当前位置：文档之家 › 4 角平分线 第2课时

4 角平分线 第2课时

  • 格式：ppt
  • 大小：2.98 MB
  • 文档页数：11

下载文档原格式

  / 11

合集下载

数学八年级上册课件15.4角平分线第2课时 角平分线的性质定理及逆定理

数学八年级上册课件15.4角平分线第2课时 角平分线的性质定理及逆定理

C
P
O
EB
∴ △ PDO ≌ △ PEO，（AAS）
∴ PD=PE。（全等三角形的对应边相等）
知识梳理
证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证； 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知 和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程。
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
D
A
C P
E B
思考
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离 相等。那么到角的两边的距离相等的点是否在角 的平分线上呢？请说说你的想法及证明。
利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边 的距离相等的点在角的平分线上。
练习
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（在角的平分线上的点到这
直角三角形全等用
揭示概念
角平分线的概念：
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使
第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成 的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理 及逆定理
。。。。。。。。。。。。
学习目标
• 1、掌握角平分线定理及逆定理。 • 2、能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的
问题。 • 重点：角平分线的性质定理及其逆定理。
旧知回顾
三角形 全等的条件：
（1）定义（重合）法；
（2）解题 中常用的4 种方法
（3）HL

湘教版八年级数学下册1.4 角平分线的性质3 第2课时 角平分线的性质与判定的应用

湘教版八年级数学下册1.4 角平分线的性质3 第2课时 角平分线的性质与判定的应用

第2课时 角平分线的性质与判定的运用灵活运用角平分线的性质和判定解决问题．阅读教材P24～25，完成预习内容．(一)知识探究1．由教材P24“动脑筋”和P25例2可知，角平分线的性质是可用于证明线段之间的数量关系．2．由P25的“动脑筋”可知：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三边的距离相等．(二)自学反馈1．到三角形三边距离相等的点是(C)A ．三条高的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．不能确定2．如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有(D)A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处3．如图，已知AB∥CD，AD ⊥DC ，AE ⊥BC 于点E ，∠DAC ＝35°，AD ＝AE ，则∠B 等于(C)A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°活动1 小组讨论例1 如图，D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，CE ＝BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC.证明：过点D 作DM⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N.∵S △DCE ＝12CE·DN，S △DBF ＝12BF·DM，S △DCE ＝S △DBF ， ∴12CE·DN＝12BF·DM. ∵CE ＝BF ，∴DN ＝DM.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.例2 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC.求证：AE 是∠DAB 的平分线．证明：过点E 作EH⊥AB 于点H ，反向延长EH 交DC 的延长线于点G ，过点E 作EF⊥AD 于点F.∵AB ∥CD ，EH ⊥AB ，∴EG ⊥DC ，∠GCE ＝∠B.∵点E 是BC 的中点，∴CE ＝BE.在△CGE 和△BHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GCE＝∠B，CE ＝EB ，∠CEB ＝∠BEH，∴△CGE ≌△BHE(ASA)．∴GE ＝EH.∵DE 平分∠ADC，∴GE ＝EF.∴EF ＝EH.∴AE 是∠DAB 的平分线．活动2 跟踪训练1．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于(C)A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶52．如图，OD 平分∠AOB，OA ＝OB ，P 是OD 上一点，PM ⊥BD 于点M ，PN ⊥AD 于点N.求证：PM ＝PN.证明：∵OD 平分∠AOB，∴∠1＝∠2.在△OBD 和△OAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OA ，∠1＝∠2，OD ＝OD ，∴△OBD ≌△OAD(SAS)．∴∠3＝∠4.∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，∴PM ＝PN.3．如图，四边形ABDC 中，∠D ＝∠B＝90°，点O 为BD 的中点，且OA 平分∠BAC.求证：(1)OC 平分∠ACD；(2)OA⊥OC.证明：(1)过点O 作OE⊥AC 于E ，∵∠B ＝90°，OA 平分∠BAC，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD ，∴OE ＝OD.又∵∠D＝90°，∴OC 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ， ∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL)．∴∠AOB ＝∠AOE.同理：∠COD＝∠COE.∴∠AOC ＝∠AOE＋∠COE＝12×180°＝90°. ∴OA ⊥OC.活动3 课堂小结角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，做角的平分线或过角的平分线上一点做角两边的垂线段是常用辅助线之一．。

北师大版八年级数学下册《角平分线》第二课时导学案

北师大版八年级数学下册《角平分线》第二课时导学案

角平分线（二）学习目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。

2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。

学习过程：一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？二、自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。

引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。

对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。

2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。

（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在。

2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。

4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。

5 、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。

6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：BE=BF课下训练：P39 习题1、2、3中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。

