八年级数学下册第一章第4节角平分线(第1课时)课件(新版)北师大版
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2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线(第1课时)课件(新版)北师大版
4 角平分线 第1课时
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条____射__线___把一个角分成两个 ____相__等___的角,这条射线叫这个角的平分线.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离____相__等___. 3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离 相等的点在这条线段的____垂__直__平__分__线___上.
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
【火眼金睛】 已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点 F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
BED CFD， BDE CDF， BD CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分 线,DC=3,则点D到AB的距离是___3___.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB 的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为 ____a_-_m__.
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条____射__线___把一个角分成两个 ____相__等___的角,这条射线叫这个角的平分线.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离____相__等___. 3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离 相等的点在这条线段的____垂__直__平__分__线___上.
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
【火眼金睛】 已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点 F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
BED CFD， BDE CDF， BD CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分 线,DC=3,则点D到AB的距离是___3___.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB 的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为 ____a_-_m__.
线段的垂直平分线(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
情况一：当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
A 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
P
B
命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
情况二：当点P在线段AB外时，如图. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC.
你能证明这个定理吗 ？
M P
A
CB
N
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB.
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
M P
∵AC=BC, PC=PC
∴△APC≌△BPC(SAS)
内容 作用
内容 判定
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等 见垂直平分线，得线段相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
六、布置作业
完成课本P23习题1.7中第1、2、3、4题
学习数学就像一个圆，思考的越多，半径越大，思维接触的区域 就越辽阔。
解：（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE， ∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝ DE， ∴C△ABC＝AC+CB+AB
＝AC+CD+DB+AB ＝AC+CD+（DE+CE） ＝AC+2CD ＝6+2×4＝14（cm），
北师大版八年级数学下册课件1.4角平分线
提示：知道三角形角平分线的时候，
我们常采用“截长补短”的方法来添加
D
辅助线
A
B
M
C
课堂小结
今天你学到了什么？
（全等三角形的对应边相等） 则△OCD的面积等于（ ）
角平分线的性质定理 ∴△PDO≌△PEO（HL）
三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 你能证明PD = PE 吗？ 第1课时 角平分线的性质及判定 第二层：课本第30页习题第1、3、4题
证明：过M作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴MB⊥AB，MC⊥DC，
∵MD分别平分∠CDA，
D
C
N
M
A
B
∴MC=MN（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∵MD=MD
∴Rt△MCD≌Rt△MND（HL）
∴DC=DN
同理AB=AN ∵AD=AN+DN
∴AD=AB+DC
学以致用
变式练习
例.已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD的平分线 BM交BC于点M，M为BC中点，AD=AB+DC. 求证：DM平分角ADC.
北师大版数学八年级（下）
第1课时 角平分线的性质及判定
渠县东安雄才学校
学习目标
1.运用逻辑推理证明角平分线的性质定理和判定 定理,进一步培养学生的逻辑推理能力.（重点）
2.利用角平分线的性质及判定解决实际问题, 培养学生解决问题的能力.（难点）
温故知新
角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个分成相等的两个角 的射线,叫这个角的角平分线.
O
1 2
P
C
∴PD=PE（角平分线上的点到
E B
北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
OP
1 OM ( AB BC OM )
2
1 4 32 64.
A
2
DM C
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
北师大版八年级下册 第一章 1.4.1 角平分线 课件(共30张PPT)
PDO＝PEO(已证) ∵ １＝２（已证） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ PD=PE（ 三角形全等对应边相等）
一个命题被证明是正确之后，怎么直接使用？
角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
随堂检测
４.如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线，它们有什么关系？
分析：
AD是线段 AF是射线
AD，AF存在数量关系？
拓展提升
１.如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD,
DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
求证 ：EB＝FC （1）还有哪些新的发现？ （2）连接 EF 后又有那些新发现？ 请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，
AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
PDO＝PEO=90 ( 已证) PD＝PE（已知） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS) ∴ ∠1= ∠2（ 三角形全等对应边相等）
∴OP平分∠AOB
随堂检测
１.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点， PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA 的距离是( A ) A．2 B．3 C.
