高一数学必修1知识点总结计划：第二章基本初等函数

高一数学必修1知识点总结方案：第二章根本初等函数 1 / 91 精品文档

高中数学必修 1知识点总结

第二章 根本初等函数

〖〗指数函数

指数与指数幂的运算

〔1〕根式的概念

①如果xn a,a R,x R,n 1，且n N，那么x叫做a的 n次方根．当 n是奇数时，a的n次方根用符号 na

表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号 n

a 表示，负的

n 次方根用符号 n

a 表示；

0 的

n 次方根是 ；负数

0

a没有n次方根．

②式子na叫做根式，这里 n叫做根指数，a叫做被开方数．当 n为奇数时，a为任意实数；当 n为偶数时，a 0 ．

③根式的性质： (na)n a；当n为奇数时，n an a；当n为偶数时， nan |a| a (a 0) ．

a (a 0) 〔2〕分数指数幂的概念

m

nam(a

①正数的正分数指数幂的意义是： an 0,m,n N,且n 1)．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数

m m

1)m(a

指数幂的意义是： a n (1)n n( 0,m,nN ,且n 1)．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底

a a 数取倒数，指数取相反数． 〔3〕分数指数幂的运算性质

①ar as ar s(a 0,r,s R) ②(ar)s ars(a 0,r,s R) ③(ab)r arbr(a 0,b 0,r R)

指数函数及其性质

〔4〕指数函数

函数名称 指数函数

定义 函数y ax(a 0且a 1)叫做指数函数

a1 0 a 1

y y ax y ax y

图象

y 1 y 1 (0,1)

(0,1)

O x O x

定义域 R 高一数学必修1知识点总结方案：第二章根本初等函数

2 / 92 值域 〔0,+∞〕

过定点 图象过定点〔0,1〕，即当x=0时，y=1．

奇偶性 非奇非偶

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性 在R上是增函数 在R上是减函数

函数的

y＞1(x＞0),y=1(x=0),0 ＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0),y=1(x=0),0 ＜y＜1(x＞0) 化情况

a化 在第一象限内， a越大象越高，越靠近 y； 在第一象限内， a越大象越高，越靠近 y； 象的影

在第二象限内， a越大象越低，越靠近 x． 在第二象限内， a越小象越低，越靠近 x． 响

〖 〗对数函数

【】对数与对数运算

〔1〕数的定

①假设ax N(a 0,且a 1)，x叫做以a底N的数，作 xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②数和零没有数．③数式与指数式的互化： x logaN ax N(a 0,a1,N0)．

〔2〕几个重要的数恒等式 : loga1 0，logaa 1，logaab b．

〔3〕常用数与自然数：常用数： lgN，即log10 N；自然数：lnN，即logeN〔其中e ⋯〕．

〔4〕数的运算性 如果a 0,a 1,M 0,N 0，那么

①加法：logaM logaN loga(MN)

②减法：logaM logaN M

loga

N

③数乘：nlogaM logaMn(n R) ④alogaN N

⑤log nlog ( 0, ) ⑥底公式：logaN logb N 0,且b 1) b M n

a n R (b

a b Mb logba

【 】对数函数及其性质

〔5〕数函数

函数名称 数函数

定 函数ylogax(a 0且a 1)叫做数函数

a1 0 a 1

x 1 x 1

y ylogax y y logax

象

O (1,0) x

(1,0)

O

x

定域 (0,)

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值域 R

过定点 图象过定点 (1,0)，即当x 1时，y 0 ．

奇偶性 非奇非偶

单调性 在(0, )上是增函数 在(0, )上是减函数

loga x 0 (x 1) logax 0 (x 1)

函数值的 loga x 0 (x 1) logax 0 (x 1)

变化情况

loga x 0 (0 x1) logax 0 (0 x1)

a变化对 图 在第一象限内， a越大图象越靠低，越靠近 x轴 在第一象限内， a越小图象越靠低，越靠近 x轴

象的影响 在第四象限内， a越大图象越靠高，越靠近 y轴 在第四象限内， a越小图象越靠高，越靠近 y轴

(6)反函数的概念

设函数y f(x)的定义域为 A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x (y)．如果对于 y在C中

的任何一个值，通过式子 x (y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x (y)表示x是y的函数，函

数x (y)叫做函数y f(x)的反函数，记作 x f1(y)，习惯上改写成 y f1(x)．

〔7〕反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 y f(x)中反解出x f 1(y)；

③将x f1(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域．

〔8〕反函数的性质

①原函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线 y x对称．

②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数 y f1(x)的值域、定义域．

③假设P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，那么 P'(b,a)在反函数y f 1(x)的图象上．

④一般地，函数 y f(x)要有反函数那么它必须为单调函数．

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〖〗幂函数 〔1〕幂函数的定义

一般地，函数 y x叫做幂函数，其中 x为自变量， 是常数． 〔2〕幂函数的图象

〔3〕幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 ．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象

关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 ．

②过定点：所有的幂函数在 (0, )都有定义，并且图象都通过点 (1,1)．

③单调性：如果 0，那么幂函数的图象过原点，并且在[0, )上为增函数．如果 0 ，那么幂函数的图象在(0, )

上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x轴与y轴．

④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 q 〔其中p,q互质，p和q Z〕， p

q q

假设p为奇数q为奇数时，那么y xp是奇函数，假设 p为奇数q为偶数时，那么y xp是偶函数，假设p为偶数q为奇数时，

q

那么y xp是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数y x,x (0, )，当 1时，假设0 x1，其图象在直线 y x下方，假设x 1，其图象

在直线 yx

上方，当 1 时，假设 0x1 yx 上方，假设 x1

，其图象在直线 yx

下方．

，其图象在直线

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〖补充知识〗二次函数 〔1〕二次函数解析式的三种形式 ①一般式： f(x) ax2 bx c(a 0)②顶点式： f(x) a(x h)2 k(a 0)

③两根式： f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)

2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常使用顶点式．

③假设抛物线与 x轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求 f(x)更方便．

〔3〕二次函数图象的性质

①二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x b ,顶点坐标是( b ,4acb2 )

2a 2a 4a

②当a 0时，抛物线开口向上，函数在 ( , b]上递减，在[ b , )上递增，当x b 时，

2a 2a 2a

4acb2

a0

( , b

]上递增，在[ b

, )上递减，当

fmin(x) 4a ；当 时，抛物线开口向下，函数在 2a 2a

x b (x) 4ac b2

时，fmax ．

2a 4a

③二次函数f(x) ax2 bx c(a 0) 当 b2 4ac0时，图象与x轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2| ． |a|

〔4〕一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理〔韦达定理〕的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．