最新港澳台华侨生联考:数学三轮复习:综合练习5(含答案)
- 格式:pdf
- 大小:230.50 KB
- 文档页数:5
综合练习二一、选择题1.设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是()(A )0ad bc -=(B )0ac bd -=(C )0ac bd +=(D )0ad bc +=2.已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直,则a 等于()(A )2(B )1(C )0(D )1-3.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.24.给出以下四个命题:①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行,④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是()A.4 B.3 C.2 D.15.已知向量a 与b 的夹角为120o,3,13,a a b =+= 则b 等于()(A )5(B )4(C )3(D )16.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有()(A )108种(B )186种(C )216种(D )270种7.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同。
从中摸出3个球,至少摸到2个黑球的概率等于()(A )2(B )3(C )3(D )98.函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是()(A )2(0)21x xy x =>-(B )2(0)21x x y x =<-(C )21(0)2x x y x -=>(D )21(0)2x x y x -=<9.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值是2-,则ω的最小值等于()(A )2(B )3(C )2(D )310.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()(A )(1,2](B )(1,2)(C )[2,)+∞(D )(2,)+∞11.已知圆锥底面直径为2,轴截面顶角为30︒,则圆锥的体积为()(A)2(13)π(B)(23)π(C)2(13)3π+(D)(23)3π12.已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则()(A )a b c <<(B )b a c <<(C )c b a<<(D )c a b <<二、填空题13.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则______.a =14.已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2z x y =+的最大值是15.已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan(4πα+=16.若函数()2, 1,, 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导,则a b -=17.用(2)(1)x x +-除多项式6532()23p x x x x x =++-+所得的余式为_18.在空间直角坐标系O xyz -中,经过A (1,0,2),B (1,1,-1)和C (2,-1,1)三个点的平面方程为_____________。
2024年华侨港澳台联考高考数学试卷一、单选题(本大题共12小题,共60.0分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.设集合{}2{1,2,3,4,5},|A B x x A ==∈,则()A B ⋂=A.{1} B.{1,2}C.{1,4}D.φ2.已知21z ii+=+,则()z z +=A.12B.1C.32D.33.已知向量(2,1),(2,1)a x x x x b =++=--.若//a b ,则()A.22x = B.||2x = C.23x = D.||3x =4.不等式21230x x --<的解集是()A.1(1,0)0,3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B.(3,0)(0,1)-⋃C.1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.(,3)(1,)-∞-⋃+∞5.以(1,0)为焦点,y 轴为准线的抛物线的方程是()A.212y x =-B.212y x =+C.221y x =- D.221y x =+6.底面积为2π,侧面积为6π的圆锥的体积是()A.8πB.83π C.2πD.43π7.设1x 和2x 是函数32()21f x x ax x =+++的两个极值点.若212x x -=,则2(a =)A.0B.1C.2D.38.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+.若1332f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则(ϕ=)A.2()2k k Z ππ+∈ B.2()3k k Z ππ+∈C.2()3k k Z ππ-∈ D.2()2k k Z ππ-∈9.函数12(0)xy x =>的反函数是()A.21(1)log y x x=> B.21log (1)y x x=>C.21(01)log y x x=<< D.21log (01)y x x=<<11.若双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条㨆直线与直线21y x =+垂直,則C 的名心率为()A.5C.54D.5212.在1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,则这3个数的和能被3整除的概概是()A.928B.13C.514D.25二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)13.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为.14.已知O 为坐标原点,点P 在圆22(1)9x y ++=上,则||OP 的最小值为.15.若tan 3θ=,则tan 2θ=.16.设函数()(0xf x a a =>,且1)a ≠是增函数,若(1)(2)(2)(2f f f f ----,则a =.17.在正三棱柱111ABC A B C -中,121,2AB AA ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为.18.设()f x 是定义域为R 的奇函数,()g x 是定义域为R 的偶函数.若()()2xf xg x +=,则(2)g =.三、解答题(本大题共4小题,共60.0分。
