人教版八下数学第十六章 小结与复习
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【精品人教版】初二八年级数学下册《第十六章 小结与复习》(附答案演示)
4 15
(1)按照上述两个等式及验证过程，猜想4 变形结果并加以验证；
的
解：4 验证：4
4 ＝ 15 4 ＝ 15
4 4＋ ， 15 43 ＝ 15 4 4＋ . 15
(2)根据上述的规律，写出用n(n为正整数且n≥2)表 示的等式，并加以验证.
解：n 验证：n ＝ n ＝ 2 n －1 n ＝ 2 n －1 n n＋ 2 ， n －1 n3 ＝ 2 n －1 n3－n＋n n2－1
∴x2－9＝0，x＝±3.∴y＝4. 当x＝3时，x－y＝3－4＝－1；
当x＝－3时，x－y＝－3－4＝－7.
∴x－y的值为－1或－7.
◆考点二
二次根式的化简及运算
x－3 x＋1 ＝ x－3 成立的x的取 x＋1
7．(2018· 绵阳中考)等式
值范围在数轴上可表示为( B )
9．(2018· 聊城中考)下列计算正确的是( B )
4．若a，b，c为三角形的三边长，则 （a＋b－c）2＋ （ຫໍສະໝຸດ ）2＋ （b－a－c）2 ＝
2a .
5．已知(a＋6)2＋ b2－2b－3 ＝0，则2b2－4b－a的 值为 12 .
6．已知x，y为实数，且y＝ 求x－y的值．【方法1②】
x2－9－ 9－x2 ＋4，
解：依题意有x2－9≥0，9－x2≥0，
◆考点四
二次根式中的规律性问题
15．观察下列等式：
1 第1个等式： a1＝ ＝ 2－1； 1＋ 2 1 第2个等式： a2＝ ＝ 3－ 2； 2＋ 3
1 第3个等式： a3＝ ＝2－ 3； 3＋2
1 第4个等式： a4＝ ＝ 5－2， 2＋ 5 按上述规律，回答以下问题：
1
(1)请写出第n个等式，an＝ n＋ n＋1
(1)按照上述两个等式及验证过程，猜想4 变形结果并加以验证；
的
解：4 验证：4
4 ＝ 15 4 ＝ 15
4 4＋ ， 15 43 ＝ 15 4 4＋ . 15
(2)根据上述的规律，写出用n(n为正整数且n≥2)表 示的等式，并加以验证.
解：n 验证：n ＝ n ＝ 2 n －1 n ＝ 2 n －1 n n＋ 2 ， n －1 n3 ＝ 2 n －1 n3－n＋n n2－1
∴x2－9＝0，x＝±3.∴y＝4. 当x＝3时，x－y＝3－4＝－1；
当x＝－3时，x－y＝－3－4＝－7.
∴x－y的值为－1或－7.
◆考点二
二次根式的化简及运算
x－3 x＋1 ＝ x－3 成立的x的取 x＋1
7．(2018· 绵阳中考)等式
值范围在数轴上可表示为( B )
9．(2018· 聊城中考)下列计算正确的是( B )
4．若a，b，c为三角形的三边长，则 （a＋b－c）2＋ （ຫໍສະໝຸດ ）2＋ （b－a－c）2 ＝
2a .
5．已知(a＋6)2＋ b2－2b－3 ＝0，则2b2－4b－a的 值为 12 .
