最新港澳台华侨生联考：数学三轮复习：综合练习5(含答案)

综合练习二一、选择题1.设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（）（A ）0ad bc -=（B ）0ac bd -=（C ）0ac bd +=（D ）0ad bc +=2.已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（）（A ）2（B ）1（C ）0（D ）1-3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C.3D.24.给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.15.已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+= 则b 等于（）（A ）5（B ）4（C ）3（D ）16.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）（A ）108种（B ）186种（C ）216种（D ）270种7.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（）（A ）2（B ）3（C ）3（D ）98.函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是（）（A ）2(0)21x xy x =>-（B ）2(0)21x x y x =<-（C ）21(0)2x x y x -=>（D ）21(0)2x x y x -=<9.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于（）（A ）2（B ）3（C ）2（D ）310.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）（A ）(1,2]（B ）(1,2)（C ）[2,)+∞（D ）(2,)+∞11.已知圆锥底面直径为2，轴截面顶角为30︒，则圆锥的体积为（）(A)2(13)π(B)(23)π(C)2(13)3π+(D)(23)3π12.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a<<（D ）c a b <<二、填空题13.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =14.已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2z x y =+的最大值是15.已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan(4πα+=16.若函数()2, 1,, 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则a b -=17.用(2)(1)x x +-除多项式6532()23p x x x x x =++-+所得的余式为_18.在空间直角坐标系O xyz -中，经过A (1，0，2)，B (1,1,-1)和C (2,-1,1)三个点的平面方程为_____________。

2024年华侨港澳台联考高考数学试卷一、单选题（本大题共12小题,共60.0分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项）1.设集合{}2{1,2,3,4,5},|A B x x A ==∈,则()A B ⋂=A.{1} B.{1,2}C.{1,4}D.φ2.已知21z ii+=+,则()z z +=A.12B.1C.32D.33.已知向量(2,1),(2,1)a x x x x b =++=--.若//a b ,则()A.22x = B.||2x = C.23x = D.||3x =4.不等式21230x x --<的解集是()A.1(1,0)0,3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B.(3,0)(0,1)-⋃C.1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.(,3)(1,)-∞-⋃+∞5.以(1,0)为焦点,y 轴为准线的抛物线的方程是()A.212y x =-B.212y x =+C.221y x =- D.221y x =+6.底面积为2π,侧面积为6π的圆锥的体积是()A.8πB.83π C.2πD.43π7.设1x 和2x 是函数32()21f x x ax x =+++的两个极值点.若212x x -=,则2(a =)A.0B.1C.2D.38.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+.若1332f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则(ϕ=)A.2()2k k Z ππ+∈ B.2()3k k Z ππ+∈C.2()3k k Z ππ-∈ D.2()2k k Z ππ-∈9.函数12(0)xy x =>的反函数是()A.21(1)log y x x=> B.21log (1)y x x=>C.21(01)log y x x=<< D.21log (01)y x x=<<11.若双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条㨆直线与直线21y x =+垂直,則C 的名心率为()A.5C.54D.5212.在1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,则这3个数的和能被3整除的概概是()A.928B.13C.514D.25二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为.14.已知O 为坐标原点,点P 在圆22(1)9x y ++=上,则||OP 的最小值为.15.若tan 3θ=,则tan 2θ=.16.设函数()(0xf x a a =>,且1)a ≠是增函数,若(1)(2)(2)(2f f f f ----,则a =.17.在正三棱柱111ABC A B C -中,121,2AB AA ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为.18.设()f x 是定义域为R 的奇函数,()g x 是定义域为R 的偶函数.若()()2xf xg x +=,则(2)g =.三、解答题（本大题共4小题,共60.0分。

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，√312√32π3π3A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，→→→→→A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．C．-D．-1对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）121212答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2A．2B．1C．D．A．2B．（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．12√2√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x答案：B 解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC故答案为：．√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→4√24（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为0.5，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．（1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；（2）记X为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求E（X）．