当前位置：文档之家 › 九年级数学 第三讲 二次函数相关

九年级数学 第三讲 二次函数相关

  • 格式：doc
  • 大小：752.00 KB
  • 文档页数：11

2021年寒假班九年级数学教案 第二讲 二次函数的图像和性质

1 第三讲 二次函数系数相关

知识点1：二次函数的图象与系数的关系

1、a的符号：由抛物线的开口方向决定．开口向上，则a＞0；开口向下，则a＜0．

2、b的符号：由对称轴和a的符号决定，若对称轴是y轴，则b=0；若对称轴在y轴左侧，顶点的横坐标－2ba＜0，即2ba＞0，则a、b为同号；若对称轴在y轴右侧，顶点的横坐标－2ba＞0，即2ba＜0．则a、b异号． “左同右异”．

3．c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定．若抛物线交y轴于正半，则c＞0，抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；若抛物线过原点，则c=0．

4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．若抛物线与x轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．

5、a+b+c与a－b+c的符号：根据x＝1或x＝－1时，y对应的值的符号确定.

例1、已知二次函数cbxaxy2的图象如图 l－2－2所示，则a、b、c满足（ ）

A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0

例2、已知二次函数cbxaxy2 (a≠0）且a＜0，a－b+c＞0，则一定有（ ）

A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac＝0 C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≤0

例3、二次函数cbxaxy2的图象如图1－2－10，则点（b，ca ）在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

例4、已知函数cbxaxy2的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b ＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________-

例5、已知抛物线cbxaxy2与x轴交点的横坐标为－1，则a＋c=_________.

例6、抛物线cbxaxy2中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为____________

例7、抛物线cbxaxy2如图1－2－12 所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是___________.

例8、若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写一个）

例9、已知二次函数cbxaxy2的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c< 0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 2021年寒假班九年级数学教案 第二讲 二次函数的图像和性质

2 知识点2：二次函数解析式求法

1．二次函数的三种表示方法：

⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；

⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；

⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．

2．二次函数表达式的求法：

⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得cbxaxy2；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。

⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()yaxhk其中顶点为(h，k)，对称轴为直线x=h；

⑶交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：12()()yaxxxx,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）。

解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设2axy；已知顶点（0，c），即在y轴上时可设caxy2；已知顶点（h，0）即顶点在x轴上可设2)(hxay.

注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。

例10、已知抛物线cbxaxy2的对称轴为x=2，且经过点(0，4）和点（5，0），则该抛物线解析式为__________.

例11、若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同，则此函数关系式______.

例12、在直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕O点按逆时针方向旋转900到△COD。

（1）求C，D两点的坐标；

（2）求经过C，D，B三点的抛物线解析式。

2021年寒假班九年级数学教案 第二讲 二次函数的图像和性质

3 例13、如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。点A,C的坐标分别是(－1，0)，(0，23)。

（1）求此抛物线对应的函数解析式；

（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。

例14、在ΔABC中，∠ABC＝90○ ，点C在x轴正半轴上，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上(图1－2－26所示），若 tan∠BAC= 12 ，OB=2，求经过 A、B、C点的抛物线的解析式．

例15、已知：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x 轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在直线BC上，且SΔPAC=12 SΔPAB，求点P的坐标．

2021年寒假班九年级数学教案 第二讲 二次函数的图像和性质

4 综合训练三

一、 选择题：

1、抛物线3)2(2xy的对称轴是（ ）

A. 直线3x B. 直线3x C. 直线2x D. 直线2x

2、二次函数cbxaxy2的图象如右图，则点),(acbM在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

3、已知二次函数cbxaxy2，且0a，0cba，则一定有（ ）

A. 042acb B. 042acb C. 042acb D. acb42≤0

4、把抛物线cbxxy2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532xxy，则有（ ）

A. 3b，7c B. 9b，15c

C. 3b，3c D. 9b，21c

5、已知反比例函数xky的图象如右图所示，则二次函数222kxkxy的图象大致为（ ）

O x y A O x y

B O x y

C O x y

D

6、下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数cxcaaxy)(2与一次函数caxy的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

O x y

A O x y

B O x y

C O x y

D

7、抛物线322xxy的对称轴是直线（ ）

A. 2x B. 2x C. 1x D. 1x

8、二次函数2)1(2xy的最小值是（ ）

A. 2 B. 2 C. 1 D. 1

O x y

O x y 2021年寒假班九年级数学教案 第二讲 二次函数的图像和性质

5 9、二次函数cbxaxy2的图象如图所示，若

cbaM24cbaN，baP4，则（ ）

A. 0M，0N，0P

B. 0M，0N，0P

C. 0M，0N，0P

D. 0M，0N，0P

二、填空题：

9、 将二次函数322xxy配方成khxy2)(的形式，则y=______________________.

