宁夏银川一中2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含解析

银川一中2016/2017学年度(下)高一期中考试

数 学 试 卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知是锐角，则是（ ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角

C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角

【答案】C

【解析】是锐角,∴，∴是小于的正角

2. 设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m的值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】函数的最大值和最小值，∴M+m的值为

3. 点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】点P从(0,1)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以∠QOx=，

所以Q(cos,sin),所以Q.

故选：A

4. 已知，（ ）

A. -6 B. C. 6 D.

【答案】C

5. 函数，则下列命题正确的是（ ）

A. 是周期为1的奇函数 B. 是周期为2的偶函数

C. 是周期为1的非奇非偶函数 D. 是周期为2的非奇非偶函数

【答案】B

【解析】由题得函数的周期为T= =2，又f(x)=sin(πx−)−1=−cosπx−1，从而得出函数f(x)为偶函数。

故本题正确答案为B。

6. 设D为△ABC所在平面内一点,，则( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】∵

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∴=−−.

故选：C.

7. 已知，则的值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为

点睛：利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化．

8. 下列函数中，以为最小正周期的偶函数，且在上单调递增的函数是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】对于A:y=sinx，周期T=2π，是奇函数，∴A不对；

对于B:y=sin2|x|，是偶函数，不是周期函数，∴B不对；

对于C:y=−cos2x,周期T=π,是偶函数,∵cosx在(0,)单调递减,∴−cos2x(0,)上单调递增，∴C对。

对于D:y=cos2x,周期T=π,是奇函数,∵cos2x在(0,)单调递减，∴D不对。

故选C.

9. 已知又则等于（ ）

A. 0 B. C. D.

【答案】B

【解析】因 ，故，，所以，应选答案B。

10. 若向量，满足，则与的夹角为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】∵,∴⋅()=0,即2+⋅=0,∴⋅=−1.

∴cos<,>==−.

∴<,>=.

故选C.

11. 已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】设=(0,1),=(0,1),+=(1,1)，所以到(1,1)距离为1，即在圆(x−1)2+(y−1)2=1上。所以||是O到圆上某点的距离。根据图可知O到圆心距离为，到圆上某点距离。

故本题正确答案为A。

12. 设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】||=

只考虑x>0，则===⩽2，

当且仅当=−时取等号。

∴的最大值等于2.

故答案为：2.

点睛：本题是一道平面向量与函数的综合题，把目标用变量x，y表示，分子分母同除以转化为的二次函数问题.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知扇形的圆心角的弧度数为2，其弧长也是2，则该扇形的面积为_______

【答案】1

【解析】由弧长公式可得2=2r，解得r=1.

∴扇形的面积S=lr=×2×1=1.

故答案为：1.

14. 设向量且则实数_________.

【答案】

【解析】解答： ∵，

∴⋅=0，

∵向量=(m,1),，

∴m+2=0，

解得，m=−2，

故答案为：−2；

15. 若,则的值为____________．

【答案】

【解析】∴= ⋅cos(+α)=−sin(+α)=−.

故答案为：−.

16. 已知函数，，，且在上单调,则的最大值为_________.

【答案】5

【解析】解答：

函数f(x)=2sin(ωx+φ)，

∴f(−)=2sin(−ω+φ)=0，

∴−ω+φ=kπ，k∈Z①；

又f(−x)=f(+x)，

∴x=是f(x)图象的对称轴，

∴ω+φ=k′π+π2,k′∈Z②；

由①②得,φ=k+k′2π+，k∈Z，

∴取φ=，且ω=−4k+1，k∈Z；

∴f(x)=2sin(ωx+)的最小正周期为T=； 又f(x)在上单调，

∴−⩽,即⩽，

解得ω⩽6；

综上，ω的最大值为5.

故答案为：5.

点睛：等价于对称中心为（，0）；等价于对称轴为x=；在上单调隐含者区间长度小于等于周期的一半.

三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤））

17. 在平面直角坐标系中，已知点.

（1）求

（2）设实数满足求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）利用坐标法求数量积与模长；（2）利用数量积坐标公式建立方程解出t值.

试题解析：

解：（1）由题可知,则，

.

（2）由题可知=0，即2（-3-2t）-(-1+t)=0，解得t=-1.

点睛：(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

18. 已知函数 的部分图象，如图所示．

（1）求函数解析式；

（2）若方程在有两个不同的实根，求m的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析:（1）由图象结合五点法作图得到求函数解析式；（2）方程根的个数问题转化为图象的交点个数问题.

试题解析：

(1)由图可知A=1, =⋅=−，∴ω=2.

再根据五点法作图可得2⋅+φ=,∴φ=,∴f(x)=sin(2x+).

(2)由(1)及图知,方程f(x)=sin(2x+)=m在[−,]有两个不同的实根，

可得直线y=m和f(x)的图象在[−,]有两个不同的交点。

由于f(x)在[−,]、[,]有上单调递减,在在[,]上单调递增，

f()=,f()=0，

∴.

19. 已知A、B、C的坐标分别为A（4,0），B（0,4），C（）

（1）若且,求角的值；

（2）若,求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：(1) 利用点的坐标求出向量的坐标，根据向量模的平方等于向量的平方得到三角函数的关系，据角的范围求出角；（2）利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出值.

试题解析：＝(3cosa－4，3sinα)，＝(3cosα，3sinα－4)，

(1)由||＝||2＝2，

即(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4)2． sinα＝cosα ∵α∈(－π，0)，∴α＝－．

(2)由·＝0，得3cosα(3cosα－4)＋3sinα(3sinα－4)＝0，

解得sinα＋cosα＝．

两边平方得2sinαcosα＝－，

∴＝＝2sinαcosα＝－．

20. 已知函数的图象过点，最小正周期为，且最小值为.

（1）求的解析式；

（2）求在区间上的单调区间.

【答案】（1）（2）增区间：减区间：

【解析】试题分析：（1）依据条件分别确定，，；（2）令−+2kπ⩽3x+⩽+2kπ,解得在区间上的单调区间.

试题解析：

(1)∵f(x)的最小值为−1，且A>0，∴A=1，

∵f(x)的最小正周期为,ω>0,∴=，即ω=3.

∵f(x)的图象过点M(0,),∴sinφ=，

又0⩽φ⩽,∴φ=，

∴f(x)的解析式为：f(x)=sin(3x+).

(2)令−+2kπ⩽3x+⩽+2kπ,解得−+ ⩽x⩽+，k∈Z.

[−+,+]∩[,]=[,]∪[,]，

∴f(x)的增区间：减区间：.

21. 设函数，且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为. （1）求的值；

（2）如果在区间上的最小值为，求的值；

（3）若则的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？并写出的对称轴和对称中心.

【答案】（1）（2）（3）对称轴：，对称中心：

【解析】试题分析：（1）由的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为得到的值；（2）在给定区间上，结合图象求函数的最值；（3）利用平移变换得到的表达式，求出对称中心.

试题解析：

解：(1)既然在处取得第一个最高点，那么有

（2）在区间上的为，当在区间

时，在区间里，在这个区间内，当时取最小值，即此时的最小值为，故

(3)由题可得，，所以，g(x)的图象可由y=sinx先向左平移个单位，再向上平移个单位得到.对称轴：，对称中心：.

22. 函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形.

（1）求的值及函数的值域；

（2）若，且，求的值；

（3）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移个单位，得到的图象，若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围.