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九年级二次函数讲义

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二次函数

一．知识梳理

1、定义：只含有一个未知数;且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方..一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0

a≠0

其中： ax2叫做二次项; bx叫做一次项 ; c叫做常数项

a是二次项系数;b是一次项系数

2、一元二次方程根的判别式二次项系数不为0：

“△”读作德尔塔;在一元二次方程ax2+bx+c=0 a≠0中△=b2-4ac

△=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根;即：x1;x2

△=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根;即：x1=x2

△=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根..

注：“<====>” 是双向推导;也就是说上面的规律反过来也成立;如：告诉我们方程没有实数根;我们便可以得出△<0

3、一元二次方程根与系数的关系二次项系数不为0;△≥0;韦达定理..

ax2+bx+c=0 a≠0中;设两根为x1;x2;那么有：

因为：ax2+bx+c=0 a≠0化二次项系数为1可得 ;

所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数;两根之积等于常数项..

注意：1在一元二次方程应用题中;如果解出来得到的是两个根;那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟..

5、一元二次方程的求根公式：

注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根;虽然使用起来较为复杂;但非常有效..

一、求二次函数的三种形式：

1. 一般式：y=ax2+bx+c;已知三个点

顶点坐标－2ba;244acba

2.顶点式：y=ax－h2+k;已知顶点坐标对称轴

顶点坐标h;k

3.交点式：y=ax- x1x- x2;有交点的情况

与x轴的两个交点坐标x1;x2

对称轴为221xxh

二、a b c作用分析

│a│的大小决定了开口的宽窄;│a│越大;开口越小;│a│越小;开口越大;

a， b的符号共同决定了对称轴的位置;当b=0时;对称轴x=0;即对称轴为y轴;当a;b同号时;对称轴x=－2ba<0;即对称轴在y轴左侧;当a;b•异号时;对称轴x=－2ba>0;即对称轴在y轴右侧;左同右异y轴为0c•的符号决定了抛物线与y轴交点的位置;c=0时;抛物线经过原点;c>0时;与y轴交于正半轴；c<0时;与y•轴交于负半轴;以上a;b;c的符号与图像的位置是共同作用的;也可以互相推出．

二．专题精练

专题一：二次函数与一元二次方程的关系

本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根;由图象判断一元二次方程根的情况;由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等;题型主要填空题、选择题和解答题.

考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值;确定方程根的范围

一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.

例1 根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值;判断方程ax2+bx+c=0a≠0;a;b;c;为常数的一个解x的范围是 抛物线

顶点坐标

对称轴

位置

开口方向

增减性

最值 y=ax2+bx+ca>0 y=ax2+bx+ca<0

由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定

a>0,开口向上 a<0,开口向下

在对称轴的左侧,y随着x的增大而在对称轴的左侧,y随着x的增大而abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当x y

0 x y

0 6.17 6.18 6.19 6.20

Ａ．66.17x Ｂ．6.176.18x Ｃ．6.186.19xＤ．6.196.20x

考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时;交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值;即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

例2 已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示;则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.

考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况

当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时;则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时;则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时;则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.

例3 在平面直角坐标系中;抛物线21yx与x轴的交点的个数是

A.3 B.2 C.1 D.0

专项练习3

1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点;则k的取值范围是________.

2.已知二次函数22yxxm的部分图象如图2所示;则关于x的一元二次方程220xxm的解为 ．

3.已知函数2yaxbxc的图象如图3所示;那么关于x的方程220axbxc 图2 4

图1 的根的情况是

A.无实数根 B.有两个相等实数根

C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根

图4所示;4. 二次函数2(0)yaxbxca的图象如根据图象解答下列问题：

1写出方程20axbxc的两个根．

2写出不等式20axbxc的解集．

值范围． 3写出y随x的增大而减小的自变量x的取4若方程2axbxck有两个不相等的实数根;求k的取值范围．

专题二、探究几何图形中的二次函数关系

例11在梯形ABCD中;ADBC∥;6ABDCAD;60ABC;点EF，分别在线段ADDC，上点E与点AD，不重合;且120BEF;设AEx;DFy．

1求y与x的函数表达式；2当x为何值时;y有最大值;最大值是多少

课堂检测

像可以由二次函数1、二次函数342xxy的图下列平移正确的是 2xy的图像平移而得到;A．先向左平移2个单位;再向上平移1个单位 B．先向左平移2个单位;再向下平移1个单位;