答案：（1）0.1；（2）50．解析：（1）利用概率的性质求解；（2）利用二项分布的期望公式求解．解答：解：（1）设事件A表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”，则P（A）=0.6+0.5-1=0.1；（2）因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为0.6-0.1=0.5，A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2则X～B（100，0.5），所以E（X）=100×0.5=50．（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．√312√32π3π3π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．D．-1解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）1212C．-A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．12答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4A．2B．1C．D．A．2B．解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，12√2A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）答案：B解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→44（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）记数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1=4，=（-1）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．a n +14（n +1）2n -1S n -1S n 2n -1答案：（1）证明见解答；（2）a n =4n•3n-1，n∈N *．解析：（1）根据数列的和与项的转化关系，等比数列的定义，即可证明；（2）根据数列的和与项的转化关系，分类讨论，即可求解．解答：解：（1）证明：∵=（-1），∴-=（-1），∴（2n-1）S n+1-（2n-1）S n =4（n+1）S n -4（n+1），∴（2n-1）S n+1=（6n+3）S n -4（n+1），∴（2n-1）（S n+1-1）=（6n+3）S n -（6n+3），∴（2n-1）（S n+1-1）=3（2n+1）（S n -1），∴=3（），又=a 1-1=3，∴数列{}是以首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得=，∴-1=（2n -1）×①，当n≥2时，-1=（2n -3）×②，①-②可得=（2n -1）×-（2n -3）×=4n•3n-1（n≥2），又a 1=4，也满足上式，∴a n =4n•3n-1，n∈N *．a n +14（n +1）2n -1S n S n +1S n 4（n +1）2n -1S n -1S n +12n +1-1S n 2n -1-1S 12×1-1-1S n 2n -1-1S n 2n -13n S n 3n S n -13n -1a n 3n 3n -1（2024•香港）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F，点A（-a,0），B（0，b），过F的直线x-y+1=0交C于B，P两点．（1）求P的坐标；（2）若点R（-2，y 0）在直线AB上，证明：FR是∠PFA的角平分线．x 2a 2y 2b 2答案：（1）P（-，-）．（2）证明详情见解答．4313解析：（1）直线方程中x-y+1=0，分别令y,x为0，解得b,c,由a 2=b 2+c 2，解得a,即可得出椭圆的方程，联立直线x-y+1=0与椭圆的方程，即可得出答案．（2）由（1）知A（-，0），B（0，1），写出直线AB的方程，进而可得Q点坐标，推出tan2∠RFA=tan∠RFA，即可得出答案．√2解答：解：（1）因为直线x-y+1=0过焦点F和点B，所以令y=0，得x=-1，即-c=-1，则c=1，令x=0，得y=1，即b=1，又a 2=b 2+c 2=2，所以椭圆的方程为+y 2=1，联立，解得x=0或x=-，所以x P =-，y P =x P +1=（-）+1=-，所以P（-，-）．（2）证明：由（1）知A（-，0），B（0，1），令x=-2，得y=1-，所以R（-2，1-），tan∠RFA==-1，tan2∠RFA==因为直线x-y+1=0的斜率为1，所以tan∠RFA=1，所以tan2∠RFA=tan∠RFA，所以FR是∠PFA的角平分线．x 22{x -y +1=0+=1x 22y 2434343134313√2√2√2|1-|√2-1-（-2）√22tan ∠RFA 1-ta ∠n 2√2。

2023届港澳台数学寒假作业（五）一、单选题1．已知{}1,2,4,8,16A =，{}2|log ,B y y x x A ==∈，则AB =（ ）A ．{}1,2B ．{}2,4,8C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,8 2．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 4．为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 5．已知()cos 4cos2f x x =-，则()0f 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．8 6．已知向量,a b ，满足()()26a b a b +-=-，且1,2a b ==，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．3π C ．6πD ．23π7．已知0.80.7a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（ ） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭9．在ABC 中，有一个内角为30︒，“30A ∠>︒”是“1sin 2A >”的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要10．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为PB 的中点，若3cos ,3DP AE =，则PD =（ ） 11． A ．1B ．32C ．3D ．211．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60和45，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为（ ） A ．64B ．63C ．26D ．2312．已知函数()()()[)()222,,0,44ln 1,0x x x f x g x x x x x ⎧+∈-∞⎪==--⎨+∈+∞⎪⎩，，若存在实数a ，使得()()0f a g x +=，则x 的取值范围为（ ）A ．[]1,5-B ．(][),15,-∞-+∞C ．[)1,-+∞D ．(],5-∞ 二、填空题 13．已知，若，则实数k 的值是____________．14．已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．15．已知命题:p 函数()()log 201a y ax a a a =+>≠且的图象必过定点()1,1-；命题:q 如果函数()3y f x =-的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象关于点3,0对称，则命题p q ∨为__________（填“真”或“假”）．16．函数()20.4log 34y x x =-++的值域是________.17．