- 1 - 二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。
一、 三点型
例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。
分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x2-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax2+bx+c.
二、交点型
例2 已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x2+8x-9
的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21
∴y=21x(x-3),即 y=xx23212.
三、顶点型
例 3 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。
分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21 - 2 - ∴y=-,4)1(212x
即y=-.27212xx
由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。
四、平移型
例 4 二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122xxy则b与c分别等于
(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.
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初中-数学-打印版 求二次函数解析式的三种方法
一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)yaxbxca.
方法：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，即可得到二次函数的解析式.
例1、（2010 天津）已知二次函数2yaxbxc(0a)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x … 32 1 12 0 12 1
32 …
y … 54 2 94 2 54 0 74 …
则该二次函数的解析式为 ．
分析：表格给出了自变量x和函数值y的六组对应数值，也就知道了二次函数的图像经过的六个点的坐标，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式.
解：设抛物线的解析式为2yaxbxc，由图像可知，抛物线经过点（1，2）、（0，2）、C（1，0）三点，所以220abccabc，解得112abc，所以该二次函数的解析式为22yxx.
二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)yaxhka
方法：先将顶点坐标（h，k）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a，即可得抛物线的解析式.
例2、如图（1）所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．22yx B．22yx C．212yx D．212yx 初中-数学-打印版
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分析：由图可知二次函数的顶点坐标为（0、0），所以二次函数的解析式可以设为2yax进行求解.
解：设二次函数为2yax，把点（2，-2）代入解析式，得222a，解得12a，所以二次函数的解析式为212yx，故选C.
九年级数学圆、二次函数试题
考试时间：60分钟
一、选择题（共10小题，满分35分）
1. （3分）将二次函数34-2+=xxy通过配方可化为khxay+=2)-(的形式，结果为（ ）
A.1-)2-(2xy= B.3)2-(2+=xy C.3)2(2++=xy D.1-)2(2+=xy
2. （3分）关于二次函数12-2+=xy，下列说法中正确的是（ ）
A.它的开口方向是向上 B.当1-
C.它的原点坐标是（-2,1） D.当0=x时，y有最大值是21-
3. （3分）二次函数cbxaxy++=2与一次函数caxy+=，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
4. （3分）若点)1-(1yM，，)1(2yN，，)27(3yP，都在抛物线)0(1422mmmxmxy上，则下列结论正确的是（ ）
A.321yyy B.231yyy C.213yyy D.312yyy 5. （3分）抛物线2xy向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（ ）
A.2)3(2xy B.2-)3(2xy C.3)2(2xy D.3-)2(2xy
6. （4分）关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直线平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
7. （4分）如图，在○·O中，直径CD弦AB，若30C，则BOD的度数是（ ）
A.30 B.40 C.50 D.60
8. （4分）如图，○·O的半径为6，点CBA、、在○·O上，且45BCA，则点O到弦AB的距离为（ ）
A.3 B.6 C.23 D.26
最新九年级数学求二次函数解析式专题讲解
类型一 利用“三点式”求二次函数解析式
1.已知一个二次函数的图象经过A(0,-1)、B(1,5)、C(-1,-3)三点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)用配方法把这个函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式.
解析 (1)设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
根据题意得 -
- -
解得
-
所以这个二次函数的解析式为y=2x2+4x-1.
(2) y=2x2+4x-1=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3.
2.已知二次函数的图象经过点(0,3)、(-3,0)、(2,-5).
(1)试确定此二次函数的解析式;
(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上.
解析 (1)设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
将(0,3)、(-3,0)、(2,-5)代入y=ax2+bx+c,得
解得 -
-
∴此二次函数的解析式是y=-x2-2x+3.
(2)当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,
∴点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.
3.已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点D是抛物线上一点,且点D的横坐标为-2,求△AOD的面积.
解析 (1)把A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)代入y=ax2+bx+c得
-
-
解得
-
-
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(2)把x=-2代入抛物线的解析式得y=5,即D(-2,5),
∵A(3,0),∴OA=3,
∴S△AOD=
×3×5=
.
类型二 利用“顶点式”求二次函数解析式
4.对称轴平行于y轴的抛物线的顶点坐标为(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么该抛物线的解析式是( )