6．已知x，y为实数，且y＝ 求x－y的值．【方法1②】
x2－9－ 9－x2 ＋4，
解：依题意有x2－9≥0，9－x2≥0，
◆考点四
二次根式中的规律性问题
15．观察下列等式：
1 第1个等式： a1＝ ＝ 2－1； 1＋ 2 1 第2个等式： a2＝ ＝ 3－ 2； 2＋ 3
1 第3个等式： a3＝ ＝2－ 3； 3＋2
1 第4个等式： a4＝ ＝ 5－2， 2＋ 5 按上述规律，回答以下问题：
1
(1)请写出第n个等式，an＝ n＋ n＋1
人教版数学八年级下册 第十六章 小结与复习 课件
第十六章 二次根式
小结与复习
单元结构图 回顾整个单元的学习内容，补充单元结构图：
二次根式
定义 性质
我们学过哪些二次根式的 运算？运算法则是什么？
二次根式的 化简和运算
二次根式 有哪些性
质？
___________
二次根式运算的结果一般 要化成什么形式？
知识回顾
1. 二次根式的定义：一般地，形如____a__(a≥0) 的式
a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干个 非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例4 下列二次根式是最简二次根式的是( C )
1
A.
B. 4 C. 3 D. 8
2
被开方数为 分数
含可开方的 因式
练一练
1. 求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) x 4 4 x ；
20 =
3 2 3
52
36
5
= 8 5 5 3. 3
考点二 二次根式的综合应用
例6 把两张面积都为 18 的正方形纸片各剪去一个面 积为 2 的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所 示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒． 求这个纸盒的侧面积 ( 接缝忽略不计 )． 2
解：S= （
18-
x-y=2 2
(2)
x2
2xy x2 y2
y2
1 2x 2y
x2 - y2 = 4 6
分式 化简
(x y)2 • 2(x y) (x y)(x y)
上式 = 4 2
练一练
6. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验 公式 v 16 df ，其中 v 是车速(单位：千米/时)，d 是 汽车刹车后车轮滑动的距离(单位：米)，f 是摩擦系数. 在某次交通事故调查中，测得 d = 20 米，f = 1.2，请你 帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度．
小结与复习
单元结构图 回顾整个单元的学习内容，补充单元结构图：
二次根式
定义 性质
我们学过哪些二次根式的 运算？运算法则是什么？
二次根式的 化简和运算
二次根式 有哪些性
质？
___________
二次根式运算的结果一般 要化成什么形式？
知识回顾
1. 二次根式的定义：一般地，形如____a__(a≥0) 的式
a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干个 非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例4 下列二次根式是最简二次根式的是( C )
1
A.
B. 4 C. 3 D. 8
2
被开方数为 分数
含可开方的 因式
练一练
1. 求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) x 4 4 x ；
20 =
3 2 3
52
36
5
= 8 5 5 3. 3
考点二 二次根式的综合应用
例6 把两张面积都为 18 的正方形纸片各剪去一个面 积为 2 的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所 示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒． 求这个纸盒的侧面积 ( 接缝忽略不计 )． 2
解：S= （
18-
x-y=2 2
(2)
x2
2xy x2 y2
y2
1 2x 2y
x2 - y2 = 4 6
分式 化简
(x y)2 • 2(x y) (x y)(x y)
上式 = 4 2
练一练
6. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验 公式 v 16 df ，其中 v 是车速(单位：千米/时)，d 是 汽车刹车后车轮滑动的距离(单位：米)，f 是摩擦系数. 在某次交通事故调查中，测得 d = 20 米，f = 1.2，请你 帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度．
八年级数学下册第十六章 小结与复习教学课件
解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a2 a, b2 b.
∴原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
3.若实数a,b满足| a 2 |
b
4
0,则
a2 b
1.
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的结
果是 2 .
5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
解：x2 y2 x2 y2 (x y)(x y) x y.
xy xy xy
xy
当 x 1 2 3, y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
例7 有这样一道题：“计算 x
x2 4 x
x2 4 x2 x＞2
x x2 4 x x2 4
的值，其中x=2018”.小卿把“x=2018”错抄成“x=2081” ，
a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
解:(1)由题意得3a 2 0，a 2； (2)由题意得1 2a 0，a 1；3
写成另一个式子的平方，如 3 2 2 1 2 2 ，善于思
∴原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
3.若实数a,b满足| a 2 |
b
4
0,则
a2 b
1.
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的结
果是 2 .
