基本事件 ω是随机变动的. 做n次试验
“ω ∈ A”的次数 A发生的频率 = → P ( A) n
在每次试验中， 是确定的， F统计试验： 统计试验： 统计试验 在每次试验中， u0是确定的，
集合 A∗ 是随机变动的 . 做n次试验
“u0 ∈ A∗”的次数 u0 对A的隶属频率 = → A( u0 ) n
连续描出图形，可得到“青年人” 连续描出图形，可得到“青年人”隶属函数曲 线。
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2 0 15 20 25 30 35
岁
上述F统计试验说明了隶属程度的客观规律 上述 统计试验说明了隶属程度的客观规律. 统计试验说明了隶属程度的客观规律
F统计与概率统计区别： 统计与概率统计区别： 统计与概率统计区别 随机试验： 在每次试验中， 是确定的， 随机试验： 在每次试验中， A是确定的，
0
a
b
x
③中间型
x<a 0 x − a a≤ x<b b − a A( x ) = 1 b≤ x<c d − x c≤ x<d d − c 0 d≤x
1
0a b
c d
x
③中间型
x<a 0 k x − a a≤ x<b 1 b − a A( x ) = 1 b≤ x<c k 0a b d − x c≤ x<d d − c d≤x 0
§6 确定隶属函数的方法综述
一、确定隶属函数的几种主要方法
1.F统计方法
确定“青年人”的隶属函数 确定“青年人”的隶属函数.
青年人” 以年龄为论域 U , A是“青年人”在 U上的F集. 选取 u0 = 27岁, 用F统计实验确定 u0对A的隶属度 .
选择若干（ ）合适人选， 选择若干（n）合适人选，请他们写出各自认为 “青年人”最适宜、最恰当的年限，即将模糊概念 青年人”最适宜、最恰当的年限， 明确化。 明确化。
c d
x
(3)抛物型分布 (3)抛物型分布 ①偏小型 1 k b − x A( x ) = b − a 0 ②偏大型 0 k x − a A( x ) = b − a 1
x<a a≤ x≤b b< x
x<a 1 a≤ x≤b b< x
x ≤ a1 0 a1 + a2 π 1 1 A( x ) = + sin x− a1 < x ≤ a2 2 2 2 a2 − a1 1 a2 < x
③中间型
x ≤ −a 2 0 1 1 a1 + a2 π + sin x− − a2 < x ≤ −a1 2 2 2 a2 − a1 A( x ) = 1 − a1 < x ≤ a1 1 1 a1 + a2 π − sin x− a1 < x ≤ a2 2 2 2 a2 − a1 0 a2 < x
x
−∞
Pη ( x )dx
的概率密度， 其中Pξ ( x )和Pη ( x )分别是随机变量 ξ和η的概率密度，即
A2 ( x ) = 1 − A1 ( x ) − A3 ( x )
按概率方法计算，得 按概率方法计算，
x − a1 A1 ( x ) = 1 − Φ σ1 x − a2 A3 ( x ) = Φ σ2
1 A( x ) = 1 + α ( x − a )β
x > a (α > 0, β > 0)
(α > 0, β正偶数 )
（6）岭形分布 ） ①偏小型 1 x ≤ a1 a1 + a2 π 1 1 A( x ) = − sin x− a1 < x ≤ a2 2 2 2 a2 − a1 0 a2 < x ②偏大型
接近， 接近，
x≤a x > a (α > 0, β > 0)
那么，可选哥西分布作为（年轻人）的隶属函数。 那么，可选哥西分布作为（年轻人）的隶属函数。 下面根据年龄特征确定参数。 下面根据年龄特征确定参数。
区别： 区别：
若把概率统计比喻为“变动的点” 若把概率统计比喻为“变动的点”是否 落在“不动的圈” 落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈” 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否 盖住“不动的点” 盖住“不动的点”.
二相F统计 二相 统计: 设有二相集 P2 = { A, A } 统计
aik ( u)为元素 u在第 k次试验划归 Ai的次数 1 n k u对Ai的隶属频率 Ai ( u) = ∑ ai ( u) n k =1
1 n k 1m n k ∑ Ai ( u) = ∑ ∑ ai ( u) = ∑ ∑ ai ( u) n i =1k =1 i =1 i =1n k =1
1 n m k 1 n 1 = ∑ ∑ ai ( u ) = ∑ 1 = • n = 1 n k =1 i = 1 n i =1 n
次实验中覆盖27岁的年龄区间的次数为 若n次实验中覆盖 岁的年龄区间的次数为 ， 次实验中覆盖 岁的年龄区间的次数为m， 则称m/n为27岁对于（青年人）的隶属频率。 为 岁对于 青年人）的隶属频率。 岁对于（ 则称
岁对（ 表2-1 27岁对（青年人）的隶属频率 岁对 青年人）
实验次数n 实验次数 隶属次数m 隶属次数 隶属频率 m/n 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78 10 20 30 40 6 14 23 31 50 39 60 47 70 53 80 62 90 100 110 68 76 85 120 130 95 101
b
x
(2)半梯形分布与梯形分布 (2)半梯形分布与梯形分布 ①偏小型 1 b − x A( x ) = b − a 0 ②偏大型
x<a a≤ x≤b b< x x<a a≤ x≤b b< x
1
0
a
b
x
0 x − a A( x ) = b − a 1
1
(1)矩形分布或半矩形分布 (1)矩形分布或半矩形分布
1
①偏小型
1 x ≤ a A( x ) = 0 x > a
0
a
x
②偏大型
0 x < a A( x ) = 1 x ≥ a
1
0
③中间型
a
x
1
0 x < a A( x ) = 1 a ≤ x < b 0 b ≤ x
0
a
2
1
A( x ) =
− ∞ < x < +∞
（5）哥西分布 ） ①偏小型
0
x≤a
a
x
1百度文库 A( x ) = 1 1 + α ( x − α ) β
x > a (α > 0, β > 0)
1
1
1
0
a
x0
a
x 0
x≤a
a
x
②偏大型
0 A( x ) = 1 1 − α ( x − a )− β ③中间型
A3 ( x )
0
a1
a2
x
数对(ξ ,η )确定映射
e(ξ ,η ) :
即
U → { A1 , A2 , A3 }
x≤ξ A1 ( x ) e(ξ ,η )( x ) = A2 ( x ) ξ < x ≤ η A ( x) x >η 3
概率P{ x ≤ ξ }是随机变量 ξ落在区间[ x , b )的可能大小.
