13．（5分）把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为．14．（5分）如图，抛物线y＝x2﹣x﹣6交x轴于A、C两点，交y轴于点B；将抛物线y ＝x2﹣x﹣6向上平移个单位长度、再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线；若新抛物线的顶点P在△ABC内，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共3小題，共40分）15．（12分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．当n＝1时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分；当n＝2时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分；则：当n＝3时，三条直线将一个平面分成部分；当n＝4时，四条直线将一个平面分成部分；若n条直线将一个平面分成a n个部分，n+1条直线将一个平面分成a n+1个部分．试探索a n、a n+1、n之间的关系．16．（14分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点D的坐标．17．（14分）如图，△ABC中，AC＝16，∠BAC＝60°，AB＝10，⊙P分别与边AB、AC 相切于D、E（切点D、E不在边AB、AC的端点），ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求BC边的长和△ABC的面积；（2）设AE＝x，DF＝y，写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）探索△ADC与△DBF能否相似？若能相似，请求出x的值，同吋判断此吋⊙P与边BC的位置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由．。