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人教版九年级数学上册《圆周角》优秀PPT课件

∠ ABC = ∠ADC=∠ AEC
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、

课件《圆周角》优秀课件完美版_人教版1

圆心角定义
❖ 定义：顶点在圆心，并且两边都与圆相交的角叫做圆心角。
如图所示：∠AOB 为圆周角
圆周角定义
❖ 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
如图所示：∠ACB 为圆周角
圆周角定理
❖圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。也可以说成：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
❖ 2.如图，在⊙O中，弦AB、CD垂直相交于点 E，求证：∠BOC＋∠AOD＝ 180度
∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3 ＝2∠2+2∠ABD ＝2（∠2+∠ABD）
＝2 ×900 ＝1800
❖ 3.如图，在梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD，BC于E， F两点，并交BA延长线与G，求弧BF的度数
推论3
❖如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
推论4
❖圆内接四边形的对角互补
练习
❖ 1 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D， ∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（ B ）
A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法判断
❖直径（半圆）所对的圆周角是 ∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3
得∠ADB=90°．再由DE⊥ 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所对的弧一定相等。直径（半圆）所对的圆周角是直角
直角 5．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F，DB交AC于G．求证：AF=FG．
如图所示：∠AOB 为圆周角 ∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3

九年级数学上《圆周角》课件新人教版

解：∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
B C A2 B A2 C12 0 6 2 8A
O
B
∵CD平分∠ACB，
A C D B C D .
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
20 20/3/A 17D B D 2A B 2 1 0 52 (c m )
C
称图形
A 1) 2) B 1) 3)
C 2) 3) D 1) 2) 3)
B
2020/3/17
课前热身
1 判断题：
n
(1)相等的圆心角所对的弧相等。 ×
(2)等弦对等弧。
×
O
(3)等弧对等弦。
√
(4)长度相等的两条弧是等弧。 × A
B
(5)平分弦的直径垂直于弦。 ×
2020/3/17
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B
C O A
B
O
A
B'
O'
A'
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等所对的弦的弦心距相等
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B
C O A
B
O
A
B'
O'
A'
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
1.圆心角的定义?
推论 2半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论 3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

人教版数学《圆周角》_精品课件

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尝试运用
2、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD =110°，则∠BAD= 55 ° ，∠BCD=125 °.
A
.O
B
D
C
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3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的 ∠BOC=2∠BAC.
总结：圆周角定理的证明就是反复的利用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和来证的
4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？
5、利用上面的结论，完成下列问题：
如图，在⊙O中，
（1）∠C与∠D相等吗?为什么？
（2）若AB是直径，则∠C= ，∠D=
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探究三 1、什么是圆的内接多边形？什么是多边形的外接圆？
2、画一个圆内接四边形ABCD，它有什么性质，你是如何得到的？与同学交流一下
探究三2.gsp
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24.1.4 圆周角定理
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自主探究
探究一
作一个圆，并在圆中画出两个圆周角，根据你画出的角，
（1）说出圆周角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？

《圆周角》优质ppt人教版1

A.30° B.40° C.50° D.60°
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3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( D ) A．75° B．60° C. 45° D．30°
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证明:∵AB=BC,
∴A︵B=B︵C,
∴∠ADB=∠BDC, 即DB平分∠ADC.
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8.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．试判断 AB，AC之间的大小关系，并给出证明.
解：(1)AB＝AC. 证明如下：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵BD＝DC， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC.
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弦相等
弦心距相等
=30°+70°=100°.
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由直径联想到直角时常
见思路
C
. O
P
B
D
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例3 小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形. 下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么?
解：题图(2)是半圆形． ∵90°的圆周角所对的弦是直径．
《圆周角》优质ppt人教版1
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随堂演练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，
则∠AOC的度数等于（ A ）
A
A.140°
B.130°
C.120°