5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
解：x2 y2 x2 y2 (x y)(x y) x y.
xy xy xy
xy
当 x 1 2 3, y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
例7 有这样一道题：“计算 x
x2 4 x
x2 4 x2 x＞2
x x2 4 x x2 4
的值，其中x=2018”.小卿把“x=2018”错抄成“x=2081” ，
a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
解:(1)由题意得3a 2 0，a 2； (2)由题意得1 2a 0，a 1；3
写成另一个式子的平方，如 3 2 2 1 2 2 ，善于思
人教版数学八年级下册教学设计：第16章二次根式小结复习(二)
人教版数学八年级下册教学设计：第16章二次根式小结复习(二)一. 教材分析人教版数学八年级下册第16章二次根式小结复习(二)的内容主要包括：二次根式的性质、运算规则、化简方法以及应用。
本章是学生在学习了二次根式的基本概念和性质后，进一步深化对二次根式的理解和运用的过程。
通过对本章内容的复习，使学生能够巩固和提高二次根式的运算能力，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了二次根式的基本概念、性质和运算规则，具备了一定的运算能力和解决问题的能力。
但部分学生对二次根式的化简方法和应用仍存在一定的困难，需要通过本节课的复习和训练来进一步提高。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质和运算规则，提高运算能力。
2.学会二次根式的化简方法，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质和运算规则。
2.二次根式的化简方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲练结合、分组讨论、案例分析等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的运算能力、解决问题的能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关练习题。
3.案例分析材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次根式的基本概念和性质，引导学生回忆起已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的运算规则，并通过例题展示运算过程，让学生理解并掌握运算方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，及时发现和纠正学生的错误。
4.巩固（10分钟）分组讨论PPT上的练习题，让学生互相交流解题思路，提高团队协作能力。
5.拓展（10分钟）给出一个实际问题，让学生运用二次根式的知识解决，培养学生的解决问题的能力。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调二次根式的性质、运算规则和化简方法。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的课后练习题，巩固所学知识。
新人教版初中数学八年级下册第十六章小结与复习公开课优质课课件
2
a a 0 ;
3．最简二次根式
a a＞0 ， 2 a a 0 a 0 , a a＜0 .
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次 根式． (1)被开方数不含_______ 分母 ； (2)被开方数中不含能___________ 开得尽方 的因数或因式．
（ B） D.6个
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x ;
1 (2) x 5 . 3 x
x 4≥0, 解：(1) 由题意得 4-x≥0，
∴x=4.
x 5 0, (2) 由题意得 3 x 0,
解得 - 5≤x＜3.
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再
算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
1 (2) 3a 2; ; (1) 1 2a
a (4) . a 1 2 a ； 解:(1)由题意得 3a 2 0， 1 3 (2)由题意得1 2a 0， a ； 2 (3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数； a≥0， (4)由题意得 a 1 0, ∴a≥0且a≠1.
(4) 5 6 2 5
(3) 6 5
2
6
2
2 6 5 52 31 10 6;
6 2
5
2
6 2
2
5 84 3
4 3 3.
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序
人教版八年级下册第十六章小结与复习 (共28张PPT)
整体思想
例10 已知x
2 1, y
2 1
，求 x y
yx
解：∵ x y 2 1 2 1 2 2,
xy 2 1 2 1 1.
的值.
∴
x y x2 y2 x y 2 2xy
y x xy
xy
2
2 2 2
6.
1
类比思想
例11 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以
考点三 二次根式的化简及运算
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，
请化简： | a | a2 b2 .
a0 b
【解析】化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：由数轴可以确定a<0,b>0 所以 | a | a, a2 a, b2 b.
所以原式=-a-(-a)+b=b.
a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
=
x2
x x2 4 x x2 4
2 x2 x2 4
=
x2 =x2 2 x2 = 2，
x2 x2 4
∴无论x取何值，原式的值都为-2.
