4.5.2 混凝土和其它准脆性材料的塑性损伤模型这部分介绍的是ABAQUS提供分析混凝土和其它准脆性材料的混凝土塑性损伤模型。
ABAQUS 材料库中也包括分析混凝的其它模型如基于弥散裂纹方法的土本构模型。
他们分别是在ABAQUS/Standard “An inelastic constitutive model for concrete,” Section 4.5.1, 中的弥散裂纹模型和在ABAQUS/Explicit, “A cracking model for concrete and other brittle materials,” Section 4.5.3中的脆性开裂模型。
混凝土塑性损伤模型主要是用来为分析混凝土结构在循环和动力荷载作用下的提供一个普遍分析模型。
该模型也适用于其它准脆性材料如岩石、砂浆和陶瓷的分析；本节将以混凝土的力学行为来演示本模型的一些特点。
在较低的围压下混凝土表现出脆性性质，主要的失效机制是拉力作用下的开裂失效和压力作用下的压碎。
当围压足够大能够阻止裂纹开裂时脆性就不太明显了。
这种情况下混凝土失效主要表现为微孔洞结构的聚集和坍塌，从而导致混凝土的宏观力学性质表现得像具有强化性质的延性材料那样。
本节介绍的塑性损伤模型并不能有效模拟混凝土在高围压作用下的力学行为。
而只能模拟混凝土和其它脆性材料在与中等围压条件（围压通常小于单轴抗压强度的四分之一或五分之一）下不可逆损伤有关的一些特性。
这些特性在宏观上表现如下：•单拉和单压强度不同，单压强度是单拉强度的10倍甚至更多；•受拉软化，而受压在软化前存在强化；•在循环荷载(压)下存在刚度恢复；•率敏感性，尤其是强度随应变率增加而有较大的提高。
概论混凝土非粘性塑性损伤模型的基本要点介绍如下：应变率分解对率无关的模型附加假定应变率是可以如下分解的：是总应变率，是应变率的弹性部分，是应变率的塑性部分。
应力应变关系应力应变关系为下列弹性标量损伤关系：其中是材料的初始（无损）刚度，是有损刚度，是刚度退化变量其值在0（无损）到1（完全失效）之间变化，与失效机制（开裂和压碎）相关的损伤导致了弹性刚度的退化。
在标量损伤理论框架内，刚度退化是各向同性的，它可由单个标量d来描述。
按照传统连续介质力学观点，有效应力可定义如下：Cauchy应力通过标量退化变量（d）转化为有效应力对如任何一个给定的材料截面，因子代表承力的有效面积占总截面积的比重（总截面积剪除受损面积）。
在无损时d=0，有效应力等于cauchy应力。
然而，当损伤发生后，有效应力比cauchy应力更能代表实际情况，因为损伤后截面承力的是有效无损的面积。
因此，可以很方便的用有效应力来建立塑性相关公式。
正如后面将要谈论的那样，退化变量的演化是由一组硬化参数和有效应力控制的：即.硬化变量受拉和受压的损伤状态由两个独立的硬化变量和描述，他们分别代表受拉和受压时的等效塑性应变。
硬化参数的演化由下式给出（下文将进一步讨论）：混凝土的微裂纹和压碎由不断增大的硬化变量来描述。
这些硬化变量控制着屈服面和弹性刚度退化。
他们也与产生新裂纹面所要消耗的断裂能有密切的关系。
屈服函数屈服函数在有效应力空间内代表一个空间曲面，它决定了失效或损伤的状态。
屈服函数，至于本粘性无关的塑性损伤模型其屈服函数的具体形式稍后详细介绍。
流动法则根据流动法则，塑性流动由塑性势G来确定，形式为：式中为非负的流动因子，塑性势也是定义在有效应力空间里的。
其具体形式稍后介绍。
由于使用的是非相关联流动法则，所以刚度矩阵将会是非对称的。