2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷A.{3}B.{0,1}C.{-2,-1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}A.1-2i B.1+2i C.-1-2i D.-1+2i A.1B.C.2D.-2(2024•香港)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={-2,-1,2,3},则A∩B=( )答案:C解析:结合交集的定义,即可求解.解答:解:A={-2,-1,0,1,2},B={-2,-1,2,3},则A∩B={-2,-1,2}.故选:C.(2024•香港)计算=( )3+4i 1-2i答案:D解析:直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解答:解:===-1+2i .故选:D.3+4i 1-2i (3+4i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )-5+10i 5(2024•香港)函数y=sinx+cosx的最大值是( )√3√6答案:C 解析:利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin(x+θ),进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出.√+a 2b 2解答:解:∵y=sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+).∵-1≤sin(x+)≤1,√312√32π3π3A.y=±3x B.y=±2x C.y =±x D.y =±x A.“x=1,y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B.“x=1,y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C.“x=1,y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D.“x=1,y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件∴当sin(x+)=1时,函数y取得最大值2.故选:C.π3(2024•香港)已知双曲线C:-=1(a >0,b >0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为( )x 2a 2y 2b 2√101312答案:A 解析:利用双曲线的离心率,得到a,b关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.解答:解:双曲线C:-=1(a >0,b >0)的离心率为,可得=,即=10,可得=3.双曲线C的渐近线方程为:y=±3x.故选:A.x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a (2024•香港)已知平面向量a =(1,1),b =(x+1,y),则( )→→→→→→→→→→答案:D解析:根据已知条件,结合向量平行、垂直的性质,即可求解.解答:解:对于A,若a ∥b ,则1•y=1•(x+1),即y=x+1,充分性不成立,错误,对于B,当x=1,y=-2时,则b =(2,-2),a ∥b 不成立,错误,→→→→→A.f(x)是奇函数,不是增函数B.f(x)是增函数,不是奇函数C.f(x)既是奇函数,也是增函数D.f(x)既不是奇函数,也不是增函数A.1B.C.-D.-1对于C,若a ⊥b ,则x+1+y=0,必要性不成立,故错误,对于D,当x=1,y=-2时,则b =(2,-2),a •b =2-2=0,a ⊥b ,充分性成立,故D正确.故选:D.→→→→→→→(2024•香港)已知函数f (x )=ln (+x ),则( )√+1x 2答案:C解析:结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断.解答:解:函数的定义域为R,f(-x)+f(x)=ln(-x)+ln(+x)=ln(1+x 2-x 2)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,B,D错误;当x≥0时,t=+x单调递增,根据奇函数的单调性可知,t=+x在R上单调递增,根据复合函数单调性可知,f(x)为增函数,A错误,C正确.故选:C.√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2(2024•香港)若(a+x)4的展开式中x的系数是-,则a=( )121212答案:C解析:根据二项式定理,建立方程,即可求解.A.2x-3y+2=0B.3x+2y+2=0C.3x+2y-2=0D.2x-3y-2=0A.4B.2C.1D.解答:解:∵(a+x)4的展开式中x的系数是•=-,∴a=-.故选:C.C 41a 31212(2024•香港)圆x 2+(y+2)2=4与圆(x+2)2+(y-1)2=9交于A,B两点,则直线AB的方程为( )答案:D 解析:将两圆的方程相减,即可求解.解答:解:圆x 2+(y+2)2=4,即x 2+y 2+4y=0①,圆(x+2)2+(y-1)2=9,即x 2+4x+y 2-2y=4②,②-①可得,化简整理可得,2x-3y-2=0,故直线AB的方程为2x-3y-2=0.故选:D.(2024•香港)已知x =和x =都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的极值点,则ω的最小值是( )π4π212答案:A 解析:根据x=和x=都是函数f(x)的极值点,得出函数的周期T≤2×(-),由此求解即可.π4π2π2π4解答:解:因为x=和x=都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的极值点,所以周期为T≤2×(-)=,所以≤,所以ω≥4,即ω的最小值是4.故选:A.π4π2π2π4π22πωπ2A.2B.1C.D.A.2B.(2024•香港)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离,则p=( )1214答案:A 解析:求得抛物线的焦点和准线方程,由抛物线的定义和点到直线的距离公式,解得p,可得抛物线的方程;解答:解:抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F(,0),准线方程为x=-,C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离,可得=1,解得p=2,故选:A.p 2p 2p 2(2024•香港)正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上,O到该正四棱柱侧面的距离为,则该正四棱柱的体积是( )12√2√223答案:B解析:根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2,再建立方程求出正四棱柱的,最后代入体积公式,即可求解.