考点六 本章解题思想方法
分类讨论思想 例9 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
数学八下第十六章-小结与复习ppt课件
当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
考点五 本章解题思想方法
分类讨论思想 例8 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
告诉 歌唱 检查
•阳光下的花园里，各色的花朵开得 灿烂。小蜜蜂嗡嗡地歌唱着，绕着 花朵飞来飞去，像个辛勤的小花农 在检查自己的庄园；花丛中不时传 出的笑声，像是在告诉人们——春 天到了。
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个 非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
[结果] 并联电路的电压 U1=_______U2=_______U=_______
实验表明: 并联电路两端的总电压等于各支路两 端的电压. 并联电路 U1=U2=U
用电压表测量并联电路的电压
[总结]
语文园地七
趣味识字
加一加 口+少=吵 山+夕=岁 减一减 飘-风=票 张-长=弓
月+半=胖 王+见=现
解：根据题意得v 16 20 1.2 32 6（千米/时）．
答：肇事汽车在出事前的速度是 32 6 千米/时．
2018-2019学年人教版数学初二下册第十六章-小结与复习ppt课件
考点二 二次根式的性质
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y 的值.
2
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知
2 (3 x y 1) 和 均为0. x 1
2
解：∵ x 1 (3x y 1) 0,
∴x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2.
（ B） D.6个
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x ;
1 (2) x 5 . 3 x
x 4≥0, 解：(1) 由题意得 4-x≥0，
∴x=4.
x 5 0, (2) 由题意得 3 x 0,
解得 - 5≤x＜3.
2
考点三 二次根式的运算及应用 例4 计算：
(1) 8 12 2;
(3)
3 (2) 5 15 15; 5
65 ;
2
(4)
5 6 2
5 6 2 .
(1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3; 解：
3 3 1 1 3 1 1 (2) 5 15 5 15 5 ; 15 5 15 5 5 15 15 5 15 5
第十六章 二次根式
小结与复习
要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业
要点梳理
1．二次根式的概念
a a≥0)的式子叫做二次根式. 一般地，形如____(
对于二次根式的理解：
①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0.
[易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否
则就没有意义.
人教版数学八年级下册第十六章二次根式小结与复习课件
3.若x，y是实数，且y＜
x1
1x 12,求
1 y
y 1
的值.
解：根据题意得， 1x
1≥ x≥
0， 0，
∴x=1.
.
∵y＜ x1 1x1,
2
∴y＜ 1 ，
2
∴ 1 y 1 y 1 .
y 1 y 1
要点梳理 二、二次根式的性质
=-a-2b+a-b=-3b．
已知
，求
的值；
( a )2
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
课堂小结
最简二次根式
二
次
性质
根
式
(a) 2=a (a≥ 0)
a2
a
aa ≥0 aa＜0
b b a＞0，b≥0 aa
加、减、乘、除运算
课后作业：
课本复习题16
中考链接
1.若二次根式
m2
m m
2
2 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
2.无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
2. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化
简：
a24ab4b2. ab
解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， 则 a24ab4b2ab =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b．
要点梳理
四．二次根式的乘除法则：
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解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a2 a, b2 b.
∴原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
3.若实数a,b满足| a 2 |
b
4
0,则
a2 b
1.
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的结
果是 2 .
5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
解：(1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3;
(2)5 15
3 5
15 5 15
3 5
1 5 15 15
1 15
3 5
4
,其中a
2.
a2 4 a 2 a(a 1)
解：原式 (a 2)(a 2) (a 2)2
(a 2)(a 1) (a 2)2
(a 2)(a 2) a(a 1)
a2 a
当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
考点五 本章解题思想方法
整体思想
例9 已知 x
2 1, y
2 1 ，求
x y 的值.
yx
解：∵ x y 2 1 2 1 2 2,
xy 2 1 2 1 1.
∴
x y x2 y2 x y 2 2xy
y x xy
xy
2
2 2 2
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个 非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
第十六章 二次根式
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1．二次根式的概念 一般地，形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否 则就没有意义.