已知函数()212log 26y x ax =-+在()1,2上单调递增，则a 的范围为___________．18．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.三、解答题19．设函数()f x a b =，其中向量()()2cos ,1,cos ,3sin 2,a x b x x x R ==∈．（1）若()1f x =,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若函数2sin 2y x =的图象按向量(),2c m n m π⎛⎫=< ⎪⎝⎭平移后得到函数()y f x =的图象，求实数,m n 的值．20．设函数()()21(0)x f x ax x e a =+-<． （1）当1a =-时，函数()y f x =与()321132g x x x m =++的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围；（2）讨论()f x 的单调性．21．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，5sin cos 13BAC B ∠=∠=，13AB =. （1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.22．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？参考答案1．C【解析】由已知可得{}0,1,2,3,4B =⇒A B ={}1,2,4，故选C ．2．C 【解析】，故选C ．3．A【解析】选项B 是偶函数，选项C 、D 是偶函数，故选A ． 4．D【详解】将函数cos 2y x =的图象向右平移3π,可得2cos 2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 5．C【解析】()222cos 4(2cos 1)52cos (0)5205f x x x f =--=-⇒=-⨯=,故选C ．6．B【解析】()()222122112cos 22623a b a b a a b b cos πθθθ+-=+•-=+⨯-⨯=-⇒=⇒=,故选B ．7．C【详解】0.8000.70.71a <=<=； 1.1 1.1log 0.9log 10b =<=；0.901.1 1.11c =>=.得到b a c <<故选C 8．D【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D.9．C【解析】在ABC ∆中，有一个内角为030000150A ⇒<<,故030A >⇔1sin 2A >，故选C ． 10．D【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2a AE =-，由3cos ,3DP AE =，得2232cos ,3114a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++， 解得2a =.故选：D. 11．A【详解】如图所示：∵1B B ⊥平面ABCD ，∴1BCB ∠是1B C 与底面所成角， ∴160BCB ∠=．∵1C C ⊥底面ABCD ， ∴1CDC ∠是1C D 与底面所成的角，∴145CDC ∠=．连接1A D ，11A C ，则11//A D B C ． ∴11A DC ∠或其补角为异面直线1B C 与1C D 所成的角． 不妨设1BC =，则112CB DA ==，113BB CC CD ===，∴16C D =，112A C =．在等腰11AC D 中，1111162cos 4C DA DC A D ∠==, 所以面直线1BC 和1CD 所成角的余弦值为64.故选：A . 12．A【解析】当()20,(1)11x f x x <=+-≥-，当()0,ln(1)ln10()x f x x f x ≥=+≥=⇒的值域是22[1,)()()1441450g x f a x x x x -+∞⇒=-≤⇒--≤⇒--≤⇒x 的取值范围为[]1,5-，故选A ．13．1-【解析】(2,1),(3,12)2(12)(3)01a b a kb k k k k k -+=--+=+--⇒+++=⇒=-．14．16【解析】21cos 2()1sin 214cos 4226παπαα++-⎛⎫+=== ⎪⎝⎭． 15．真 【解析】()log (1)21,a y a a =-+=∴命题p 为真；()3y f x =-的图象关于原点对称，则函数()y f x =的图象关于点3,0对称成立，∴命题q 为真，因此命题p q ∨为真．16．[)2,-+∞【详解】解：由题可知，函数()20.4log 34y x x =-++，则2340x x -++>，解得：14x -<<，所以函数的定义域为()1,4-，设()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，()1,4x ∈-，则31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 为增函数，3,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 为减函数，可知当32x =时，()f x 有最大值为254，而()()140f f -==，所以()2504f x <≤， 而对数函数0.4log y x =在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数()20.4log 34y x x =-++在区间31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，在3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数， 0.425log 24y ∴≥=-，∴函数()20.4log 34y x x =-++的值域为[)2,-+∞.故答案为：[)2,-+∞. 17．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】令226t x ax =-+，则()12log y f t t ==，0t >，因为()12log f t t =在()1,2上是减函数，函数()212log 26y x ax =-+在()1,2上单调递增，所以226t x ax =-+在()1,2上是减函数，因为函数226t x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，所以222460a a ≥⎧⎨-+≥⎩，解得522a ≤≤，a 的范围为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．(4,0)-【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭， 代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12， 所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=，联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-， 则()()()222212111m n ++-=++②，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==，当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-.故答案为：()4,0-. 19．（1）4x π=-；（2）,112m n π=-=．【解析】（1）依题设，()22cos 3sin 212sin 26f x a b x x x π⎛⎫==+=++⎪⎝⎭， 由12sin 2136x π⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，得3sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为33x ππ-≤≤，所以52266x πππ-≤+≤， 所以263x ππ+=-，即4x π=-．（2）函数2sin 2y x =的图象按向量(),c m n =平移后得到函数()2sin 2y x m n =-+的图象，即函数()y f x =的图象．