解答:解:∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上,O到该正四棱柱侧面的距离为,∴正四棱柱的底面边长为1,设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2,∴(2R)2=12+12+h 2,即4=2+h 2,∴h=,∴该正四棱柱的体积为1×1×=.故选:B.12√2√2√2(2024•香港)已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称,当0≤x≤1时,f(x)=x 2+2x,则当2≤x≤3时,f(x)=( )A.x 2+2xB.x 2-2x C.-x 2+2x D.-x 2-2x答案:B 解析:根据题意,分析可得f(x+2)=f(x),当2≤x≤3时,有0≤x-2≤1,结合函数的解析式分析可得答案.解答:解:根据题意,f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),又由f(x)的图像关于直线x=1对称,则f(-x)=f(2+x),则有f(x+2)=f(x),当2≤x≤3时,有0≤x-2≤1,则f(x-2)=(x-2)2+2(x-2)=x 2-2x,则有f(x)=f(x-2)=x 2-2x.故选:B.(2024•香港)用1,2,…,9这9个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有 280个.答案:280.解析:根据排列数公式,先排个位,再排其余,即可求解.解答:解:∵1,2,…,9这9个数字中奇数共有5个,∴用1,2,…,9这9个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有•=280个.故答案为:280.A 51A 82(2024•香港)记等差数列{a n }的前n项和为S n ,若S 2=16,S 4=24,则a 8=-5.答案:-5.解析:根据等差数列的前n项和公式即可得.解答:解:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由S 2=16,S 4=24,得,即,解得.所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5.故答案为:-5.⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1.答案:[-2,].23解析:将不等式两边同时平方,再结合一元二次不等式的解法,即可求解.解答:解:2|x|≤|x-2|,则4x 2≤x 2-4x+4,化简整理可得,(3x-2)(x+2)≤0,解得-2≤x ≤,故所求解集为[-2,].故答案为:[-2,].232323(2024•香港)函数f(x)=e x -2x的最小值为2-2ln2.答案:见试题解答内容解析:f′(x)=e x -2,令f′(x)=e x -2=0,解得x=ln2.利用单调性即可得出.解答:解:f′(x)=e x -2,令f′(x)=e x -2=0,解得x=ln2.可得:函数f(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.∴x=ln2时,函数f(x)取得极小值即最小值,f(ln2)=2-2ln2.故答案为:2-2ln2.(2024•香港)已知函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)f(x+1)=x 2+4x+3,f(1)=3,则f(9)=11.答案:11.解析:利用函数的解析式,依次能求出f(3),f(5),f(7),f(9)的值.解答:解:函数f(x)的定义域为R,f(x-1)f(x+1)=x 2+4x+3,f(1)=3,∴f(1)f(3)=4+8+3=15,∴f(3)=5,f(3)f(5)=16+16+3=35,∴f(5)=7,f(5)(7)=36+24+3=63,∴f(7)=9,f(7)f(9)=64+32+3=99,则f(9)=11.故答案为:11.(2024•香港)已知二面角α-AB-β的大小为90°,正方形ABCD在α内,等边三角形ABF在β内,则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 .√244解析:由题意建立空间直角坐标系,设正方形的边长,求出直线BF,AC的方向向量BF ,AC 的坐标,进而求出两个向量的夹角的余弦值,进而求出异面直线所成的角的余弦值.→→解答:解:过F作FO⊥AB,在平面α过O作y轴⊥AB,因为二面角α-AB-β的大小为90°,所以FO⊥平面α,设正方形的边长为2,由题意OF=,可得F(0,0,),B(1,0,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),则BF =(-1,0,),AC =(2,2,0),所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2,|BF |==2,|AC |==2,所以cos<BF ,AC >==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos<BF ,AC故答案为:.√3√3→√3→→→√3→√(-1++()202√3)2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→4√24(2024•香港)已知△ABC中,A =,AC=ABtanB.(1)求B;(2)求sinA+sinB+sinC.π3答案:(1);(2).π12+√3√62解析:(1)由题设及正弦定理,可得cosB=sinC,再根据诱导公式进行代换,即可求得角B;(2)根据角A,B,C的值,利用两角和的正弦公式即可求解.解答:解:(1)由AC=ABtanB,可得tanB =,由正弦定理,可得=,又B∈(0,π),sinB≠0,所以cosB=sinC,由诱导公式,可得cosB=sin(A+B)=cos[-(A +B )],所以B =-(A +B )+2kπ或B =(A +B )-+2kπ,k∈Z,又A =,所以B =+kπ,k∈Z,又B∈(0,π),故B=;(2)由(1)知,A =,B=,则C =,sin +sin =+sin (-)+sin (+)=+2sin cos2=.b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62(2024•香港)在一个工作日中,某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个,该工人使用甲仪器的概率为0.6,使用乙仪器的概率为0.5,且不同工作日使用仪器的情况相互独立.(1)求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率;(2)记X为在100个工作日中,该工人仅使用甲仪器的天数,求E(X).答案:(1)0.1;(2)50.解析:(1)利用概率的性质求解;(2)利用二项分布的期望公式求解.解答:解:(1)设事件A表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”,则P(A)=0.6+0.5-1=0.1;(2)因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为0.6-0.1=0.5,A.