函数的概念与性质

必刷小题2 函数的概念与性质

一、单项选择题

1．(2023·太原模拟)已知函数f(x)＝x2－3x的定义域为A，集合B＝{x|－1

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 C

解析 由题设，x2－3x≥0，可得定义域A＝{x|x≤0或x≥3}，

所以A∩B＝{x|－1

2．(2023·深圳模拟)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是( )

A．∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0

B．∃x∈R，f(x)＋f(－x)＝0

C．∃x∈R，f(x)≠f(－x)

D．∀x∈R，f(x)≠f(－x)

答案 C

解析 因为定义在R上的函数f(x)不是偶函数，

所以∀x∈R，f(x)＝f(－x)为假命题，

则∃x∈R，f(x)≠f(－x)为真命题．

3．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于( )

A．－7 B．－3 C．3 D．7

答案 B

解析 设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.

4．(2023·扬州模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )

A．y＝－1x B．y＝x－sin x

C．y＝tan x D．y＝x3－x

答案 B

解析 y＝－1x是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故A错误； y＝x－sin x，因为y′＝1－cos x≥0，x∈R，

所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确；

y＝tan x在定义域上是奇函数但不是单调函数，故C错误；

y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误．

5．(2022·镇江模拟) “函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案 C

解析 函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数，

则sin(－x)＋(a－1)cos(－x)＝－sin x－(a－1)cos x，

化简得a－1＝0，故a＝1，

当a＝1时，f(x)＝sin x是奇函数，

因此“函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的充要条件．

6．(2023·郑州模拟)已知f(x)＝x3＋2x，若a，b，c∈R，且a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )

A．大于0 B．等于0

C．小于0 D．不能确定

答案 C

解析 因为f(x)＝x3＋2x，x∈R，

f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，

所以f(x)是R上的奇函数，

又因为f′(x)＝3x2＋2>0，

所以f(x)在R上单调递增，

又因为a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0，

所以a<－b，c<－a，b<－c，

所以f(a)

即f(a)＋f(b)＋f(c)<0.

7．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )

A．f(1)

B．f 72

C．f 72

D．f 52

答案 B

解析 因为函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，

所以函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上满足f(2－x)＝f(2＋x)，

所以f(1)＝f(3)，

因为2<52<3<72，所以f 52>f(3)>f 72，

则f 52>f(1)>f 72.

8．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f(－ln x)<2f(1)的解集为( )

A．(e，＋∞) B．(0，e)

C.0，1e∪(1，e) D.1e，e

答案 D

解析 函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2的定义域为R，

f(－x)＝－xsin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝xsin x＋cos x＋x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，

f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，当x>0时，2＋cos x>0，则f′(x)>0，

所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

由f(ln x)＋f(－ln x)＝2f(ln x)<2f(1)，

可得f(|ln x|)

即－1

二、多项选择题 9．(2023·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是( )

A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝2ex＋1－1

C．f(x)＝ln()x＋x2＋1 D．f(x)＝ln sin x

答案 ABC

解析 由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；

由f(x)＝2ex＋1－1＝1－exex＋1可得，f(－x)＝1－e－xe－x＋1＝ex－1ex＋1＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；

由f(x)＝ln(x＋x2＋1)可得，f(－x)＝ln(－x＋x2＋1)＝ln 1x＋x2＋1＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；

由f(x)＝ln sin x知，sin x>0，所以2kπ

10．已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，且f(x)在区间[－1，2)上单调递增，在区间[2,5]上单调递减，则以下说法一定正确的是( )

A．f(2)>f(5)

B．f(－1)＝f(5)

C．f(x)在定义域上有最大值，最大值是f(2)

D．f(0)与f(3)的大小不确定

答案 AD

解析 由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，

可得f(2)>f(5)，故A正确；

题中条件没有说明函数关于直线x＝2对称，

所以f(－1)和f(5)未必相等，故B不正确；

根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续，

所以不能确定最大值是f(2)，故C不正确；

x＝0和x＝3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性， 所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D正确．

11．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，f(1＋x)＝－f(1－x)，下列四个结论正确的是( )

A．f(x)是周期为4的周期函数

B．f(x)的图象关于点(1,0)对称

C．f(x)是偶函数

D．f(x)的图象经过点(－2,0)

答案 ABC

解析 由f(x＋2)＝－f(x)，

得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以函数f(x)的周期为4，故A正确；

又f(1＋x)＝－f(1－x)，

所以f(x)图象关于(1,0)对称，故B正确；

又f(－x)＝－f(－x＋2)＝－f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))＝f(x)，

所以函数f(x)是偶函数，故C正确；

又f(－2)＝－f(－2＋2)＝－f(0)，

无法判断其值，故D错误．

12．(2023·淮北模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则( )

A．f(－2)＝0 B．f(1)＝0

C．f(2)＝0 D．f(4)＝0

答案 ACD

解析 因为f(x＋2)为奇函数，

所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，故C正确；

由f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)＝0，

因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，

所以当x＝32时，f(－2)＝f(4)＝0，故A，D正确；

令f(x)＝sin π2x，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B不满足． 三、填空题

13．(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝ x2＋1，x<0，sin x，x≥0，则f f 52π3＝________.

答案 74

解析 由题意，可得f 52π3＝sin 52π3＝－sin π3＝－32，则f f 52π3＝f －32＝－322＋1＝74.

14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是________．

答案 f(x)＝－x2或f(x)＝－|x|(答案不唯一)

解析 根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件，

若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为(－∞，＋∞)，开口向下，对称轴为x＝0，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，

所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2；

若f(x)＝－|x|＝ －x，x≥0，x，x<0，则此时函数的定义域为(－∞，＋∞)，根据一次函数和分段函数，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，

故同时满足三个条件，

所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|.

15．已知函数f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1,2]上的最大值是6，则实数a的值是________．

答案 －9或－6

解析 当a≥0时，f(x)＝x3＋2x＋a(1≤x≤2)，

f(2)＝23＋22＋a＝12＋a≥12，不符合题意；

当a<0时，y＝x3＋2x＋a在[1,2]上单调递增，

3＋a≤x3＋2x＋a≤12＋a，

而3＋a<3,3＋a<12＋a，

则 3＋a＝－6，12＋a≤6或 12＋a＝6，3＋a≥－6，