由（1）得()2sin 2112f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为2m π<，所以,112m n π=-=． 20．（1）3116m e --<<-；（2）当12a =-时，函数()f x 在R 上单调递减，当12a <-时，函数()f x 在上递减，在21,0a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在()0,+∞上递减；当102a -<<时，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 【解析】试题解析：（1）当1a =-时，()()()23211132xf xg x x x e x x m ⎛⎫-=-+--++ ⎪⎝⎭，故()23211132xm x x e x x ⎛⎫=-+--+⎪⎝⎭，令()()23211132x h x m x x e x x ⎛⎫==-+--+ ⎪⎝⎭，则()()()()()2211x x h x x x e x x x x e =-+-+=-++'，故当1x <-时， ()0h x '<；当10x -<<时， ()0h x '>；当0x >时， ()0h x '<； ()3116h e -=--，()01h =-，故3116m e --<<-.（2）因为()()21x f x ax x e =+-，所以()21xa f x ax x e a +⎛⎫ ⎝'=+⎪⎭. 当12a =-时， ()0f x '≤恒成立，故函数()f x 在R 上单调递减； 当12a <-时， 21a x a +<-时， ()0f x '<， 210a x a+-<<时，()0f x '>，当0x >时， ()0f x '<， 故函数()f x 在上递减，在21,02a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在()0,+∞上递减；当102a -<<时， 0x <时， ()0f x '<， 210a x a +<<-时， ()0f x '>，当21a x a+>-时， ()0f x '<； 故函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当12a =-时，函数在R 上单调递减，当12a <-时，函数在上递减，在21,02a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在()0,+∞上递减；当102a -<<时，函数在(),0-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 21．（1）12；（2）12330S =【详解】（1）5sin cos 13BAC B ∠=∠=，则由同角三角函数关系式可得12cos sin 13BAC B ∠=∠==， 则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠ sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+，则2BCA π∠=，所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得22144x y xy =++，由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥，即48xy ≤，当且仅当x y ==1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠14822≤⨯⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=，所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =. 22．（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【详解】(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得： x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分 (2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5 得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户， 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户， 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分考点：频率分布直方图及分层抽样。

北京博飞--华侨港澳台培训学校综合练习五一、选择题1．321lim 1x x x x →--（）B Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在2．下列函数中，周期为π2的是（）DＡ．sin 2x y =Ｂ．sin 2y x=Ｃ．cos 4x y =Ｄ．cos 4y x=3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（）AＡ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为20x y -=，则它的离心率为（）A5Ｂ．523Ｄ．25．已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．给出下面四个命题：①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥；②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥；③m n ∥，m n αα⇒∥∥；④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥．其中正确命题的序号是（）C Ａ．①、③Ｂ．②、④Ｃ．①、④Ｄ．②、③6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（）C Ａ．9Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（）BＡ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（）B北京博飞--华侨港澳台培训学校Ａ．12-+Ｂ．32Ｃ．12+Ｄ．32+9．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（）AＡ．(10)-，Ｂ．(01)，Ｃ．(0)-∞，Ｄ．(0)(1)-∞+∞ ，，10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（）BＡ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（）BＡ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）CＡ．必在圆222x y +=上Ｂ．必在圆222x y +=外Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能二、填空题13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．[5)+，∞14．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =115．函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是．16-16．224(1)ii ++的共轭复数是2i+17.用(2)(1)x x +-除多项式6532()23p x x x x x =++-+所得的余式为_-3x +9.18.在空间直角坐标系o xyz -中，经过点(3,1,0)p 且与直线{2224x y x y z +=-+=垂直的平面的方程为___x -2y -5z =1___.三、解答题1.已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式2()18f x >+．