黑龙江省大庆市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类(含答案)

黑龙江省大庆市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答

题（提升题）知识点分类

一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）

1．（2023•大庆）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐

标为（1，2）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△OAB的面积；

（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图

象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．

2．（2022•大庆）已知反比例函数y＝和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，

b），（3a+1，b+）两点．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）如图，函数y＝x，y＝3x的图象分别与函数y＝（x＞0）图象交于A，B两点，

在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，

请说明理由．二．反比例函数综合题（共1小题）

3．（2021•大庆）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y

＝的图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已

知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．

（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；

（2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．

三．二次函数的应用（共1小题）

4．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那

么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经

验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不

低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为

ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．

（1）图中点P所表示的实际意义是 ，每增种1棵果树时，每

棵果树平均产量减少 kg；

（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x

的取值范围；（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？

四．二次函数综合题（共3小题）

5．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x

轴的对称点坐标为（2，1）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F

的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．

证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；

（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC

周长最小，直接写出P，Q的坐标．

6．（2023•大庆）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的

部分取值与对应函数值y

如下表：x…﹣101234…

y…0﹣3﹣4﹣305…

（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；

（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两

点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，

点R的横坐标为m+时，求tan∠RPQ的值；（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与

二次函数y＝（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值

范围．

7．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝

x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．

（1）求b的值；

（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△

MNP

为直角三角形时，求

m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；

（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，

直接写出m的取值范围．五．平行四边形的判定与性质（共1小题）

8．（2022•大庆）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC

＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．

（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；

（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．

六．矩形的判定与性质（共1小题）

9．（2023•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延

长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．

（1）求证：四边形ACFD是矩形；

（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．七．圆的综合题（共3小题）

10．（2023•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O

于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长

AB，DC交于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：AF•AC＝AE•AH；

（3）若sin∠DEA＝，求的值．

11．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，

交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P

（1）求证：PC＝PG；

（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

12．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的

一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；

（3）当FG∥BC时，求弦FG

的长．八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

13．（2023•大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山

顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP

段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：

sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268）

九．扇形统计图（共1小题）

14．（2023•大庆）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，

根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下

列问题：

（1）本次接受调查的学生人数为 ，扇形统计图中的m＝ ；

（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；

（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．一十．算术平均数（共1小题）

15．（2021•大庆）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选

拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：

甲：92，95，96，88，92，98，99，100

乙：100，87，92，93，9■，95，97，98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，

（1）求甲成绩的平均数和中位数；

（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加

数学竞赛．黑龙江省大庆市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答

题（提升题）知识点分类

参考答案与试题解析一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）

1．（2023•大庆）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐

标为（1，2）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△OAB的面积；

（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图

象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．

【答案】（1）一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y＝；

（2）；

（3）t＜0或1＜t＜2．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点

A的坐标为（1，2），

∴2＝﹣1+m，2＝，

∴m＝3，k＝2，

∴一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y＝；（2）由，解得或，

∴B（2，1），

设一次函数y＝﹣x+3与x轴的交点为C，则C（3，0），

∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝；

（3）观察图象，当M在N的上方时，t的取值范围是t＜0或1＜t＜2．

2．（2022•大庆）已知反比例函数y＝和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，

b），（3a+1，b+）两点．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）如图，函数y＝x，y＝3x的图象分别与函数y＝（x＞0）图象交于A，B两点，

在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，

请说明理由．

【答案】（1）反比例函数的关系式为：y＝；

（2）存在，△ABP周长的最小值为2+2．【解答】解：（1）把（3a，b），（3a+1，b+）代入y＝x﹣1中可得：

，

解得：k＝3，

∴反比例函数的关系式为：y＝；

（2）存在，

作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，

即△ABP周长最小，

由题意得：，

解得：或，

∴B（1，3），

由题意得：，

解得：或，

∴A（3，1），

∴AB＝2，∵点B与点B′关于y轴对称，

∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，

∴AB′＝2，

∴AP+BP＝AP+B′P＝AB′＝2，

∴AP+BP的最小值为2，

∴△ABP周长最小值＝2+2，

∴△ABP周长的最小值为2+2．