C．先向右平移2个单位;再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位;再向下平移1个单位

2、在平面直角坐标系中;如果抛物线y＝2x2不动;而把x轴、y轴分别向上、向图4 图3

Ａ Ｅ Ｄ

Ｆ

Ｃ Ｂ 右平移2个单位;那么在新坐标系下抛物线的解析式是

A．y＝2x－22 + 2 B．y＝2x + 22－2 C．y＝2x－22－2 D．y＝2x

+ 22 + 2

3、二次函数21(4)52yx的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是

A．向上、直线x=4、4;5 B．向上、直线x=-4、-4;5

C．向上、直线x=4、4;-5 D．向下、直线x=-4、-4;5

4、二次函数cbxaxy2的图象如图所示;则下列关系式不正确的是

A、a＜0 B、abc＞0 C、cba＞0 D、acb42＞0

系内的5、函数2yaxbyaxbxc和在同一直角坐标图象大致是

6、二次函数2(0)yaxbxca的图象如图4所示;

则下列说法不正确的是

A．240bac B．0a

C．0c D．02ba

7、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分;图象过点A－3;0;对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是 ．

A．②④ B．①④ C．②③

D．①③

8、已知关于x的函数同时满足下列三个条件：

①函数的图象不经过第二象限；②当2x时;对应的函数值0y；③当2x时;函数值y随x的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是： . . 写出一个即可．

9、如右图;抛物线nxxy52经过点)0,1(A;与y轴交于点B.

1求抛物线的解析式；

2P是y轴正半轴上一点;且△PAB是等腰三角形;试求点P的坐标.

专题五..形积问题

形积专题

1.中考变式如图;抛物线cbxxy2与x轴交与A1;0;B-3;0两点;顶点为D..交Y轴于C

求该抛物线的解析式与△ABC的面积..

2.08湛江如图所示;已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点;与y轴交于点C．

求A、B、C三点的坐标．过A作AP∥CB交抛物线于点P;求四边形ACBP的面积．

三．课堂检测

1．已知函数y=ax2+bx+c;当x=3时;函数的最大值为4;当x=0时;y=－14;则函数关系式____.

2．请写出一个开口向上;对称轴为直线x=2;且与y轴的交点坐标为0;3的抛物线的解析式 .

3．函数42xy的图象与y轴的交点坐标是________.

4．抛物线y= x – 12 – 7的对称轴是直线 ..

5．二次函数y=2x2-x-3的开口方向_____;对称轴_______;顶点坐标________.

6.已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的两个交点的坐标是5;0;-2;0;则方程ax2+bx+c=0a≠0的解是_______.

7.用配方法把二次函数y=2x2+2x-5化成y=ax-h2+k的形式为___________.

8.抛物线y=m-4x2-2mx-m-6的顶点在x轴上;则m=______.

9.若函数y=ax-h2+k的图象经过原点;最小值为8;且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同;则此函数关系式______.