小结：总之，塑性损伤本构模型的混凝土弹塑性损伤是在有效应力空间和硬化变量来描述的式中和F满足Kuhn-Tucker 条件：Cauchy 是由刚度退化变量和有效应力按下式计算得到的。
从等式4.5.2-1可以看出，弹塑性关系与刚度退化是非耦合的。
式4.5.2-2的优点在于他能方便计算机数值计算。
此处总结的非粘性塑性损伤模型可以很轻易地进行拓展就能考虑粘塑性影响了，只要允许有效应力超出屈服面然后对其归一化就可以了。
损伤和刚度退化硬化变量，的演化规律可以很方便的先通过考虑单轴情况在推广到多轴情况来确定（但实际上从单轴到多轴的推广往往并不容易的，译者认为）单轴情况演化：首先假定单轴应力-应变关系可以通过下式转化成应力-塑性应变关系：式中下表t c 分别代表拉压。
和是拉压时的等效塑性应变率，和是拉压等型塑性应变，是温度，是其它预定义常变量。
在单轴拉压情况下有效塑性应变率为：这一节里面我们约定是正数，它代表的是单压时的应力值，即。
正如在图4.5.2-1中显示的那样，当从应力-应变曲线的应变软化段卸载时，可以发现卸载的响应是退化了的，也就是说材料的弹性模量看起来变小了（损伤了）。
弹性刚度的损伤在拉压试验中表现是大不相同的。
但在拉压两种情况中，随着塑性变形的增加损伤效果都是越来越明显的。
混凝土的损伤响应由两个独立的单轴损伤变量和,控制，他们是塑性应变、温度和其它行变量的函数。
图4.5.2–1，混凝土单轴拉和压应力-应变曲线单轴刚度退化变量是等效塑性应变的非减函数，他们的取值范围在0（无损伤）到1（完全损伤）之间。
如果表示材料的初始弹性刚度，那么在单轴拉压下的应力-应变关系分别为在单轴加载条件下，裂纹是沿着与应力垂直方向发展的。
裂纹的成核和扩展就造成了界面有效承载面积的减小，因此就导致了有效应力的增加。
在单轴压是这种承载面积减小的效果还要稍好一点，因为开始是裂纹基本上是平行于应力方向扩展的，但是当压碎发展到比较厉害时有效承载面积也将显著地减小。
那么有效单轴内聚力和形式如下有效单轴内聚力决定了屈服（破坏）面的大小。
单轴循环加载在单轴循环加载条件下，刚度退化机制比较复杂，它设计到预先存在裂纹的开闭问题和裂纹间的相互作用问题。
试验观察发现，但循环加载的应力符号变号是反向加载的刚度有所恢复。
这种刚度恢复也称之为“单边效应”它是混凝土循环加载的一个显著特点。
特别是当应力有拉变为压是，效应很明显，这时压应力是的受拉形成的裂纹闭合从而是受压刚度得到恢复。
混凝土塑性损伤模型假定弹性模量按标量减小变量退化是材料的初始（无损）模量。
这个关系式在拉压曲线中都是成立的，刚度减小变量d 是应力状态和单轴损伤变量和的函数，在单轴循环条件下ABAQUS假定下式成立：.式中和应力状态的函数，引入他们是为了反应由于反向加载是刚度恢复效应，他们定义为：其中，权系数和这里假定为材料参数，他们分别控制应力反向是的刚度恢复能力。
举例来说，考虑图4.5.2–2荷载有拉变成压的情况。
假定材料没有初始预损伤，也就是及，那么此时有拉应力()时，正如预计的那样。
反之压应力()时, .。
如果那么，材料恢复到受压无损状态，反之，若时，，材料没有刚度恢复。
当在0-1之间取值时表示刚度只能部分恢复。
图4.5.2–2受压刚度恢复参数效应的示意图单轴循环加载时的等效塑性演化方程也可以进行推广如下：它在单拉或单压就退化为方程4.5.2-4的形式。
多轴情况有必要把硬化变量的演化规律推广到多轴情况下，在Lee and Fenves (1998)的工作基础上，假定有效塑性应变率可由下式计算得到：式中和分别是塑性应变率张量的最大和最小主值。