第1课时 角平分线PPT课件(北师大版)
解：在△BDF和△CDE中，∠BFD＝∠CED＝90°，∠FDB＝∠EDC， BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，又∵DF⊥AB，DE⊥AC ，∴AD平分∠BAC
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。
教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。
但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。
五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。
六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。
通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。
3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
北师大版八年级数学(下)第一章 角平分线
1.4角平分线一、知识点梳理1.角平分线性质定理：①角平分线平分已知角②角平分线上的点到这个角两边的距离相等2.角平分线判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知角的角平分线二、经典题型总结题型一：利用角平分线的性质证明线段相等题型二：利用角平分线的性质求线段的长题型三：利用角平分线的性质定理进行角平分线的判定题型四：利用角平分线的性质解决实际问题三、解题技巧点睛1.当题目中出现“角平分线”的时候马上想到角平分线的两条性质，一定会用到2.在角平分线的题目中如果出现平行线，则一定会涉及到等腰三角形3.三角形中两个底角平分线的交角与顶角的关系三角形中两个底角外角平分线的交角与顶角的关系公式：四、易错点分析在利用角平分线求角的过程中容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用角平分线的性质证明线段相等例题：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.题型二：利用角平分线的性质求线段的长例题：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，求△DBE的周长．题型三：利用角平分线的性质定理进行角平分线的判定例题：已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，求证：AD平分∠BAC.题型四：利用角平分线的性质解决实际问题例题：某大学两个分校区M、N和两条相交叉的公路,如图所示(点M,N表示校区,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两校区的距离相等，到两条公路的距离也相等。
(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案；(2)阐述你设计的理由。
六、中考真题再现（2019.甘肃.20题）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）（2019.宁夏.15题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．七、习题巩固训练1.如图，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE的长为（）A．2 B．1.5 C．1 D．0.52.已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB＝40°，∠BCF的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°3.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°, B．110°, C．100°, D．90°4.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，PE＝6，则AB与CD之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．125.如图，已知P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为（）A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm6.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（）A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.57.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：58.如图，∠XOY＝90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW，其中A，B，C为垂足，若OA+OB+OC＝1，则OC＝（）A．2﹣B．C．﹣2 D．2﹣39.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，点D的坐标为D（0，），点B的横坐标为1，则点C的坐标是（）A．（0，2）B．（0，+）C．（0，）D．（0，5）10．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC 于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE＝∠CID；②S△ABC＝IE （AB+BC+AC）；③BE＝（AB+BC﹣AC）；④AC＝AF+DC．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④11.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为10，DE=2，AB=6，则AC的长是_____．12.如图，已知AB∥CD，O为∠BAC与∠ACD的平分线交点，过点O作OE⊥AC于E，OG⊥CD于G，延长GO交AB于F．若OE＝2，则FG的长为．13.如图，的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则______．14.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，则点P到AB的距离为____cm．15.如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD=DF，BC=8，AB=10，则△FCD的面积为__________．16.如图，AB＝BC，D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，△ABD的面积为12 cm2，则△BCD的面积为________ cm2.17.如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于．18.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．19.如图，E是∠APB内的一点，CE⊥PA于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在PA上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．21.如图，P为∠AOB的角平分线上的一点，PH⊥OA，垂直为H．M为PH上一点，MN⊥OB，与OP，OB的交点分别为Q，N．求证：MP＝MQ．22.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H，求证：AE＝FH．23.如图，已知，OM是的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，试说明：．24．如图，是的角平分线，，，垂足分别是、，连接，与相交于点.求证：.25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC 于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．26.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB．28.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．。
信阳市七中八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理教案新版北师大
四、练习巩固
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
三.运用新知 , 深化理解
1.见教材P29例1
2.如以下图 , 已知 : ∠C=90° , DE是AB的垂直平分线 , D为垂足 , 交BC于E , AB=2AC. 求证 : CE=DE.