2．二次根式的性质:
=
x2
x x2 4 x x2 4
2 x2 x2 4
=
x2 =x2 2 x2 = 2，
x2 x2 4
∴无论x取何值，原式的值都为-2.
针对训练
10.
先化简，再求值：1
a2 a2 4
a2
a2 a 4a
2 (3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数；
a≥0， (4)由题意得 a 1 0, ∴a≥0且a≠1.
方法总结
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1.下列各式： 5;
a2 ;
3
3;
8;
x 1(x 1);
分类讨论思想 例8 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
3
8
解：(1)原式
24 1 4 2 1 2 2
3
4
2
2;
(2)原式 6 3 2 6 3 6 6.
9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出 经验公式 v 16 df ，其中v是车速（单位：千米每 小时），d是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位： 米），f是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得 d=20米，f=1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出 事前的速度．
逆用也
乘法： a g b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)； 适用.
a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
0, 0,
解得 - 5≤x＜3.
考点二 二次根式的性质
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值. 【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和(3x y 1)2均为0. 解：∵ x 1 (3x y 1)2 0, ∴x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
解:(1)由题意得3a 2 0，a 2； (2)由题意得1 2a 0，a 1；3
1 51; 15 5
(3)
2
65
2
6 2
6 5 52 31 10
6;
2
2
(4) 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 8 4 3
4 3 3.
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序 一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律 和乘法公式简化运算.
(1)7;
(2)x2 1;
解：(1)7
2
7;
(3) 1 . 11
2
(2)x2 1= x2 1 ；
2
(3)
1 11
=
1
11
.
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
入数值计算即可.
解：x2 y2 x2 y2 (x y)(x y) x y.
xy xy xy
xy
当 x 1 2 3, y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
例7 有这样一道题：“计算 x
x2 4 x
x2 4 x2 x＞2
6.
1
类比思想
例10 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以
写成另一个式子的平方，如 3 2 2 1 2 2 ，善于思
考的小明进行了以下探索：
2
设 a b 2 m n 2（其中a、b、m、n均为整数），则 有 a b 2 m2 2n2 2mn 2,a m2 2n2 ,b 2mn. 这 样小明就找到了一种把类似 a b 2 的式子化为平方式 的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
x x2 4 x x2 4
的值，其中x=2018”.小卿把“x=2018”错抄成“x=2081” ，
但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？
解：∵ x x2 4 x x2 4 x2
x x2 4 x x2 4
2
2
x x2 4 x x2 4
x2 2x 1
中，一定是二次根式的个数有
（ B）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x;
(2) x 5 1 . 3 x
解：(1)
由题意得
x 4≥0,
4-x≥0，
∴x=4.
(2)
由题意得
x 3
5 x
2
a aa 0;
a a＞0，
a2
a
0
a
0 ,
a a＜0 .
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次
根式．
(1)被开方数不含__分__母___；
(2)被开方数中不含能__开__得__尽__方___的因数或因式．
4．二次根式的乘除法则：
6.下列运算正确的是
（C ）
A. 2 3 5
B.2 2 3 2 6 2
C. 12 3 2
D.3 2 2 3
7. 若等腰三角形底边长为 12cm ，底边的高为
( 3 2)cm. 则三角形的面积为 (3 6)cm2 .
8. 计算：
(1) 24 1 4 1 (1 2)0; (2) 3( 2 3) 24 | 6 3 | .
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 a b 3 m n 3 2，
∴原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
3.若实数a,b满足| a 2 |
b
4
0,则
a2 b
1.
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的结
果是 2 .