是拉压应力权重系数，若有效应力张量三个主值全是正时为1，反之为0。
Macauley 运算定义为：。
单轴加载情况下方程4.5.2-8退化为单轴定义式4.5.2-4和4.5.2-7，因为此时单拉时，单压时。
若果对塑性应变率张量的主值进行排序如：，那么多轴普通应力条件下等效塑性盈利率演化可以写成一下矩阵形式：，。
弹性刚度退化混凝土塑性损伤模型认为混凝土的弹性刚度退化时各向同性的，且可以用一个单标量写成如下形式：式中的刚度退化标量变量d必须与单轴单调加载时的响应一致，同时还要能够反应在循环加载退化机制带来的复杂性。
对普通多轴加载情况ABAQUS假定，形式上与单轴相同，只是现在通过应力权重系数将它推广到多轴情况了：显然，很容易验证方程4.5.2-10的标量退化式与单轴加载时是一致的。
很多准脆性材料（混凝土）的试验表明，当拉应力换到压应力时由于裂纹闭合受压刚度将会恢复。
但是另一方面，当受压是的微裂纹压碎时，由受压换到受拉时的受拉刚度将不会恢复。
鉴于此，ABAQUS 默认条件下，假定及即只有受压刚度恢复而没有受拉刚度恢复。
图4.5.2-3就是默认条件下的一个应力循环的曲线图图4.5.2-3 默认条件下（，.）单轴应力循环曲线图（拉-压-拉）屈服条件本模型的屈服条件基于Lubliner 等人(1989)建议的屈服函数，它综合了Lee and Fenves (1998)的修正以考虑拉压不同时强度的不同演化规律。
用有效应力表达时的屈服函数为：式中和是无量纲材料参数时有效静水压力，是Mises等效应力，是有效应力张量的偏量部分，而是的代数最大主值，函数形式如下式中和分别为有效拉压内聚力。
在双轴受压时，方程4.5.2-11就退化为Drucker-Prage屈服条件，材料系数可由单轴受压强度和双轴受压强度比值给出：一般材性试验给出的单双受压强度比值在1.10 -1.16之间，那么取值在0.08 -0.12 之间(Lubliner et al., 1989)系数只在三维受压时才出现在公式中，它可以通过比较沿拉压子午线的强度比值得到。
根据定义拉子午线是满足主应力空间中的轨迹线，而压子午线是满足的轨迹线。
其中，和是应力主值。
显然易求得，沿拉压子午线其表达式为：，。
当时，响应的屈服准则为：令，为静水压力，那么就有。
事实上大多数试验也并没有证明是变化的，因此就可求出。
对于混凝土来说一般取，那么。
当时，沿拉压子午线的屈服函数就简化为：同理令，那么。
在偏片面上典型的屈服面见图4.5.2-4，图4.5.2-5是平面应力时的屈服面。
图4.5.2-4：对应于不同的值在片平面内的屈服面。
图4.5.2-5平面应力时的屈服面。
流动法则本模型取的是非关联流动法则：塑性势G取为Drucker-Prager双曲函数的形式式中是p–q 面内高围压时的膨胀角，是单轴抗拉强度，是势函数偏心率，它描述势函数向其渐近线逼近的速度（当偏心率趋于零时，流动势函数趋于直线）。
流动势函数的连续光滑性保证了流动方向的唯一性。
当围压很高时流动势函数渐近于线性Drucker-Prager势函数，且与静水轴的交角是90度。
在“Models for granular or polymer behavior,” Section 4.4.2,中对这个势函数有详细的讨论。
因为采用了非关联流动法则，刚度矩阵将会出现非对称。
粘塑性归一化在隐式分析程序里，当材料模型出现软化或刚度退化是往往难收敛。
有些收敛困难可以通过对模型的粘塑性归一化来解决。