初二数学人教版角的平分线的性质第二课时

初二数学人教版角的平分线的性质第二课时
C
初中数学
证明： 识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
A
E ？
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF，
BD
CD，
F？ ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ．
C ∴EB = FC．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
初中数学
初中数学
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
∠PEO ，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
B H
CP
作法：作∠ABC的平分线， 交AC于点P．则点P为所求． 证明：作PH⊥AB于H． A ∵∠C = 90°，∴PC⊥AC． ∴PC = PH．
PF PH，
E H
∴Rt△PDF ≌ Rt△PEH （HL） ．
B ∴∠PDF＝∠PEH.
∴∠PDA = ∠PEO．
初中数学
小结
在我们运用角的平分线的性质处理问题时： 1．熟悉定理及其对应的基本图； 2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线 是:补全基本图； 如:过角平分线上的点向角两边作垂线； 3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定 理时，不必再使用全等证明一遍这个结论．
A
BF
两组
A
HD C
PE G

《角平分线》第二课时

《角平分线》第二课时

拓展：其他相关面积定理介绍
海伦公式
海伦公式是一个用于求解三角形面积的公式，它基于三角 形的三边长。与面积比例定理不同，海伦公式不需要知道 三角形的高或角平分线。
三角形中的中线与面积
三角形的中线与面积之间也有密切的关系。中线将三角形 分为两个面积相等的子三角形，这一性质在求解某些问题 时非常有用。
相似三角形的面积比
小组交流讨论和成果展示
分组交流
讨论互动
将学生分成若干小组，每组选派一名代表 汇报本组的实验操作和探究活动成果。
组织各小组之间进行讨论和交流，分享彼 此的经验和发现，提出问题和建议。
成果展示
评价反馈
每组准备一份展示材料，包括实验操作和 探究活动的照片、记录、分析等内容，向 全班展示本组的成果。
教师对学生的实验操作和探究活动进行评价 和反馈，肯定优点和指出不足，提出改进意 见和建议。
表示方法
若$OC$是$angle AOB$的角平 分线，则可以用符号表示为 $angle AOC = angle BOC$。
角平分线基本性质介绍
01
02
03
性质一
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
性质二
角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线上。
性质应用
利用角平分线的性质，可 以解决与角平分线有关的 距离和角度问题。
05 实验操作和探究活动设计
实验操作：测量和绘制角平分线
准备工具
直尺、量角器、铅笔、橡皮等 绘图工具。
绘制角平分线
使用直尺和铅笔，按照角平分线 的定义，将给定角平分为两个相 等的小角，并绘制出角平分线。
测量角度
使用量角器测量给定角的大小 ，并标记出来。
注意事项

角平分线的性质与判定

角平分线的性质与判定

B
∴DC=BC
错误
A
C
(2)如图② ，∵BC⊥AB,DC⊥AD
∴DB=DC
错误
(3)如图②，∵AD平分∠BAC，
且DB⊥AB，DC⊥AC
∴BD=CD
正确 A
D
图①
B
D
C
图②
如图，
∵
OC是∠AOB的平分线，
又 P__D_⊥__O_A__，_P__E_⊥__O_B_
角∴的PD平=分P线E上的( 点
到角的两边的距离相等
求证：AC=BD.
O
C
D
A
E
B
2、 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
CD
B
3、 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A
F
E
CD B
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
§11.3 角平分线的 性质与判定（2课时）
安居育才中学初二备课组
复习提问
1、角平分线的定义
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
复习提问 2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
我的长度
A
O
B
复习提问
3、角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等

北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线 第二课时【优质课件】


1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村 坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其 到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离 之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )

角平分线(第2课时)


证三条直线交于一点
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相 交于一点,只要能证明两条直线的交点在 A 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚 ND 刚学到的逆定理. P 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 B E,F,D. E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
HE
老师提示:
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一
这个交点叫做三角形的内心.
1．三角形的角平分线的性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边
相等 ． 的距离________
2．三角形三角置
性质
三角形三边的垂直 三角形内部，或外 到三角形三个顶点 平分线 部，或一边上(外心） 的距离相等
挑战自我
A
E C B
D
例1,AD,BE为△ABC的角平分线交于点I, （1）若CD=CE,判断IE与ID的数量关系并证明 （2）若∠C=60°,判断IE与ID的数量关系并证明
小结
拓展
回味无穷
A D 1 2 E B P
定理 角平分线上的点到这个 角的两边距离相等. O 逆定理 在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这 个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线 相交于一点,并且这一点到三 边的距离相等(这个交点叫做 三角形的内心).