人教版九年级数学上册第24章第1节《圆周角》课件

探究新知
24.1 圆的有关性质/
素养考点 1 利用圆周角定理及推论求角的度数
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的
大小.
AC
解： ①∵AB是☉O的直径，
O
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
B
=180°-90°-80°=10°.
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
AB BC 2 AC 2 10 5 2(cm). 圆周角，通过构造直角
2
2
三角形来解决。
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C )
A．30° B．45° C．60° D．75°
探究新知
24.1 圆的有关性质/
知识点 3 圆内接四边形
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
基础巩固题
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如
∠BOD=130°则∠BCD的度数是（
A. 115°
B. 130°
C. 65°
D. 50°
C）
C
O
B
D A
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
能力提升题
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
（3）同弦所对的圆周角相等（ × ）
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
基础巩固题
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°, 则∠AOB= 166°．
C
O
A
B
课堂检测

人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课件(31张PPT)

推论 2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径，则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°. 若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°，则 AB 为 ⊙O 的直径.
思考若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
证明 3
你会证明吗？
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心在圆周角的情况
一条边上
圆心在圆周角的内部
圆心在圆周角的外部
图示
结论
∠BAC = ∠BOC．
思考 AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间有什么关系？
同弧所对的圆周角相等．
思考 AB = BC ，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
【教材P88练习第3题】
3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
证明：∵ ∠ACB = ∠AOB，
∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
不一定成立，因为一条弦所对的圆周角有两种情况.
例题4
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB =ADB = 90°．在 Rt△ABC 中， BC AB2 AC 2 102 62 8cm.

上册圆周角人教版九年级数学全一册课件1

第二十四章圆
第4课时圆周角(1)
学习目标
1．熟知圆周角的定义． 2．理解圆周角定理的推导过程，并会运用圆周角定理，掌
知识要点
知识点一：圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
对点训练
1.下列各圆中，∠A 是圆周角的是( A )
上册第24章第4课时圆周角(1)-2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共24张 PPT)
︵
角有 1 个，BC所对的圆周角有
无数个，在图中
︵
再画两个BC所对的圆周角．
图略
上册第24章第4课时圆周角(1)-2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共24张 PPT)
上册第24章第4课时圆周角(1)-2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共24张 PPT)
知识点三：圆周角定理的证明如图，当圆心O在圆周角∠ABC边上时， ∵OA＝OB，∴∠A＝∠B. ∴∠AOC＝∠ A ＋∠ B ＝2∠B，即∠B＝12∠AOC.
12.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D，E 都在⊙O 上，若∠C ＝∠D＝∠E，则∠A＋∠C 在圆上，AD，BD 分别平分 ∠BAC 和∠ABC，延长 AD 交该圆于点 E，连接 BE.求证： BE＝DE.
证明：由图可得∠EBC＝∠EAC. ∵AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAE＝∠EAC，∠DBC＝∠ABD， ∴∠EBC＝∠BAE，∴∠EBC＋∠DBC＝∠BAE＋∠ABD. 又∵∠EBC＋∠DBC＝∠EBD，∠BAE＋∠ABD＝∠BDE， ∴∠EBD＝∠BDE，∴BE＝DE.
上册第24章第4课时圆周角(1)-2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共24张 PPT)

人教版《圆周角》课件-下载1

∠AOB)=90°-
1
2
∠AOB=90°-
2
∠ACB=∠DAC.∵E是的中点，
∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB-
∠OAB=∠EAC-∠DAC=∠EAD.
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证法2:如图72所示，连接OE，∵E是
∴
，∴OE⊥BC.
∵AD⊥BC，∴OE∥AD，
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(2)如图24 - 56所示.答案不唯一.
选择图(2)证明如下: ∵CD是☉O的直径，点C为的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD=90°， ∵CD是☉O的直径,∴∠CFD=90°. ∴∠FDC+ ∠ ECD =90°. ∴ ∠CEB =∠FDC.
时，∠CP'D与∠COB有什么数量关
系?请证明你的结论.
〔解析〕本题两个需证明的结论都是圆心角与圆周角的关系,故可考虑应用同弧(等弧)所对的圆
心角、圆周角关系进行证明.
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证明:(1)连接OD，如图(1)所示.
∵AB是直径，AB⊥CD，∴
.
∴∠COB=∠DOB= 1 ∠COD.
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〔解析〕直线l与直线AB的交点E的位置可以分为三类:(1)点E在线段AB上.(2)点E在线段BA的延长线上；(3)点E在线段AB的延长线上. 解:(1)∠CEB=∠FDC.理由如下: ∵CD是☉O的直径，点C为的中点，
∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，
∵CD是☉O的直径，∴∠CFD=90°. ∴∠FDC+∠ECD=90°.∴∠CEB=∠FDC.