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =．又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1k =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩ ≤由2()18f x >+得，当102x <<时，解得2142x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，所以2()18f x >+的解集为2548x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．2.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若42a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦,即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin 2sin 2b A B a ==.由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(222325255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为2cos 2BA B =3.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++< 都有．【答案】（1）1211,832a a ==；（2）21n b n ∴=+；（3）详见试题解析．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2OA OB =，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+= ，解得2c =，或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--．又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ，因此，AQ 为该抛物线的切线．（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，．若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =，又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=．故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点．法二：设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得2x kx c --=．得验证：2AQ Ak x =AB C PQOxyl法三：法四：验证点Q在过A点的切线上。

2023届港澳台数学寒假作业（三）一、单选题1．设命题p ：x ∀∈R ，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x ∃∈R ，200320x x -+≤ B ．x ∀∈R ，320x x -+> C ．0x ∃∈R ，200320x x -+>D ．x ∀∈R ，320x x -+≥2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 3．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（ ） A ．27B ．26C ．28D ．244．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p .若()2E X =，()43D X =，则p =（ ） A ．34B ．23C ．13D ．145．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（ ） A ．15B ．16C ．17D ．186．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ） A ．12B ．12-C ．32-D ．327．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．18．如图，四边形ABCD 是矩形，1,2,AB AD E ==是AD 的中点，BE 与AC 交于点,F GF ⊥平面,ABCD 若AF FG =，则直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值（ ）A ．105B ．155C ．3010D ．15109．已知一元二次方程210x mx ++=的两根都在()0,4内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．17,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．5,2(2,)2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ C ．[)5,22,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦D ．17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．抛物线x 2＝4y 关于直线x ＋y ＝0的对称曲线的焦点坐标为（ ） A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫-⎪⎝⎭11．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设,AD a BE b ==，则BC 等于（ ）A ．4233a b +B ．2433a b + C ．2433a b -D ．2433a b -+12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B ．5y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±二、填空题13．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，14n n a S +=(n ∈+N )，则5a =________15．若直线0x y m +-=与曲线()22y x x =--+没有公共点，则实数m 所的取值范围是______.16．已知点P 是椭圆22:13x C y +=上动点，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值是________．17．点P (－3，1)在动直线mx ＋ny ＝m ＋n 上的投影为点M ，若点N (3，3)那么|MN |的最小值为__________. 18．设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．三、解答题19．在ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC 的面积.20．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. （1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001） 附：①2204.75s =，204.7514.31=；②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-. （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.22．已知函数ln ()xxf x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．C【详解】命题为全称命题,命题p ：x ∀∈R ，2320x x -+≤，则￢p 为0x ∃∈R ，200320x x -+>，故选：C . 2．