ξ : 矮个子与中等个子的分 界点 η : 中等个子与高个子的分 界点
矮个子 ,中等个子和高个子的区 间是随机区间 ,
从而 ξ 和 η 是随机变量 .它们服从正态分布 . 它们服从正态分布
2 2 ξ ~ N (a1 ,σ 1 ), η ~ N (a2 ,σ 2 )
A1 ( x ) A2 ( x )
1 1
x
0
a1 a1 + a2a2 2
− a2 − a10 a1 a2 1
x
x
0
a1 a1 + a2 a2 2
例： 建立（年轻人）的隶属函数， 根据统计资料， 建立（年轻人）的隶属函数， 根据统计资料， 作出其大致曲线， 作出其大致曲线，发现与哥西分布
1 A( x ) = 1 1 + α ( x − α ) β
1
0
a
b
x
0
a
b
x
（4）正态分布 ） ①偏小型
1 A( x ) = x − a 2 − e σ
②偏大型
x≤a x>a
1
0
a
x
0 x≤a 2 A( x ) = x −a − 1 − e σ x>a
1
0
a
x
③中间型
x −e − σ e
∀ Ai ∈ F (U ) i = 1, 2 ⋯ m .每次试验都确定一个映 射 e : U → Pm 多项 F统计的结果 , 可确定各相在 U上的隶属函数 它们满足 ∀u ∈ U , A1 ( u) + A2 ( u) + ⋯ + Am ( u) = 1
设进行了 n 次试验 , 第 k次试验的映射为 e k . 1 ek ( u) = Ai k 令 ai ( u ) = 0 ek ( u) ≠ Ai
m
m
2.三分法 三分法 用随机区间的思想处理模糊性（模糊性的清晰化） 用随机区间的思想处理模糊性（模糊性的清晰化）
建立矮个子 A1 ,中等个子 A2 , 高个子 A3的隶属函数
设 P3 = { A1 , A2 , A3 }, U = [0,3] (单位： m ) 单位：
每次 F 试验确定 U 的一次划分 , 每次划分确定 一对数（ . 一对数（ ξ ,η）
c
每次F试验确定一个映射： 每次 试验确定一个映射： 试验确定一个映射
e : U → P2
c
这是对 U的一次划分 , 是两个相反的模糊概念 中竟选的结果。 在 U 中竟选的结果。隶属函 数 A ( u )与 A ( u )满足
c
∀ u ∈ U , A(u) + A (u) = 1
多相F统计 多相 统计: 设有多相集 Pm = { A1 , A2 ,⋯, Am } 统计
从而
x − a1 x − a2 A2 ( x ) = Φ − Φ σ1 σ2
这里
Φ( x ) = ∫
x
−∞
1 2π
t2 − e 2 dt
用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法. 用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法
3.F分布
实数R 实数 作为论域的情况 . 实数 R 上 F 集的隶属函数称为 F 分布 . 列出典型F 列出典型 分布, 根据问题性质选择适当 分布.
m → A( 27 ) = 0.78 n 每组以中值为代表， 将论域 U分组, 每组以中值为代表，分 别计算各组
隶属频率 .(见表 2 − 2)
表2-2 分组计算隶属频率（实验次数129） 分组计算隶属频率（实验次数 ）
分 组 13.5~14.5 14.5~15.5 15.5~16.5 16.5~17.5 17.5~18.5 18.5~19.5 19.5~20.5 20.5~21.5 21.5~22.5 22.5~23.5 23.5~24.5 24.5~25.5 频数 2 27 51 67 124 125 129 129 129 129 129 128 隶属频率 0.016 0.210 0.395 0.519 0.961 0.969 1 1 1 1 1 0.992 分 组 25.5~26.5 26.5~27.5 27.5~28.5 28.5~29.5 29.5~30.5 30.5~31.5 31.5~32.5 32.5~33.5 33.5~34.5 34.5~35.4 35.5~36.5 频数 103 101 99 80 77 27 27 26 26 26 1 隶属频率 0.798 0.783 0.767 0.620 0.597 0.209 0.209 0.202 0.202 0.202 0.008
增大， 变小， 若x增大，则[ x , b )变小，从而落在区间 [ x , b )的可能性 也变小. 概率 P{ x ≤ ξ }的这个特性与矮个子 F集相同 .
所以有
A1 ( x ) = P { x ≤ ξ } = ∫
+∞ x
Pξ ( x )dx
类似地
A3 ( x ) = P{η < x } = ∫