北师大版《角平分线》ppt优秀课件1


PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
B
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE.同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
A
M
D
PF
EC
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等.
A
如图,在△ABC中, ②点P在∠CBE的平分线上；
A. ①②③④ B. ①②③ C. ④ D. ②③
2.如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E， DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域， 政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场 到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在（ ）
离相等(这个交点叫做三角形的内心).
三 角 形 一 个 内 角 和 与 它 不 相 邻 的 两
外 角 的 平 分 线交于 一点 , 这 个 的 点
O
DA
1P
2
C
叫 做 三 角 形 的傍心 . 这样点 有三个.
E B
提升练习
已分知别：为C如、图D，，P求是证∠：AO（B平1）分O线C=上O的D；一（点2，）POC⊥P是OCAD，的P垂D⊥直O平B垂分足线 老定 实AB同如点 (已证∴A:定已如点逆A证∵(已 定定外(A∵命如点老证四 老A②求实三 ∠∵已求已②P四 证(A剪已 ∴③实证已外 第在在在222CMCCCECCBPBAP△)))师理际理图到知明理知图到定明知理理角题图到师明、师点作际角知作知点、明一知点际明知角2OOO一A一一⊥MMD、D、、、、、、、课B提 :操 ： ,三:： ::,三 理 ： :::的 :,三 提 ： 提 P:操 形::： P： 个 :P操 ： :的PPP⊥⊥,,三 已如个 三如已∠三三三已巩 射如射巩 如 如个个B∠BBBBBBCCC时C是是在在是在A示作P角 过角过平角示过示作一 如过三作过平CCCCCCCBOONNN角 知图角 角图知在角角角知固 线图线固 图 图角角的OECC∠∠C∠,两两两两 两两两三AA,,相:，形 P形P分形:P:，个 图P角，P分PAA三形 △,的 形,△一形形形△三运 三O,O运 ,,的的=三CCBDDDB,,PPPPP点 点 点 点 点F内边边边 边边边PP角HHAAAP交你一 一线一你内 ，形你线CCCBB,的的的是是是是 是角的 内 的个的的三角用 角用⊥内内条如EEBBBF相分作作作作作角EED高垂中 高中,,垂形于又边 边交边又角 纸又交P使使垂垂垂⊥⊥．CCC∠∠∠∠∠形三 部 三角三三个形、 形、A部部角图的的的交别PPP是PP平线直线 线线直三AAAAA点,,,C能的 的于的能和 片能于∠∠直直直OO∴作作作一条 条的条条角一深 一深,,,DDDDD平.平平平且于是OOOOO且且∠(分AA的平的 的的平条PBBP发距 距一距发与 ，发一已⊥⊥⊥⊥⊥平平平△△△个角 角内角角的个化 个化分ABBBBBOO分分分到D一△,,，到到线交分交 交交分AAA内垂垂现离 离点离现它 通现点知O平平平平 平AAAAA分分分ACC内平 平部平平平内拓 内拓=线线 线线BBB角点角角BBBBB的点线点 点点线B角BP足足==什为为为什不过什,,)分分分分 分线线线CCC角分 分分分分角展 角展,,相，，，，，上上上平∠∠CF且这这的P的的交处的处 处处的的一一一分分么半 半半么相 折么线线线线 线...,．BB的和线 线线线线和和交PPPPP且；；；分到个个两两两点交交CC平OO个个个别别？径 径径？邻 叠？上上上上 上FFFFF与相 相相相相与与于P线..角的的边边边CC⊥⊥⊥⊥⊥处点点分内内内是是作 作作的 找的的的的 的D它交 交交交交它它点..上的点点距距距AAAAA处处=线角角角DD圆 圆圆两 出一一一一 一不于 于于于于不不CCCCCPP的两离BB离离,,和和和EE每,,,．E点点点点 点，，，，，..相一 一一一一相相你 你你一((边相相相=与与与已已DD个,,,,,邻点 点点点点邻邻能 能能PPPPPP点距等等等..它它它知知F角CCCCC的的的,作 ,作,,.作，并 并离并并的(的的⊥⊥⊥⊥ ⊥不不不))三的,,两两两出 出出P相点且 且且且点点OOOOO且且相相相角角C个个个这 这这AAAAA等,这 这这这,,PP在邻邻邻⊥在在形平,,,,,外外外个个 个DDPPPPP的一 一一一这的的的O这这的分DDDDD==角角角图 图图点点 点点点APP⊥⊥⊥⊥ ⊥个两两两个个三线的的的形 形形，EE,到 到到到OO在OOO角个个个角角条，,,平平平吗 吗吗P三 三三三BBBBB这的外外外的的角观D分分分???,,,,,垂垂垂垂 垂边 边边边⊥个平角角角平平平察线线线足足足足 足的 的的的O角分的的的分分分这交交交B分分分分 分距 距距距的线平平平线线线三垂于于于别别别别 别离 离离离平上分分分上上相条足一一一CCCCC相 相相相.分线线线))交角分..点点点,,,,,DDDDD等 等等等线,,,于平看看看别，，，.....(.(.上这 这一分它它它为这这这.个 个点线们们们C个个个交 交、,，是是是并的的的点 点D你否否否且点点点，叫 叫是交交交这叫叫叫求做 做否于于于一做做做证三 三发一一一点三三三：角 角现点点点到角角角（形 形同???三形形形1这这这的 的样）边的的的样样样内 内的O的傍傍傍的的的心心C结距心心心=点点点))论离..O，，，有有有？D相这这这几几几；与等样样样个个个同)点点点.???伴有有有如如如交三三三果果果流个个个以以以．。。。这这这个个个点点点为为为圆圆圆心心心,,,这这这一一一

