三角函数中“1”的代换

高中数学中“1”的代换高中数学中有不少题目，如果能巧妙地利用1的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效。

1．“1”在指数函数、对数函数中的应用例1：计算5lg 2lg 35lg 2lg 33++解法一：原式()()5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2lg 22++-+= 5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 22++-=5lg 5lg 2lg 22lg 22++=()25lg 2lg +=1= 解法二：2lg 15lg 5lg 2lg 1-=⇒+=代入原式得()()2lg 12lg 32lg 12lg 33-+-+2lg 32lg 32lg 2lg 32lg 312lg 2323-+-+-+=1= 点评：解法一利用因式分解，解法二利用代入法。

注：5lg 2lg 1+=例2：已知01>>>b a 且11log >-）（x b a ，求x 的取值范围。

解：首先01>-x ，即1>x又 a a x b =>-11log ）（，而1>a1log 01log b b x =>-⇒）（，而10<<b211<⇒<-⇒x x综合知21<<x点评：本题充分利用1和0的代换把原式转化为与左边同底数的式子，利用函数的单调性解之。

注：()()101log 001≠>=≠=b b a a b 且2．“1”在三角函数中的应用例3：已知2tan =α，求αα2cos 2sin +的值。

分析：由2tan =α可求出552sin ±=α，55cos ±=α代入计算，有点麻烦，不妨借助1的代换来解题。

解：原式1cos cos sin 22ααα+=ααααα222cos sin cos cos sin 2++=（分子分母同除以α2cos ） 11t a n 1t a n 22=++=αα 点评：借助1的代换大大简化了计算量，做完后的心情肯定很爽。

三角函数转换公式大全总结三角函数是数学中常见的一类函数，由于其定义在一个单位圆上，可以用来描述很多自然现象和物理现象。

在数学中，经常会使用一些三角函数的转换公式来简化计算和推导。

下面是常见的一些三角函数转换公式总结。

1.正、余函数的关系：sin(x) = cos(x - π/2)cos(x) = sin(x + π/2)这两个公式很容易理解，就是将正弦函数和余弦函数互换角度就可以得到。

2.平方和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)这两个公式可以用来计算两个三角函数之间的和差关系。

通过平方和差公式，可以将两个三角函数之和或之差转化为两个三角函数之积。

3.和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)这四个公式可以用来将两个三角函数的和或差表示为两个三角函数的积。

4.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan^2(x))这些公式可以用来计算两倍角度的三角函数值，可以用于简化计算和推导。

5.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x))/2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x))/2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x))/(1 + cos(x)))这些公式可以用来计算半角的三角函数值，同样可以用于简化计算和推导。

高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

第１章三角函数任意角的三角函数概念(1）已知角α的终边过点P(-4m，3m）(m≠0），则2sｉｎα+ｃoｓα的值是＿_____＿＿．(２）函数y=错误!+错误!未定义书签。

的定义域是___＿＿＿＿_.思路点拨：(1）根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负.(２)利用三角函数线求解.（1）错误!未定义书签。

或－错误!(2)错误![(１)r=|OP|＝错误!未定义书签。

=5｜ｍ|。

当ｍ＞0时,sin α＝错误!未定义书签。

＝＼ｆ（３m,5m）＝＼ｆ(3，5）,cｏs α=错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

=-错误!未定义书签。

,∴2sin α＋cｏｓα＝错误!.当m<０时，sin α=错误!=错误!=-错误!未定义书签。

，cos α＝错误!＝错误!未定义书签。

＝错误!，∴2sin α+cos α＝-错误!.故2sin α＋cｏｓα的值是＼f(２,５）或－错误!未定义书签。

.（2)由错误!得错误!未定义书签。

如图，结合三角函数线知:错误!解得2k π≤ｘ≤２k π+错误!未定义书签。

(k ∈Z ),∴函数的定义域为错误!未定义书签。

]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(１)任意角和弧度制。

理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

(2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域．1．(1)已知角α的顶点在原点,始边为x 轴的非负半轴.若角α的终边经过点P (－＼r(３）,y ），且ｓin α=错误!y (ｙ≠0）,判断角α所在的象限，并求cos α和ta ｎ α的值；（2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上,求１０ｓi ｎ α＋错误!的值．[解］ （１)依题意，点P 到原点Ｏ的距离为|PO ｜=错误!，∴sin α＝错误!未定义书签。

＝错误!＝错误!y .∵ｙ≠0，∴9＋3y 2＝１6,∴ｙ２＝错误!未定义书签。

数学等价代换公式数学中的等价代换公式是一种重要的数学工具，它可以用来简化计算过程、转化复杂的表达式、证明定理等。

等价代换公式有很多种，下面我将介绍几个常见的等价代换公式，并说明它们的应用。

1. 分配律分配律是最基本的等价代换公式之一，用于展开括号。

它可以表示为：a(b+c) = ab+ac。

这个公式的应用非常广泛，可以用于化简多项式的乘法运算，展开括号后进行合并同类项等。

2. 合并同类项合并同类项是指将具有相同变量的项合并在一起，它可以用于简化代数表达式。

例如，对于表达式2x+3x，我们可以使用等价代换公式2x+3x = (2+3)x = 5x，将两个相同变量的项合并为一个。

3. 幂运算法则幂运算法则是用于计算幂运算的等价代换公式。

它包括以下几个规则：- a^m * a^n = a^(m+n)：两个相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

- (a^m)^n = a^(m*n)：一个幂的指数再次取幂，底数不变，指数相乘。

- (a*b)^n = a^n * b^n：幂的底数为两个数的乘积，指数不变，分别对底数取幂后再相乘。

- (a^n)*(b^n) = (a*b)^n：幂的底数为两个数的乘积，指数不变，先分别对底数取幂，再将结果相乘。

4. 对数运算法则对数运算法则是用于计算对数运算的等价代换公式。

它包括以下几个规则：- log_a(x*y) = log_a(x) + log_a(y)：对数的底数为两个数的乘积，底数不变，分别对两个数取对数后再相加。

- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)：对数的底数为两个数的商，底数不变，分别对两个数取对数后再相减。

- log_a(x^n) = n*log_a(x)：对数的底数为一个数的幂，底数不变，将幂移到对数的前面。

5. 三角函数的等价代换公式三角函数的等价代换公式有很多种，常见的有：- sin^2(x) + cos^2(x) = 1：三角函数sin和cos的平方和等于1，这是三角函数的基本等式之一。

高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。