八年级数学上册等腰三角形解答题专题训练

八年级数学上册等腰三角形解答题专题训练

1．如图，一个六边形的六个内角都是120°，AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，求该六边形的周长．

2．如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

4．如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC．

（1）求△PDE的周长；

（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度数．

5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．

（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．

6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．

（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数．

（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度．

7．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．

（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；

（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形．

（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．

9．如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC的一个外角，且AE⊥BE于点E．

（1）求证：EF∥BC．

（2）若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的长．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．

（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．

（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．

11．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由． （2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？

（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

12．在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②求证：PA＝PM．

13．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．

（1）【特殊情况，探索结论】

如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】

如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．

（3）【拓展结论，设计新题】

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．

14．在等边△ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．

（1）求证：△DBE是等腰三角形；

（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．

15．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？

（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

16．在△ABC中，AB＝AC．

（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝

（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝

（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．

17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．

（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；

（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；

（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；

（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

19．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．

求证：△BDE是等腰三角形．

20．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．

（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

参考答案

1．解：如图，延长并反向延长BC，AF，DE．

∵六边形ABCDEF的每个内角都是120°

∴∠G＝∠H＝∠P＝60°，

∴△GHP是等边三角形，

∴六边形ABCDEF的周长＝GH+BC+CD+DE＝（1+3+3）+（3+3）+2＝15．

答：该六边形周长是15．

2．证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，

∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，

∵EC⊥BC，

∴∠BCE＝90°，

∴∠DBC+∠DCB＝90°，∠ECD+∠BCD＝90°，

∴∠ACE＝∠DBC，

∵在△CBD和△ACE中

∴△CBD≌△ACE（SAS），

∴CD＝AE，∠AEC＝∠BDC＝90°，

∵D为边AC的中点，∠AEC＝90°，

∴AD＝DE，

∴AD＝AE＝DE，

即△ADE是等边三角形， 3．证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

在△DBE和△ECF中

，

∴△DBE≌△ECF，

∴DE＝EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵△DBE≌△ECF，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°

∴∠1+∠2＝110°

∴∠3+∠2＝110°

∴∠DEF＝70°

4．解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，

∵PD∥AB，PE∥AC，

∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，

∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，

∴BD＝PD，CE＝PE，

∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．

（2）∵∠A＝50°，

∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠ABC+∠ACB＝65°，

∵∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB＝65°，

∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°．

5．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；

∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；

∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，

∴△ABE≌△DBE（SAS），

∴AB＝BD，

∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；

∵∠C＝45°，ED⊥DC，

∴△EDC也符合题意，

综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；

（2）AD与BE垂直．

证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），

∴BA＝BD，EA＝EC，

∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．

（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，

∴AE＝DE，

在Rt△ABE和Rt△DBE中

∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），

∴AB＝BD，

又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴∠C＝45°，又ED⊥BC，

∴△DCE为等腰直角三角形，

∴DE＝DC，

即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．

6．解：（1）∵∠A＝90°，∠B＝40°，