八年级下册1、4角平分线的性质第2课时三角形的角平分线习题新版湘教版


3．如图，在△ABC 中，O 为△ABC 的三条角平分线的交点， OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 F，D，E，且 AB＝10 cm，BC＝8 cm， AC＝6 cm，则点 O 到三边 AB，BC，AC 的距离分别为( A ) A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
如果 AB＝8，BC＝12，△ABG 的面积为 18，则△CBG 的面 积为__2_7_____． 【点拨】易知 BG 为∠ABC 的平分线，如图， 过 G 作 GH⊥BC 于点 H，作 GM⊥AB 于点 M，则 GM＝GH. ∵△ABG 的面积为 18， ∴12AB·GM＝18.∴GM＝92.∴GH＝92. ∴△CBG 的面积为12BC·GH＝12×12×92＝27.
14．观察、猜想与证明： 在△ABC 中，∠ACB＝2∠B.
(1)如图①，当∠C＝90°，AD 为∠BAC 的平分线时，求证：AB ＝AC＋CD；
证明：过 D 作 DE⊥AB，交 AB 于点 E，如图①所示，易知∠ACB ＝∠AED＝90°. ∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B. 又∵∠AED＝∠B＋∠EDB， ∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE. ∵AD 为∠BAC 的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE.∴BE＝DC.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质 第2课时 三角形的角平分线
提示：点击 进入习题
新知笔记
三边
答案显示
1B
2B
3A
4C
5 27
6 125° 7 B
8D
9C
10 A
11 10
12 见习题 13 见习题 14 见习题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点到三条边的距离相等．
4 角平分线
第2课时
学习目标一
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角 平分线，观察这三条角平分线，你发现什么样的结 论？与同伴交流．
【结论】
怎样证明这个结论呢?
三角形三个角的平分线相交于一点. 点拨：要证明三条直线相交于一点，
只要证明其中两条直线的交点在第三
条直线上即可．
命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知：如图，设△ABC的角平分线 BM，CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． A 【证明】过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， D N P PE⊥BC，其中D，F，E是垂足； ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上， E B ∴PD=PE． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上． ∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
B C
学习目标二
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． A
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
E
(2)求证：AB=AC+CD．
C
D
B

学习目标三 综合应用
1.（益阳·中考）如图，已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方 法正确的是（ ） A.P为∠A，∠B两角平分线的交点
C
B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线
的交点 C.P为AC，AB两边上的高的交点 D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
A
P
B
学习目标三 综合应用
2、如图所示，在△ABC中，
∠CAB的平分线AD与BC的垂直平
分线DE交于点D，DM⊥AB于M，
DN⊥AC于N.
求证：BM＝CN.
【证明】连接BD,CD. ∵DE为BC的垂直平分线，∴DB＝DC. ∵AD为∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM＝DN,∠BMD＝∠CND＝90°, 在Rt△BDM和Rt△CDN中， ∵DB＝DC，DM＝DN， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴BM＝CN.
3.（曲靖·中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC ＝10,AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点 D到线段AB的距离为 .
【解析】∵BD︰CD＝3︰2,BC＝10,∴CD ＝4,又∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，则 点D到线段AB的距离等于CD,为4. 答案：4
三角形的三条角平分线交于一点，并且这一
M F C
ห้องสมุดไป่ตู้
【结论】
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 三边的距离相等.
A N D
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
M
P E
F
C
B
H
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF
跟踪训练 1. (巴中•中考)如图所示，是一块三角形的草坪，现 要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三 条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ C ） A.△ABC 的三条中线的交点 A B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点