2020高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第五节直接证明与间接证明数学归纳法课件理新人教A版

课时作业39 基本不等式

一、选择题

1．已知a，b∈R＋且a≠b，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是( )

A．xy

C．x＝y D．视a，b的值而定

解析：由不等式a2＋b22≥a＋b22，可得a＋b2≥a＋b2，又因为 a＋b2

答案：A

2．设函数f(x)＝x＋1x－1，当x>1时，不等式f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，3] B．[3，＋∞)

C.72，＋∞ D.－∞，72

解析：当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1x－1＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时等号成立，函数f(x)有最小值3.由不等式f(x)≥a恒成立，得实数a的取值范围是(－∞，3]．

答案：A

3．点(a，b)在直线x＋2y＝3上移动，则2a＋4b的最小值是( )

A．8 B．6

C．42 D．32

解析：由题可得a＋2b＝3，因为2a＋4b＝2a＋22b≥22a＋2b＝223＝42，当且仅当a＝2b，即a＝32，b＝34时等号成立．

答案：C

4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )

A．3 B．4 C.92 D.112

解析：∵2xy＝x·2y≤x＋2y22，∴8＝x＋2y＋2xy≤(x＋2y)＋x＋2y22，令x＋2y＝t，则t2＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8(舍去)，∴x＋2y的最小值为4.

答案：B

5．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋ax1x2的最小值是( )

A.63 B.233

C.236 D.433

解析：∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2，又a>0，∴Δ>0，∴x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋ax1x2＝4a＋a3a2＝4a＋13a≥24a·13a＝433，当且仅当a＝36时取等号．故x1＋x2＋ax1x2的最小值是433.

高三数学证明题推理方法

数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用

所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。下面就是小编给大家带来的高三

数学证明题推理方法，希望大家喜欢!

一、合情推理

1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先

根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一

般结论;

2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中

一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要

充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

二、演绎推理

演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进

行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一

定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。

三、直接证明与间接证明

直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证

明。综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系

列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或

顺推证法、由因导果法)。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它

成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件

(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。

间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。假设原

命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明

原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

四、数学归纳法

数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正

整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成

立。

一、分类记忆法

遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。例如求

导公式有 18 个，就可以分成四组来记： (1)常数与幂函数的导数(2 个); (2)指

高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析

在高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用已知的条件和基本的数学知识，通过逻辑推理和证明方法来得出结论。这类题目不仅考察学生的数学思维能力，还培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。本文将介绍一些常用的证明方法，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、直接证明法

直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理和运用已知条件来得出结论。具体步骤如下：

1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要分析已知条件，找到与结论相关的条件和信息。

3. 然后，我们要根据已知条件和结论，通过逻辑推理和数学运算，一步一步地推导出结论。

4. 最后，我们要对证明过程进行总结，确保每一步的推理都是合理的，并且符合数学规律。

下面通过一个具体的例子来说明直接证明法的应用。

【例题】已知：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC。

证明：∠ABC=45°。

【解析】

根据已知条件，我们可以得到∠B=90°和AB=BC。 接下来，我们通过直接证明法来证明∠ABC=45°。

由于∠B=90°，所以∠ABC+∠BCA=90°。（三角形内角和定理）

又因为AB=BC，所以∠BCA=∠ABC。（等腰三角形的性质）

将上述两个等式带入∠ABC+∠BCA=90°中，得到∠ABC+∠ABC=90°。

化简得到2∠ABC=90°，即∠ABC=45°。

因此，我们通过直接证明法证明了∠ABC=45°。

二、间接证明法

间接证明法是一种通过反证法来证明结论的方法。它假设结论不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而反驳了假设，证明了结论的正确性。具体步骤如下：

1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要假设结论不成立，即假设反面命题成立。

3. 然后，我们要通过逻辑推理和数学运算，推导出矛盾的结论。

第 1 页 共 55 页

第九章 概率

第一节随机事件的概率

1．事件的相关概念

2．频数、频率和概率

(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．

(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．

3．事件的关系与运算

名称 条件 结论 符号表示

包含关系 A发生⇒B发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B)

相等关系 若B⊇A且A⊇B 事件A与事件B相等 A＝B

并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)

交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)

互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝∅

对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A∪B)＝1

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为1. 第 2 页 共 55 页

(3)不可能事件的概率为0.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．( )

(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件．( )

(3)事件发生的频率与概率是相同的．( )

(4)若事件A发生的概率为P(A)，则0

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×