D【详解】由题意知复数12z i =-+，则(12)2z i i i i ⋅=-+⋅=--，所以A 选项不正确；复数z 的共轭复数是12i --，所以B 选项不正确；||z ==C 选项不正确；12(12)(1)1311222z i i i i i i -+-+⋅-===+++，所以D 选项正确.故选：D 3．A 【详解】解：3a i j =+，2b i =，且i ，j 是互相垂直的单位向量333235a b i j i j i ∴-=+-⨯=-，0i j ⋅= ()2223332510328a b a bj i j i ∴-=-=+-⋅==A4．C【详解】由随机变量X 服从二项分布B (n ,p ).又E (X )=2, ()43D X =， 所以np =2，np (1−p )= 43，解得：p =13，故选：C . 5．B【详解】由6k a S =得1165(1)62a k d a d ⨯+-=+，将10a =代入得(1)15k d d -=， 因为0d ≠，所以115k -=，得16k =.故选：B 6．C【解析】由于sin15cos75=，所以()()3sin15cos 75cos1502f f ===-，故选C. 7．B【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B8．B【详解】四边形ABCD 为矩形，AEF CBF ∴∆≅∆12AF EF AE CF BF BC ∴===， 又矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，2,32AE AC ∴== 在Rt BEA ∆中，2262BE AB AE =+=1333AF AC ==2633BF BE ==在ABF ∆中，2222236133AF BF AB ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 90AFB ∴∠=︒AC BE ∴⊥GF ⊥平面,ABCD AC平面ABCD ，AC GF ∴⊥又,,BE GF F BE GF ⋂=⊂平面BCE ，AF ∴⊥平面BEG以点F 为原点，FA FE FG 、、所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，则3636,0,0,0,,0,0,0,,0,,03336A B G E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3633,,0,,0,3333AB AG =--=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.630,,63EG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面ABG 的法向量，则3603333033AB n x y AD n x z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩取2x =，得()2,1,2n =-设直线EG 与平面ABG 所成角的大小为,θ则()6302126315511021263EG n sin EG nθ⨯-⨯-+⨯⋅===⋅++⋅++ 直线EG 与平面ABG 所成的角的正弦值为155故选：B 9．A【详解】设()21f x x mx =++，则二次函数()21f x x mx =++的两个零点都在区间()0,4内，由题意()()24004201044170m m f f m ⎧∆=-≥⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩，解得1724m -<≤-.因此，实数m 的取值范围是17,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故选:A. 10．B【详解】设抛物线24x y =关于直线0x y +=对称的抛物线上任意一点(),P x y ,其关于直线0x y +=对称的点Q 的坐标为()','x y ,由()11022y y x x x x y y ''''-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩解得x y y x =-⎧⎨=-''⎩,∵Q 在已知抛物线24x y =上，∴抛物线24x y =关于直线0x y +=对称的抛物线方程为：()()24y x -=-，即24y x =-，其中2p =，所以抛物线的焦点坐标为()1,0-．故选B ．11．B【详解】由题意()12BE BA BC =+所以2BE BA BC =+，① 同理得2()2AD AB AC BA BC BA BA BC =+=-+-=-+即22AD BA BC =-+.②①×2＋②得4BE +23AD BC =， 即42b a +=3BC ，所以BC =2433a b +.故选：B. 12．C【详解】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，由12||FO OM =，1OMF ∆与2PF F ∆相似， 所以1122||P F F P OM F O ==，即122PF PF =，又因为122PF PF a -=，所以14PF a =，22PF a =，所以2224164c a a =+，即225c a =，224b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故选：C. 13．52π【详解】取SB 的中点O ，连结OA 、OC ∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥AB ，可得Rt △ASB 中，中线OA 12=SB由4AB =，BC =30ABC ∠=，可知：AC ⊥BC ，又∵SA ⊥BC ， SA 、AB 是平面SAB 内的相交直线∴BC ⊥平面SAC ，可得BC ⊥SC 因此Rt △BSC 中，中线OC 12=SB ∴O 是三棱锥S ﹣ABC 的外接球心，∵Rt △SBA 中，AB 4=，SA ＝6∴SB ＝2，可得外接球半径R 12=SB 因此，外接球的体积S 4=Πr 252=π故答案为52π． 14．1500【详解】由14n n a S +=得14n n n S S S +-=，则15n n S S +=，又113S a ==，∴数列{}n S 是等比数列，首项为3，公比为5，∴135n n S -=⨯，∴()435543551500a S S =-=-=.故答案为：1500.15．((),12,-∞⋃+∞【详解】如下图所示：2y =()()()2212112x y y ++-=≤≤，表示圆心在()1,2-，半径为1的半圆，当直线与曲线在左下方相切时，此时0m <1=，此时1m （舍）或1m =当直线经过点()0,2时，020m +-=，所以2m =，综上可知：当直线与曲线2y =((),12,m ∈-∞⋃+∞，故答案为：()(),122,-∞-⋃+∞.16．522【详解】设与30x y +-=平行的直线():3l y x m m '=-+≠，当l '与椭圆C 相切时有：2233y x mx y =-+⎧⎨+=⎩，所以2246330x mx m -+-=， 所以()223616330m m ∆=--=，所以2m =±，所以:20l x y '+-=或:20l x y '++=，取:20l x y '++=， 此时:20l x y '++=与30x y +-=的距离为()2352211d --==+， 所以点P 到直线30x y +-=距离的最大值为522，故答案为：522. 17．252-【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点()A 1,1,M ∴的轨迹为以线段PA 为直径的圆，圆心坐标为()1,1C -,半径为2，2242252CN =+=>,N ∴在圆外，252min MN ∴=-,故答案为：25 2.-18．x 2＋y 2＝4 【详解】由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|OD |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.故答案为：224x y += 19．