01-4 具有某些特性的函数

§4 具有某些特性的函数(一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法． (2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性。

1. 有界函数 若函数)(x f 在定义域D 上既有上界又有下界，则称f 为D 上的有界函数。

这个定义显然等价于，对一切D x ∈，恒有 K x f ≤|)(|有界函数的几何意义请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。

例 ),0(,sin )(∞+∈=x x x x f 是无界函数。

证明 对任意的0>M ，存在 M n n >+22:ππ，取22ππ+=n x m ，则M n x f m >+=22)(ππ2. 单调函数看下面函数的图像，给出单调函数的定义 (a8) (a10)I奇函数与偶函数 （1）定义域关于原点对称（2）奇函数（偶函数）对任何D x ∈ 有 )()(x f x f -=-， （)()(x f x f =-） 两条缺一不可。

clf, x=-2:1/20:2; y1=x.^3; y2=x.^2-1; subplot(1,2,1)plot(x,y1,'r','linewidth',2),hold on plot([-1.8,1.8],[0,0]) plot([0,0],[-6,6]) legend('x^3') subplot(1,2,2)plot(x,y2,'r','linewidth',2),hold on plot([-1.8,1.8],[0,0]) plot([0,0],[-2,4])axis([-2,2,-2,4]),legend('x^2');奇、偶函数的运算性质请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质clf, x=-1.2*pi:1/20:1.2*pi;subplot(2,2,1);y1=sin(x).*x.^3; plot(x,y1,'r','linewidth',2), hold onplot([-4,4],[0,0],'b',[0,0],[-35,10],'b')title('x^3*sinx');hold onsubplot(2,2,2)y2=cos(x).*x.^2; plot(x,y2,'r','linewidth',2) hold onplot([-4,4],[0,0],'b',[0,0],[-15,5],'b')title('x^2*cosx');subplot(2,2,3);y3=sin(x).*cos(x);plot(x,y3,'r','linewidth',2) hold onplot([-4,4],[0,0],'b',[0,0],[-0.5,0.5],'b') title('sinx*cosx');subplot(2,2,4);y4=3*sin(x)+sin(x./3);plot(x,y4,'r','linewidth',2)hold onplot([-4,4],[0,0],'b',[0,0],[-2,15],'b'),title('3(sinx+sinx/3)')axis([-4,4,-4,20]);周期函数例如常见的三角函数1)通常我们所说的周期总是指函数的最小周期2)有的周期函数不一定有最小周期，例如常函数是周期函数，狄里克雷函数，它们显然没有最小周期周期函数运算后的周期clf, x=-2*pi:1/20:2*pi;subplot(2,1,1);y1=2*sin(4*x).*cos(8*x); plot(x,y1) hold ontitle('sin2x+cos4x');plot([-6,6],[0,0],'r',[0,0],[-2,2],'r'),hold onplot([pi/2,pi/2],[-2,2],'r-') title('2sin2x*cos4x');hold on subplot(2,1,2)y2=sin(2*x)+cos(4*x); plot(x,y2) hold onplot([-6,6],[0,0],'r',[0,0],[-2,2],'r'),hold on plot([pi,pi],[-2,2],'r-') axis([-6,6,-2,2])两个周期函数的和函数的周期是多少？总 练 习 2 证明: 注意2/1uy =是初等函数, 2x u =是初等函数 ⇒ 二者的复合||2x x y ==是初等函数, 同样若f 初等函数, 则 ||f 是初等函数]||)[(21)(g f g f x M -++= ，利用上面结论，)(x M 是初等函数。

5 ]50,30[,]52[∈+=x x y 6 （5）8 ))(())(())(())(())(()()()(x h h x g h x g g x g f x f f x h x g x f ≤≤≤≤⇒≤≤9|])()(||)()(|)()()()([21|])()(|)()(|)()(|)()([21)()(112212121111222212x g x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x ---+-+-=-----++=-ϕϕ14 偶延拓 1sin )(+=x x f第一章函数概念1． 证明下列不等式： (1) x y x y - ≥ - ；(2) 1212n n x x x x x x ++ ≤ +++ ；)(3) 1212(||||||n n x x x x x x x x |+++| ≥ ||- + ++ ）. 2．求证||||||1||1||1||a b a b a b a b + ≤ + ++ + +.3．求证||max(,)22a b a b a b + -=+ ； ||min(,)22a b a b a b + -=- . 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ ，试求此三角形的面()s θ ，并求其定义域.5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域. 6．某公共汽车路线全长为 20km ，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括5km ）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km ）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间t 的变化规律为()f t ，且三个角分别有对应关系(0)0f = ，(10)20f = ，(20)0f = ，求()20f t t (0≤≤) ，并作出函数的图形.8．判别下列函数的奇偶性： (1) 42()12x f x x = + - ；(2) ()sin f x x x = + ；(3) 22()x f x x e - = ；(4) ()lg(f x x = .9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： (1) 2()cos f x x = ； (2) ()cos sin 23x xf x = +2 ；(3) ()cos f x x π= 4；(4) ()f x . 10．证明 2()1x f x x=+在 (,) -∞ +∞ 有界. 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明21()f x x =在(0,1)无界. 12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.13．设()f x 为定义在(,) -∞ +∞ 内的任何函数，证明()f x 可分解成奇函数和偶函数之和. 14．用肯定语气叙述：在(,) -∞ +∞ 上(1) ()f x 不是奇函数； (2) ()f x 不是单调上升函数； (3) ()f x 无零点； (4) ()f x 无上界.复合函数与反函数1． 设()1x f x x 1-=+，求证 (())f f x x = . 2． 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 112y x x x = (+) , 1 < < +∞ ；(2) 12x x y e e x -= ( - ) , -∞ < < +∞ ；(3) 2,1,,4,2,4.xx x y x x x -∞ < < ⎧⎪= 1≤ ≤⎨⎪ < <+∞⎩3．设()f x ，()g x 为实轴上单调函数，求证(())f g x 也是实轴上的单调函数. 4．设2,0,1,0,()(),0.,0.x x x x f x g x x x x x ≤ - - ≤ ⎧⎧ = = ⎨⎨ > - > ⎩⎩求复合函数(())f g x ，()g f x ( ). 5．设()f x ，求n f f f x () () 次.6．设 ()|1|||f x x x+ - 1 - ＝，试求n f f f x () ()次. 7．设 1()f x x =1-，求(())f f x ，((()))f f f x ，1()()f f x .初等函数1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形： (1) ||y x = ； (2) []y x x = - ； (3) tan ||y x = ；(4) y (5) 2sin y x = ；(6) sin cos y x x = | | + | |.2．若已知函数()y f x = 的图形，作函数1()y f x = ，2()y f x = - ，3()y f x = --的图形，并说明123y y y , , 的图形与y 的图形的关系.3．若已知函数(),()f x g x 的图形，试作函数[()()()()y f x g x f x g x 1= + ±- ] 2的图形，并说明y 的图形与()f x 、()g x 图形的关系.4． 作出下列函数的图形： (1) sin y x x = ；(2) 1sin y x =. 5．符号函数0,0,0,1,0,x y sgn x x x 1 , > ⎧⎪= = = ⎨⎪- < ⎩试分别作出sgn x ，sgn )x (2 ，sgn(2)x - 的图形.6．作出下列函数的图形： (1) cos y sgn x = ；(2) ]22x y x ⎡⎤= [ - ⎢⎥ ⎣⎦.。