证明 : 连接AE , 由于∠C=90° , AB=2AC,
∴∠B=30° , ∠CAB=60°.
∵DE是AB的垂直平分线 ,
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （ √ ）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
第2课时 公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
[教学说明]请同学们自己尝试着证明上述结论 , 然后在全班进行交流．教师在教学过程中対有困难的学生要给予指导.
[归纳结论]角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2 : 角平分线的判定定理.
已知 : 在∠AOB内部有一点P , 且PD⊥OA , PE⊥OB , D、E为垂足且PD=PE.
求证 : 点P在∠AOB的角平分线上．
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
三.运用新知 , 深化理解
1.见教材P29例1
2.如以下图 , 已知 : ∠C=90° , DE是AB的垂直平分线 , D为垂足 , 交BC于E , AB=2AC. 求证 : CE=DE.
证明 : 连接AE , 由于∠C=90° , AB=2AC,
∴∠B=30° , ∠CAB=60°.
∵DE是AB的垂直平分线 ,
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （ √ ）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
第2课时 公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
[教学说明]请同学们自己尝试着证明上述结论 , 然后在全班进行交流．教师在教学过程中対有困难的学生要给予指导.
[归纳结论]角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2 : 角平分线的判定定理.
已知 : 在∠AOB内部有一点P , 且PD⊥OA , PE⊥OB , D、E为垂足且PD=PE.
求证 : 点P在∠AOB的角平分线上．
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。
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∴∠PDO=∠ PEO=90°,
A D
在Rt△ODP和Rt△OEP中,
1
OP=OP，PD=PE,
O
2
PC
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
E
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
B
讲授新课
判定定理： 在一个角的内部,且到角的 两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E (已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上).
一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是
D,E(已知)，
O
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的
两边距离相等).
A D
1
2
PC
E B
讲授新课
你能写出上面这个定理的逆命题吗?
性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这 个角的平分线上． 这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出 反例。 不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边 距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．
PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE．
A D
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°，
1
O
2
PC
∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
E B
讲授新课
定理：角平分线上的点到这 个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意
北师版 八年级 下册
第一章 三角形的证明
4 角平分线 （第1课时）
学习目标
1.角平分线的性质定理和判定定理。 2.用尺规作角的平分线。
复习旧知
还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样得到的?
与小组同学交流。 角平分线上的点到角两边的距离相等。
讲授新课
角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
A区
课后小结
1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 2.角平分线的判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角 的平分线上. 3.用尺规作角平分线
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:1.在OA和OB上分别截取 OD,OE,使OD=OE.
A
E
C
2.分别以点D和E为圆心,以大于 DE/2长为半径作弧,两弧在
O
D
你能说明射线
B
∠AOB内交于点C.
OC为什么是
3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB的平分线.
∠AOB的平分 线吗？
探究发现
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线。 你发现了什么？
探究发现
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的 距离相等.
温馨提示：本题综合运 用线段的垂直平分线的 性质和角平分线的性质 哦！
O
B
D● C●
A
探究发现
3.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁 路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20 000).
讲授新课
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到
角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。
它是真命题吗? 如果是.请你证明它。
A D
1
O
2
PC
E B
讲授新课
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为 垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB,
A
E
F
B
D
C
老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自 己的认知结构中去.
探究发现
你能用什么办法平分一个已知角呢？ 1．可以用量角器． 2．使用三角尺，也可以平分一个已知角． 3．用角尺也可以平分一个已知角． 4．用直尺和圆规平分一个已知角． 5. 用折纸的办法也可以平分一个已知角．
探究发现
A D
1P
2
C
E B
课堂练习
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分
线,它们有什么位置关系? C E
D
B
A
F
2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.