宁夏银川一中2017-2018学年高一上学期第二次月考数学试题 Word版含解析

银川一中2017/2018学年度(上)高一第二次月考

数 学 试 卷

命题人：

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )．

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体，

上部分是一个圆锥，

下部分是一个圆柱，

而且圆锥和圆柱的底面积相等，

故此几何体的直观图是：

故选D

2. 下列说法错误的是（ ）

A. 平行于同一个平面的两个平面平行

B. 平行于同一直线的两个平面平行

C. 垂直于同一个平面的两条直线平行

D. 垂直于同一条直线的两个平面平行 【答案】B

【解析】根据面面平行的性质可知平行于同一个平面的两个平面平行，故A正确；

根据平行公理可知平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故B错；

根据线面垂直的性质可知垂直于同一个平面的两条直线平行，故C正确；

根据面面平行的判定可知垂直于同一条直线的两个平面平行，故D正确；

故选B

3. 两个球的体积之比为8:27,那么这两个球的表面积之比为（ ）

A. 2:3 B. 4:9 C. 8:27 D. 16:81

【答案】B

【解析】两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，

可知两球的半径比为2：3，

从而这两个球的表面积之比为4：9．

故选B

4. 如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】∵平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，

∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，

∴梯形的下底边长为1+ ，∴平面图形的面积S=

故选C

5. 如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ( ) A. B. C.

D.

【答案】A

【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．

点睛:本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．

6. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，

∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，

∴2πr=h，即r=∴圆柱的侧面积为2πrh=4π2r2，

圆柱的两个底面积为2πr2，∴圆柱的表面积为2πr2+2πrh=2πr2+4π2r2，

所以这个圆柱的侧面积与表面积之比为

故选A

7. 四面体中，若，则点在平面内的射影点是 的（ ）

A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 【答案】B

【解析】设P在平面ABC射影为O，

∵PA=PB=PC，PO=PO=PO，（公用边），∠POA=∠POB=∠POC=90°，

∴△POA≌△POB≌△POC，

∴OA=OB=OC，

∴O是三角形ABC的外心．

故选B．

8. 已知α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是（ ）

A. 若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β

B. 若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l⊥α

C. 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

D. 若l⊥α且l⊥β，则α∥β

【答案】D

【解析】由α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，知：

在A中，若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；

在B中，若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；

在C中，若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故选C；

在D中，若l⊥α且l⊥β，则由面面平行的性质定理得α∥β，故D正确．

故选D．

9. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )

A. 60 B. 30 C. 10 D. 20

【答案】C

【解析】试题分析：由三视图知,该几何体为三棱锥,如图所示，其底面是直角三角形,直角边,侧面与底面垂直,且边上的高,也是三棱锥的高,所以,故选D.

考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.

10. 如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则 PA与BD所成角的度数为（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

【答案】C

【解析】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，

∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1

∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）

故两向量夹角的余弦值为即两直线PA与BD所成角的度数为60°．

故选C

点睛：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，此法的优点是不用作辅助线，降低了思维难度，但增加了运算，注意准确.

11. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是（ ）

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，

∵SA⊥平面ABC，SA=, AB⊥BC且AB=BC=1，

∴AC= ∴SA⊥AC，SB⊥BC，

SC= ∴球O的半径R= =1∴球O的表面积S=4πR2=4π．

故选A

点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键．

12. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、且，则下列结论中错误的是( )

A.

B. ∥平面ABCD

C. 三棱锥的体积为定值

D. △的面积与△的面积相等

【答案】D

【解析】试题分析：连接，则，所以平面，则，故A正确；因为平面，所以平面，故B正确；因为三棱锥的底面是底边为，高为棱长的三角形，面积为，三棱锥的高为点到平面的距离，所以三棱锥的体积是定值，故C正确；显然的面积与的有相同的底边，且到的距离是棱长1，且到的距离是，即两三角形的面积不相等，故D错误；

；故选D．

考点：1.空间中垂直关系的转化；2.线面平行的判定；3.三棱锥的体积．

【思路点睛】本题以正方体为载体考查线线、线面间的垂直关系、平行关系、点到直线的距离、点到平面的距离以及定值问题的探究，属于难题；在求四面体的体积时，要注意顶点选择的灵活性和合理性，如本题中求的体积时，因为在对角面上，且已证平面，所以容易想到求该三棱锥的体积时，以为底面.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13. 平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的位置关系是_______ ．

【答案】相交或异面

【解析】试题分析：平面内的一点与平面外的一点的连线与这个平面内相交，所以平面内的一点与平面外的一点的连线与这个平面内过该点的直线是相交直线，与不过该点的直线是异面直线．

考点：线线的位置关系．

14. 用与球心距离为1的平面去截球，截面面积为，则球的体积为_______ ．

【答案】

【解析】截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知V球＝

故答案为

15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_______寸.

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

【答案】3.

【解析】试题分析：如图，

由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．

∵积水深9寸，

∴水面半径为（14+6）=10寸，

则盆中水的体积为π×9（62+102+6×10）=588π（立方寸）．

∴平地降雨量等于（寸）

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

16. 如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论

①AC⊥SB

②AB∥平面SCD

③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角

④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．

⑤二面角的大小为

其中，正确结论的序号是________.

【答案】①②③⑤

【解析】∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， ∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥PB，故①正确；

∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD，故②正确；

∵PD⊥底面ABCD，

∠PAD是PA与平面ABCD所成的角，故③正确；

∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角；而∠SCD≠∠SAB，故④错；

因为SD⊥底面ABCD，所以即为二面角的平面角，因为底面为正方形所以，故⑤正确；

故答案为①②③⑤

点睛：此题考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．

三．解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．

（1）求该几何体的体积;

（2）求该几何体的表面积．

【答案】(1) (2)

（1）此几何体的表面积：

（2）此几何体的体积：