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初三数学二次函数的表达式讲义

初三数学二次函数的表达式讲义

1 学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：九年级（下） 课 时 数：3

学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师：

授课主题 第05讲-----二次函数的表达式

授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结

教学目标 ① 熟练掌握二次函数三种表达式的使用条件；

② 熟练使用待定系数法求解二次函数的解析式；

③ 综合运用二次函数的相关知识解决与表达式相关的问题。

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

一、 知识梳理

二、 知识概念

（一）二次函数解析式的表示方法

1、一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；

2、顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；

3、两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

 注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 体系搭建 2 （二）二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．

用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

考点一：一般式

例1、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）

A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2

沪教版九年级同步讲义第18讲：二次函数的解析式的确定-教师版

沪教版九年级同步讲义第18讲：二次函数的解析式的确定-教师版

沪教版九年级同步讲义第18讲：二次函数的解析式的确定-教师版

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二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．

1、 一般式2yaxbxc（0a）

（1）任何二次函数都可以整理成一般式2yaxbxc（0a）的形式； 二次函数解析式的确定

内容分析

知识结构

模块一：一般式y = ax2 + bx + c ( a≠0 )

知识精讲 （2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．

【例1】 已知二次函数的图像经过点A（1，5）、B（0，4）和C（1，1）．

求这个二次函数的解析式．

【难度】★

【答案】2234yxx．

【解析】设二次函数为2yaxbxc，把A、B、C代入二次函数解析式，可得：

541abccabc，解得234abc． 所以这个二次函数的解析式：2234yxx．

【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．

【例2】 已知二次函数2yaxbxc图像经过点（0，3）、（3，0）、（2，5）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的最值．

【难度】★★

【答案】（1）223yxx；（2）函数有最大值，最大值为4y．

【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（2，5）代入二次函数解析式，可得：

3930425cabcabc，解得123abc，所以这个二次函数的解析式：223yxx； 例题解析 （2）2223(1)4yxxx，则当1x时，函数有最大值，最大值为4y．

九年级数学讲义二次函数解析式的三种形式及求法讲解

九年级数学讲义二次函数解析式的三种形式及求法讲解

二次函数是一种常见的数学函数，其解析式可以有三种常见的形式。下面我将逐一介绍这三种形式及其求法。

1.顶点形式：y=a(x-h)²+k

顶点形式是一种常见的二次函数解析式形式。其中a，h和k分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，h表示抛物线的横向平移，k表示抛物线的纵向平移。求解二次函数顶点形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后找出顶点坐标(h,k)，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。

2. 一般形式：y = ax² + bx + c

一般形式是另一种常见的二次函数解析式形式。其中a，b和c分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，b表示抛物线的横向平移，c表示抛物线的纵向平移。求解二次函数一般形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后利用求根公式(-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算出二次函数的根；接着可以利用根的性质求出顶点的横坐标-x = b / 2a，并将x代入二次函数求得顶点的纵坐标y。

3.描点形式：y-y₁=a(x-x₁)(x-x₂)

描点形式是一种通过抛物线上两个已知点求解二次函数解析式的形式。其中a表示抛物线的开口方向和大小，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示已知点的坐标。求解二次函数描点形式的步骤如下：首先计算a的值，可以利用已知点的坐标代入公式求解；接着将(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别代入描点形式，得到两个方程，再解这个方程组得到二次函数的解析式。 以上介绍了二次函数解析式的三种形式及其求法。不同形式的解析式适合不同的问题，根据具体情况选取合适的形式求解可以提高解题效率。希望对你的学习有所帮助！

2023学年浙江九年级数学上学期章节重难点知识讲义第05讲 二次函数的实际应用(解析版)

2023学年浙江九年级数学上学期章节重难点知识讲义第05讲 二次函数的实际应用(解析版)

第5讲 二次函数的实际应用

【知识点睛】

❖ 利润最大化问题与二次函数模型

牢记两公式：①单位利润=售价-进价；

②总利润=单件利润×销量；

谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；

②总利润转化为售价的二次函数；

函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；

❖ 利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤

1. 设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入

2. 用含自变量的代数式表示销售商品成本

3. 用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式

4. 根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值

注意：

①与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；

②二次函数实际应用的问题，如果是分段函数，最后需要写成一个整体，后边分别写上对应的取值范围

【类题训练】

1．（2022•金安区校级开学）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）

A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2 C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2

【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．

【解答】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，

由题意可得：

y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，

故选：C．

2．（2021秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）

A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）