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）【详解】解：（Ⅰ）由2tan tan tan B b A B c =+及正弦定理可知，sin 2sin cos sin sin sin cos cos BB B A BC A B ∴=+()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C ⋅∴⋅=+，所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π= （Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得21393c c =+-， 所以2340c c --=，即()()410c c -+=， 所以4c =，从而11sin 3422ABCSbc A ==⨯⨯= 20．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 【详解】（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=.21．（1）证明见解析，21n n a =-；（2）11202.【详解】（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()1112n n S n a --+-=()2n ≥.②①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()1121n n a a -+=+()2n ≥. 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-.（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b ，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ ()()7127212107(1213)107214222772212-⨯+⨯⎡⎤=-+++-=-+⎣⎦- 281072911202=-+=.22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）. 试题解析：（I ）()()21ln '1x x f x x e x-=++， 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1210e e e f e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，0f I e =>（） 因此10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，上存在唯一零点．（II ）设()f x 的零点为0x ，即0000ln 0x x x e x +=．原不等式可化为ln 1x xe x k x --≥， 令()ln 1x xe x g x x --=，则()ln 'x x xe x g x x+=，由（I ）可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，+∞上单调递增，故只求()0g x ，，设00x x e t =， 下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则00ln x t x =-， 可得0000lnx tx lnx x lnt =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -= 若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =．因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即1k 求所求．。

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，0，1，，，，2，，则 {2A =-1-2}{2B =-1-3}(A B = )A ．B ．，{3}{01}C ．，，D ．，，0，1，2，{2-1-2}{2-1-3}2．计算 34(12ii +=-)A ．B ．C ．D ．12i -12i+12i --12i-+3．函数的最大值是 sin y x x =+()A ．1B C ．2D ．2-4．已知双曲线的渐近线方程为 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C ()A ．B ．C ．D ．3y x =±2y x =±13y x =±12y x=±5．已知平面向量，，则 (1,1)a =(1,)b x y =+ ()A ．“，”是“”的必要条件1x =2y =-//a bB ．“，”是“”的充分条件1x =2y =-//a bC ．“，”是“”的必要条件1x =2y =-a b ⊥D ．“，”是“”的充分条件1x =2y =-a b ⊥6．已知函数，则 ())f x ln x =+()A ．是奇函数，不是增函数()f x B ．是增函数，不是奇函数()f x C ．既是奇函数，也是增函数()f x D ．既不是奇函数，也不是增函数()f x 7．若的展开式中的系数是，则 4()a x +x 12-(a =)A ．1B ．C ．D ．1212-1-8．圆与圆交于，两点，则直线的方程为 22(2)4x y ++=22(2)(1)9x y ++-=A B AB ()A ．B ．C ．D ．2320x y -+=3220x y ++=3220x y +-=2320x y --=9．已知和都是函数的极值点，则的最小值是 4x π=2x π=()sin()(0)f x x ωϕω=+>ω()A ．4B ．2C ．1D ．1210．抛物线的焦点为，上的点到的距离等于到直线的距离，则 2:2(0)C y px p =>F C F 1x =-(p =)A ．2B ．1C ．D ．121411．正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球的球面上，到该正四棱柱侧面的距离为，则该正O O 12四棱柱的体积是 ()A ．BC D12．已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时， ()f x 1x =01x 2()2f x x x =+23x ()(f x =)A ．B ．C ．D ．22x x +22x x -22x x -+22x x--二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2020年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若集合A 共有5个元素，则A 的真子集的个数为( ) A ．32B ．31C ．16D ．152．（5分）设函数()(3)f x ln x a =+，若(0)1f '=，则(a = ) A ．3 B ．eC ．3lnD ．13．（5分）设22(35)(1)i z i +=-，则(z = )A ．53i -B ．53i --C ．53i +D ．53i -+4．（5分）设函数2()f x x x c =++，若f （1），f （2），f （3）成等比数列，则(c = ) A ．6-B ．2-C ．2D ．65．（5分）离心率为12的椭圆的焦距为2，则该椭圆的短轴长为( )A ．1B C ．D ．6．（5分）设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ∠=︒，则点P 的横坐标为( )A B ．2CD ．67．（5分）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是( ) A ．15B ．310C ．25 D ．358．（5分）已知正三棱锥P ABC -，2AB =，PA =，D 为PC 中点，则三棱锥D ABC -的体积为( )A B ．13C D 9．（5分）若4a b c ++=，320a b c +-=，则ab 的最大值为( )A ．16B C ．13D 10．（5分）函数1()f x lnx x=+的单调递增区间是( ) A ．(0,1)B ．1(e，)+∞C ．(0,)eD ．(1,)+∞11．（5分）已知函数2()2sin 2f x x x =，则()f x 的最小值为( )A ．0B ．1-C ．D ．2-12．（5分）设点1P ，2P ，3P 在O 上，若1230OP OP OP ++=，则123(PP P ∠= ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。