第21讲 滑移线速度场理论

证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由 曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始 位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点 所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代 替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑 移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切 应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别

ω+dω
P2
vα ω
x
滑移线上邻近两点的速率分解
金属塑性成形原理
盖林格尔速度方程:
dv v d 0 （沿α线） dv vd 0 （沿β线）
(7-12)
此方程式给出了沿滑移线上速度分量的变化特性，它可确定塑性变形 区内的速度分布。
若 α 滑移线为直线，则
d 0, v 常数
直线滑移线场，
v 常数,v 常数
金属塑性成形原理
对于由两族 α与β 连续正交的曲线网络所 构成的滑移线场，则在速度平面上相应有一 由两族连续正交的速度矢端曲线网络所构成 的速度矢端图(速端图)，即为速度场。
滑移线和速度矢端曲线之间的关系
金属塑性成形原理
2.几种速度间断线的速端图
(1)滑移线ab为速度间断直线 其一侧为刚性区(“-”) ，另一侧为塑性区(”+‘)。由于ab两侧分别具有同一
(7-10)
金属塑性成形原理
过P点取滑移线为坐标系，以滑移线α、β的切线代替x、y轴，则有：
x , y
x ,y
由于σα，σβ 是最大切应力所在平面上的正应力
m
代入(7-10)得:
0, 0
(7-11a)
d
dt
0 d
0
d
dt
0 d
0
(7-11b)
取滑移线为坐标系
速度，故在速度平面的速度矢端曲线分别归缩为一个点，其速端图如图所示。
a)速度间断直线
b)速端图
图7-22 速度间断直线及其速端图
金属塑性成形原理
(2)滑移线ab为速度间断曲线，两侧分别为刚性区与塑性区 刚性区一侧在速度平面上的速度矢端曲线归缩为一点，而塑性区一侧

第八章滑移线理论及应用
平面应变问题和滑移线场
滑移线：塑性变形区 内，最大切应力等于 材料屈服切应力的轨 迹线。
滑移线场：两族相互 正交的滑移线构成的 网络。
1.平面变形应力状态的特点
ksin2pksin2
x
m
ksin2pksin2
y
m
kcos2kcos2 xy
p称为静水压力
应力莫尔圆中大圆
2）特征值问题
Cauchy问题
3）混合问题
塑性区
刚区
滑移线场的 近似图解法
n
§8.5 三角形均匀场与简单扇形场 组合问题及实例
简单滑移线场问题：金属塑性加工中，许多平 面应变问题的滑移线场是由三角均匀场和简单 扇形场组合而成的。 平冲头压入半无限体、平冲头压入、某些特定 挤压比下的挤压、剪切乃至切削加工。
滑移线场绘制的数值计算方法
实质：利用差分方程近似代替滑移线的微 分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑移 线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平 均应力p和Φ角。
1）特征线问题
Riemann问题 研究目的：寻找已知静水压力 p 和Φ角的点
上相应的倾角差（ ）成正比。 平面变形应力状态的特点 (4)滑动摩擦接触表面 由屈服条件：镦粗、轧制为三向压应力状态，其工作应力大于变形抗力，应力状态影响系数nσ>l，三向压应力越明显，nσ越大； (5)同族的两条滑称线(如α1和α2线)与另族任意一条滑称线(如β1或β2线)相交两点的倾角差ΔФ ，和静水压力变化量Δp均保持不变； (3)滑移线上任意一点的倾角Ф值与坐标的选择相关，而静水压力p的大小与坐标选择无关； 一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点所移动的路程（如 dSα） 研究目的：寻找已知静水压力 p 和Φ角的点 平面变形应力状态的特点 Φ为最大切应力τmax方向与坐标轴Ox的夹角 (4)滑动摩擦接触表面 组合问题及实例 φ角是α线在任意点P的切线正方向与Ox轴的夹角。 与塑性加工力学中的其他方法相比，它是数学上比较严谨、理论上比较完整、计算精度较高的一种方法。 ——滑移线的沿线力学方程 滑移线理论法的基本原理

二、滑移线场的建立
1、塑性区的应力边界条件
常见的应力边界条件有以下四种类型 （1）不受力的自由表面
1 2 K , 3 0 1 0, 3 2 K
x m k sin 2 y m k sin 2 xy k cos 2
一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ3 σ3 K β β
0
σm K σ1 α
σ1 K β σm
K
σm 0 K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线

沿同一条滑移线的速度间断值为常数，其方 向随滑移线而改变
dv v d 0
1 1
dv v d 0
2 2
v v
1
2
dv dv
1
2
v v v 常数
1 2
第五节 滑移线场理论在塑性成形中的 应用举例
应用滑移线理论求解塑性成型问题，其 本质就是根据应力边界条件求解滑移线场和 应力状态，并根据速度边界条件求出和滑移 线场相匹配的速度场以进行校核。

σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向

4
σ3方向 σ1方向
K
K
α
σ1 K Kβຫໍສະໝຸດ σ1K判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别