《圆周角》课件模板人教版1

证明：∵ OA=OC
∴∠A=∠C
又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
即∠A=1 ∠BOC 2
《圆周角》课件模板人教版1
A O
B
C
《圆周角》课件模板人教版1
分析论证
你能证明第2种情况吗？
A
提示：作射线AO交⊙O于D。转化为第1种情况
O
证明：由第1种情况得
∠BAD＝
D
50 0 A
O 40° B
C
《圆周角》课件模板人教版1
《圆周角》课件模板人教版1
2、如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。
（1）求证∠APB＜ ∠AQB
证明：连接OP与圆O交于点D，连接AD,BD. 则∠ADB= ∠AQB
因为 ∠BDO> ∠BPO, ∠ADO> ∠APO 所以 ∠BDO +∠ADO >∠BPO +∠APO
C
《圆周角》课件模板人教版1
A
O
1B
C
2
A
O C
B
《圆周角》课件模板人教版1
请问：站在圆心O与站在点C的
人的视角（∠AOB 和∠ACB)有
D
什么关系?
A
∠AOB =2∠ACB
玻
O
璃
站在点D与点E的人的视 C
角（∠ADB和∠AEB）又
E
B
有什么关系呢?
∠ADB=∠AEB
《圆周角》课件模板人教版1
1 2
∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2

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∴ △ABC 为直角三角形.
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推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
C E
D
O
A
B
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个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆）
已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明：以O为圆心，AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，CO= 1 AB,
2
∴AO=BO=CO∴. 点C在⊙O上.
A
·
B
O
又∵AB为直径,∴∠ACB=12×180°= 90°.
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是
︵︵
B
B'
CA ＞ A′C′
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A' C'
A
C
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练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
A C
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=
1
B
∠COD,
2
●O
D
1 ∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
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圆周角定理
❖一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
❖同弧所对的圆周角相等 C
E O D
B
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A
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圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半。
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
A O
B
C
A
O
B
C
A
O C
B
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A
BO C
2、如图，△AB上，且不与A、B重合，则∠BPC
C
等于（ B ）.
A.30° B.60° C.90° D、45°
A
B
P
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1.如图，∠A=50°，∠ABC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）. A.70° B.110° C.90° D.120°
度数有什么关系？
A
(1)当圆心在圆周角的一边上时,
证明:(圆心在圆周角上)
O
OA OC C BAC
BAC
B
1
C BOC
BOC BAC C
2
结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
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2.当圆心在圆周角内部时
2.（南通·中考）如图，⊙O的直径
A
ED O
B
C
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
O
A
B
长是( )
A．1
B． 2
C． 3
C
D．2
【解析】选D. 直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，
30°的角所对的边是斜边的一半.
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例题
例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
判断下列各图形中的是不是圆周角, 并说明理由．
√
√
归纳：
√
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
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探究一：
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？
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探究一：
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角
探究二：
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
2. 90°的圆周角所对的弦是
否是直径？
C
推论：
A
B
O
半圆或直径所对的圆周角都相等,都
等于90°(直角).反过来也是成立的,
即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
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求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这
3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
【解析】连结OA、OB ∵∠C=30°，∴∠AOB=60° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
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跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ D）. A.50° B.80° C.90° D.100°
∠3=∠6 ∠5=∠8
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如果∠A=44°,则∠BOC=_8_8_0_. 如果∠BOC=44°,则∠A=_2_2_0_. 如果∠A=35°,则∠BDC=_3_5__0 .
B
A D
O C
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提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC =1∠AOC.
2
AD C
●O
B
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
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3.当圆心在圆周角外部时提示:能否转化为1的情况?
新人教版九年级数学上册 24 圆
24.1.4 圆周角
学习目标
❖理解圆周角的概念,掌握圆周角的定
理和三个推论的内容及简单应用；
❖掌握圆内接四边形的概念和性质。
∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？你知道∠ACB这一类的角名字吗？
圆周角的概念： C
顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。
B O
A