函数的概念与性质

专题讲座

高中数学“函数的概念与性质”教学研究

李梁 北京市西城区教育研修学院

函数是中学数学中的重点内容;它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.

本专题内容由四部分构成：关于函数内容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析.

研究函数问题通常有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究;二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念;函数的图象与性质;函数的有关应用等.

一、关于函数内容的深层理解

一函数概念的发展史简述

数学史角度：早期函数概念Descartes;1596—1650引入坐标系创立解析几

何;已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系几何角度；Newton;1642—1727;用数流来定义流量fluxion的变化率;用以表示变量间的关系；Leibniz;1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号;并称变量的函数是一个解析表达式代数角度；Dirichlet;1805—1859提出是与之间的一种对应的观点对应关系角度 ；Hausdorff在集合论纲要中用“序偶”来定义函数集合论角度.

Dirichlet：认为怎样去建立与之间的关系无关紧要;他拓广了函数概念;指出：“对于在某区间上的每一个确定的值;都有一个确定的值;那么叫做的函数.”这种函数的定义;避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述;简明精确经典函数定义.

Veblen;1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义;通过集合概念;把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了;且打破了“变量是数”的限制;变量可以是数;也可以是其它对象.

二初高中函数概念的区别与联系

1．初中函数概念： 设在某个变化过程中有两个变量;如果对于在某个范围内的每一个值;都有唯一的值与它对应;我们就说是的函数;叫自变量;叫的函数.

函数的概念与性质

函数是数学中一种重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。本文将介绍函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。

一、函数的概念

函数是一个自变量和因变量之间的对应关系。它将一个变量的值映射到另一个变量的值，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。函数可以用图像、表格或公式的形式来表示。

函数的定义域是指自变量的所有可能取值的集合，值域是指函数对应的因变量的所有可能取值的集合。一个函数可以在定义域内对每个自变量的取值，唯一地确定一个因变量的取值。

二、函数的性质

1. 单调性：函数可以具有单调递增或单调递减的性质。当自变量增大时，如果对应的因变量也增大，则函数为单调递增；当自变量增大时，如果对应的因变量减小，则函数为单调递减。

2. 奇偶性：函数可以具有奇函数或偶函数的性质。当自变量取负值时，如果对应的因变量取相反数，则函数为奇函数；当自变量取负值时，如果对应的因变量不变，则函数为偶函数。

3. 零点：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。如果函数的零点存在，可以用解方程的方法来求解。 4. 极值：函数的极值是指函数在其定义域上取得的最大值或最小值。可以通过求导数或使用判别式的方法来确定函数的极值。

5. 逆函数：函数的逆函数是指满足条件f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x))

= x的函数。逆函数可以将原函数的自变量与因变量互相转换。

6. 复合函数：复合函数是指函数嵌套在另一个函数中的情况。例如f(g(x))表示将g(x)的结果作为自变量代入函数f中。

7. 函数图像：函数的图像是通过绘制自变量和因变量之间的对应关系得到的。函数图像可以反映函数的性质和变化趋势。

8. 函数关系：函数的关系可以是线性的、二次的、指数的或对数的等。不同的函数关系对应着不同的函数图像和性质。

总结：

函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。函数的概念和性质如零点、极值、逆函数等对于解题和理解数学问题都具有重要的意义。函数的图像可以直观地展示函数的性质和变化趋势，帮助我们更好地理解和应用函数。在实际应用中，函数的性质和特点有助于我们分析问题、求解方程、优化函数等。通过深入研究函数的概念与性质，我们可以更好地理解数学的本质和运用方法。

数学

QINGLIFES第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

3.1.1函数的概念

1.概念的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对

于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和

它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记

作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数

的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

fx

x∈A}叫做函数的值域．

2.函数三要素：定义域、对应关系、值域。

3.区间

若a,b∈R,且a

（1）x|a≤x≤b

=a,b

闭区间

（2）x|a

=a,b

开区间

（3）x|a≤x

=a,b)

半开半闭区间

x|a

=(a,b]半开半闭区间

∞表示无穷大，R=-∞,+∞



（4）x|x

=-∞,a

x|x≤a

=-∞,a]



（5）x|x>a

=(a,+∞)x|x≥a

=[a,+∞)

4.常见求函数定义域方法

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次根号下被开方数大于等于零；

(3)零的零次方无意义；a0=1,a≠0



(4)对数式的真数大于零；

(5)定义域多个取值范围同时满足，求交集。

例：函数f(x)=-x2+4x+12+1

x-4的定义域是.

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数学

QINGLIFES解：要使函数有意义，需满足-x2+4x+12≥0

x-4≠0

，即-2≤x≤6

x≠4

.

即-2≤x<4或4

故函数的定义域为[-2,4)⋃4,6

．

5.判断函数为同一函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系也完全一致，那么这

两个函数是同一个函数。

3.1.2函数的表示方法

1.函数的表示方法：表格法、图像法、解析式法

2.分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，

有不同的对应关系，则称其为分段函数。

例：画出函数y=x

的图象．练习：画出函数y=x+1

的图

象。

解：y=x

=x,x≥0

-x,x<0

2020年高考文科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 函数的概念及其表示

例1 函数1)(log1)(22xxf的定义域为（ ）

A．)210(， B．)2(， C．),2()210(， D．)2[]210(，，

例2 下列函数中，其定义域和值域分别与函数xylg10的定义域和值域相同的是（ ）

A.xy B. xylg C. xy2 D 1yx

例3 设函数1,0()2,0xxxfxx≤，则满足1()()12fxfx的x的取值范围是___．

例4 若函数2()fxxaxb在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则Mm（ ）

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

题型二 函数单调性及应用

例1 函数2()ln(28)fxxx的单调递增区间是

A.(,2) B. (,1) C. (1,) D. (4,)

例2 函数yfx是R上的偶函数，且在0，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）

A. 201fff B. 102fff

C. 210fff D. 120fff

题型三 函数奇偶性及应用

例1 设函数)(),(xgxf的定义域为R，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A.)()(xgxf是偶函数 B. )(|)(|xgxf 是奇函数