高中数学 3.3.1几何概型教学案 新人教B版必修3
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高中数学必修三：3.3.1几何概型
☆学习目标：1. 了解几何概型的概念及基本特点；
2. 掌握几何概型中概率的计算公式；
3. 会进行简单的几何概率计算．
☻知识情境：
1. 基本事件的概念: 一个事件如果
事件，就称作基本事件.
基本事件的两个特点:
10.任何两个基本事件是 的；
20.任何一个事件(除不可能事件)都可以
.
2. 古典概型的定义：古典概型有两个特征：
10.试验中所有可能出现的基本事件 ；
20.各基本事件的出现是 ，即它们发生的概率相同．
具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.
3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个
基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：
()PA 。
☻问题情境：
试验１．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．
试验２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色．
奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．
假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．
问题：对于试验１：剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
试验２：射中黄心的概率为多少？
3.分析：
试验１中,从每一位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳上的任意一点．
试验2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,点可以是靶面直径为122cm的圆内的任一点．
在这两个问题中，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂,但是基本事件有无限多个，
显然不能用古典概型的方法求解．那么, 怎么求解?
①考虑第一个问题，记事件A＂剪得两段的长都不小于1m＂．
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，
事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的 ，
于是事件A发生的概率()PA．
②第二个问题，记事件B＂射中黄心＂为，
由于中靶心随机地落在面积为2211224cm的大圆内，
而当中靶点落在面积为22112.24cm的黄心内时，事件B发生，
于是事件B发生的概率()PB．
☆新知生成：
1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区
域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发
生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，
平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
2.几何概型的基本特点：
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
（２）每个基本事件出现的可能性相等．
3.几何概型的概率公式：在区域D中随机地取一点, 记事件A＂该点落在其内部一个区
域d内＂，则事件A发生的概率
()dPAD的测度的测度 = A构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)．
说明：（１）D的测度不为0；
（２）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段,平面图形,立体图形时，
相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．
（３） 区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何
部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，
求此人等车时间不多于10分钟的概率．
例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，
假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，
则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
参考答案:
1. 随机事件的概念
（1）必然事件：每一次试验都一定出现的事件，叫必然事件；
（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件，叫不可能事件；
（3）随机事件:随机试验的每一结果或随机现象的每一种表现叫的随机事件,简称为事件.
2.基本事件的概念: 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，就称作基本事件.
基本事件的两个特点:
10.任何两个基本事件是互斥的；
20.任何一个事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
古典概型有两个特征：
10.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
20.各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
P（A）=总的基本事件个数包含的基本事件数A
考虑第一个问题，记＂剪得两段的长都不小于1m＂为事件A．把绳子三等分，于是当剪
断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，
于是事件A发生的概率1()3PA．
第二个问题，记＂射中黄心＂为事件B,因中靶心随机地落在面积为2211224cm的大圆内，
而当中靶点落在面积为22112.24cm的黄心内时，事件B发生，
于是事件B发生的概率22112.24()0.0111224PB．
例1
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试
验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴
影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060=61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
例3
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的, 而40平方千米可看作构成事件的区域
面积，由几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= 所有海域的大陆架面积储藏石油的大陆架面积=1000040=0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= 所有种子的体积取出的种子体积=100010=0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