10、有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：

甲：对称轴是直线4x；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

11、已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.

12、如图，抛物线的对称轴是1x，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是)0,3(，则A点的坐标是________________.

O x y

A B

1 1

16题图

三、解答题：

13、已知函数12bxxy的图象经过点（3，2）.

（1）求这个函数的解析式；

（2）当0x时，求使y≥2的x的取值范围.

2 1 -1 O x y 2021年寒假班九年级数学教案 第二讲 二次函数的图像和性质

6 14、如右图，抛物线nxxy52经过点)0,1(A，与y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.

15、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；

（3） 求第8个月公司所获利润是多少万元？

16、卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面1:11000的比例图上去，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）. 在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）.

0.9cm

5cm A B C

D E M

O

（1） A B C

D E M

O

（2）

O

x y

1 -1

B A

合集下载

九年级上册数学二次函数知识点

九年级上册数学二次函数知识点

九年级上册数学二次函数知识点

一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的特殊形式。

- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。

- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。

- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。

二、二次函数的图象和性质。

1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）

- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。

- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。 - 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。

2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。

- 图象：也是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。

上海九年级上数学二次函数

上海九年级上数学二次函数

课 题 二次函数基础

教学目标 二次函数的主要性质，二次函数的图像

重点、难点 图像与性质的综合分析

考点及考试要求 中考重要知识点

教学内容

【典型例题解析】

1.关于二次函数的概念

例1 如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么m的值为 。

例2 抛物线422xxy的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。

2.关于二次函数的性质及图象

例3 函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，

则a、b、c，24bac，2ab,cba，cba的符号

为 ，

例4 已知a－b＋c=0 9a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在（ ）

（A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限 （D）第二或第三象限

例5 在同一坐标系中，直线baxy和抛物线cbxaxy2的图象只可能是（ ）

3.确定二次函数的解析式

例6 已知：函数cbxaxy2的图象如图：那么函数解析式为（ ）

（A）322xxy （B）322xxy

（C）322xxy （D）322xxy

例7 如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）（1）求 B、C、D三点的坐标；（2）抛物线cbxaxy2经过B、C、D三点，求它的解析式；

4.以二次函数为基架的综合题

例8 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。 -1 O

X=1 Y

X

Y

O X Y

O X Y

O X Y

第三讲二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象2021年新九年级数学暑假课程(浙教版)(原卷版)

第三讲二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象2021年新九年级数学暑假课程(浙教版)(原卷版)

第三讲 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象

1.2二次函数的图象（2）

【学习目标】

1．会用描点法画二次函数2(0)yaxbxca的图象.

2.会用配方法将二次函数2yaxbxc的解析式写成2()yaxhk的形式；

3掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系。

【基础知识】

一、二次函数2(0)yaxbxca与2()(0)yaxhka之间的相互关系

1.顶点式化成一般式

从函数解析式2()yaxhk我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称2()yaxhk为顶点式，将顶点式2()yaxhk去括号，合并同类项就可化成一般式2yaxbxc．

2.一般式化成顶点式

2222222bbbbyaxbxcaxxcaxxcaaaa

22424bacbaxaa．

对照2()yaxhk，可知2bha，244acbka．

∴ 抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24,24bacbaa．

要点：

1．抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24,24bacbaa，可以当作公式加以记忆和运用．

2．求抛物线2yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

二、二次函数2(0)yaxbxca的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线；

2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．

九年级上册数学二次函数知识点 2

九年级上册数学二次函数知识点 2

九年级上册数学二次函数知识点

篇1：九年级上册数学知识点二次函数

九年级上册数学知识点二次函数

二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(乘)=a乘^2b乘c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：

一般式

y=a乘∧2;b乘c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

顶点式

y=a(乘m)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(乘-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;

交点式

y=a(乘-乘1)(乘-乘2)[仅限于与乘轴有交点A(乘1，0)和B(乘2，0)的抛物线];

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

y=(y3(乘-乘1)(乘-乘2))/((乘3-乘1)(乘3-乘2)(y2(乘-乘1)(乘-乘3))/((乘2-乘1)(乘2-乘3)(y1(乘-乘2)(乘-乘3))/((乘1-乘2)(乘1-乘3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(乘1乘乘2)(y1为截距)

求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

乘是自变量，y是乘的二次函数

乘1,乘2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法还有因式分解法和配方法

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像