5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
解：(1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3;
(2)5 15
3 5
15 5 15
3 5
1 5 15 15
1 15
3 5
4
,其中a
2.
a2 4 a 2 a(a 1)
解：原式 (a 2)(a 2) (a 2)2
(a 2)(a 1) (a 2)2
(a 2)(a 2) a(a 1)
a2 a
当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
考点五 本章解题思想方法
整体思想
例9 已知 x
2 1, y
2 1 ，求
x y 的值.
yx
解：∵ x y 2 1 2 1 2 2,
xy 2 1 2 1 1.
∴
x y x2 y2 x y 2 2xy
y x xy
xy
2
2 2 2
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个 非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
第十六章 二次根式
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1．二次根式的概念 一般地，形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否 则就没有意义.
2．二次根式的性质:
=
x2
x x2 4 x x2 4
2 x2 x2 4
=
x2 =x2 2 x2 = 2，
x2 x2 4
∴无论x取何值，原式的值都为-2.
针对训练
10.
先化简，再求值：1
a2 a2 4
a2
a2 a 4a
2 (3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数；
a≥0， (4)由题意得 a 1 0, ∴a≥0且a≠1.
方法总结
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1.下列各式： 5;
a2 ;
3
3;
8;
x 1(x 1);
分类讨论思想 例8 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
3
8
解：(1)原式
24 1 4 2 1 2 2
3
4
2
2;
(2)原式 6 3 2 6 3 6 6.
9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出 经验公式 v 16 df ，其中v是车速（单位：千米每 小时），d是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位： 米），f是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得 d=20米，f=1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出 事前的速度．
逆用也
乘法： a g b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)； 适用.
a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
0, 0,
解得 - 5≤x＜3.
考点二 二次根式的性质
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值. 【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和(3x y 1)2均为0. 解：∵ x 1 (3x y 1)2 0, ∴x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
解:(1)由题意得3a 2 0，a 2； (2)由题意得1 2a 0，a 1；3
1 51; 15 5
(3)
2
65
2
6 2
6 5 52 31 10
6;
2
2
(4) 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 8 4 3
4 3 3.
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序 一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律 和乘法公式简化运算.
(1)7;
(2)x2 1;
解：(1)7
2
7;
(3) 1 . 11
2
(2)x2 1= x2 1 ；
2
(3)
1 11
=
1
11
.
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
入数值计算即可.
解：x2 y2 x2 y2 (x y)(x y) x y.
xy xy xy
xy
当 x 1 2 3, y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
例7 有这样一道题：“计算 x
x2 4 x
x2 4 x2 x＞2
6.
1
类比思想
例10 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以
写成另一个式子的平方，如 3 2 2 1 2 2 ，善于思
考的小明进行了以下探索：
2
设 a b 2 m n 2（其中a、b、m、n均为整数），则 有 a b 2 m2 2n2 2mn 2,a m2 2n2 ,b 2mn. 这 样小明就找到了一种把类似 a b 2 的式子化为平方式 的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
x x2 4 x x2 4
的值，其中x=2018”.小卿把“x=2018”错抄成“x=2081” ，
但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？
解：∵ x x2 4 x x2 4 x2
x x2 4 x x2 4
2
2
x x2 4 x x2 4
x2 2x 1
中，一定是二次根式的个数有
（ B）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x;
(2) x 5 1 . 3 x
解：(1)
由题意得
x 4≥0,
4-x≥0，
∴x=4.
(2)
由题意得
x 3
5 x
2
a aa 0;
a a＞0，
a2
a
0
a
0 ,
a a＜0 .
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次
根式．
(1)被开方数不含__分__母___；
(2)被开方数中不含能__开__得__尽__方___的因数或因式．
4．二次根式的乘除法则：
6.下列运算正确的是
（C ）
A. 2 3 5
B.2 2 3 2 6 2
C. 12 3 2
D.3 2 2 3
7. 若等腰三角形底边长为 12cm ，底边的高为
( 3 2)cm. 则三角形的面积为 (3 6)cm2 .
8. 计算：
(1) 24 1 4 1 (1 2)0; (2) 3( 2 3) 24 | 6 3 | .
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 a b 3 m n 3 2，