{3}B.{0,1}C.{-2,-1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}A.1-2i B.1+2i C.-1-2i D.-1+2i A.1B.C.2D.-2则X~B(100,0.5),所以E(X)=100×0.5=50.(2024•香港)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={-2,-1,2,3},则A∩B=( )答案:C解析:结合交集的定义,即可求解.解答:解:A={-2,-1,0,1,2},B={-2,-1,2,3},则A∩B={-2,-1,2}.故选:C.(2024•香港)计算=( )3+4i 1-2i答案:D解析:直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解答:解:===-1+2i .故选:D.3+4i 1-2i (3+4i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )-5+10i 5(2024•香港)函数y=sinx+cosx的最大值是( )√3√6答案:C 解析:利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin(x+θ),进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出.√+a 2b 2A.y=±3x B.y=±2x C.y =±x D.y =±x A.“x=1,y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B.“x=1,y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C.“x=1,y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D.“x=1,y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件解答:解:∵y=sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+).∵-1≤sin(x+)≤1,∴当sin(x+)=1时,函数y取得最大值2.故选:C.√312√32π3π3π3(2024•香港)已知双曲线C:-=1(a >0,b >0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为( )x 2a 2y 2b 2√101312答案:A 解析:利用双曲线的离心率,得到a,b关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.解答:解:双曲线C:-=1(a >0,b >0)的离心率为,可得=,即=10,可得=3.双曲线C的渐近线方程为:y=±3x.故选:A.x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a (2024•香港)已知平面向量a =(1,1),b =(x+1,y),则( )→→→→→→→→→→答案:D解析:根据已知条件,结合向量平行、垂直的性质,即可求解.A.f(x)是奇函数,不是增函数B.f(x)是增函数,不是奇函数C.f(x)既是奇函数,也是增函数D.f(x)既不是奇函数,也不是增函数A.1B.D.-1解答:解:对于A,若a ∥b ,则1•y=1•(x+1),即y=x+1,充分性不成立,错误,对于B,当x=1,y=-2时,则b =(2,-2),a ∥b 不成立,错误,对于C,若a ⊥b ,则x+1+y=0,必要性不成立,故错误,对于D,当x=1,y=-2时,则b =(2,-2),a •b =2-2=0,a ⊥b ,充分性成立,故D正确.故选:D.→→→→→→→→→→→→(2024•香港)已知函数f (x )=ln (+x ),则( )√+1x 2答案:C解析:结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断.解答:解:函数的定义域为R,f(-x)+f(x)=ln(-x)+ln(+x)=ln(1+x 2-x 2)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,B,D错误;当x≥0时,t=+x单调递增,根据奇函数的单调性可知,t=+x在R上单调递增,根据复合函数单调性可知,f(x)为增函数,A错误,C正确.故选:C.√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2(2024•香港)若(a+x)4的展开式中x的系数是-,则a=( )1212C.-A.2x-3y+2=0B.3x+2y+2=0C.3x+2y-2=0D.2x-3y-2=0A.4B.2C.1D.12答案:C解析:根据二项式定理,建立方程,即可求解.解答:解:∵(a+x)4的展开式中x的系数是•=-,∴a=-.故选:C.C 41a 31212(2024•香港)圆x 2+(y+2)2=4与圆(x+2)2+(y-1)2=9交于A,B两点,则直线AB的方程为( )答案:D 解析:将两圆的方程相减,即可求解.解答:解:圆x 2+(y+2)2=4,即x 2+y 2+4y=0①,圆(x+2)2+(y-1)2=9,即x 2+4x+y 2-2y=4②,②-①可得,化简整理可得,2x-3y-2=0,故直线AB的方程为2x-3y-2=0.故选:D.(2024•香港)已知x =和x =都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的极值点,则ω的最小值是( )π4π212答案:A 解析:根据x=和x=都是函数f(x)的极值点,得出函数的周期T≤2×(-),由此求解即可.π4π2π2π4A.2B.1C.D.A.2B.解答:解:因为x=和x=都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的极值点,所以周期为T≤2×(-)=,所以≤,所以ω≥4,即ω的最小值是4.故选:A.π4π2π2π4π22πωπ2(2024•香港)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离,则p=( )1214答案:A 解析:求得抛物线的焦点和准线方程,由抛物线的定义和点到直线的距离公式,解得p,可得抛物线的方程;解答:解:抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F(,0),准线方程为x=-,C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离,可得=1,解得p=2,故选:A.p 2p 2p 2(2024•香港)正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上,O到该正四棱柱侧面的距离为,则该正四棱柱的体积是( )12√2√223答案:B解析:根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2,再建立方程求出正四棱柱的,最后代入体积公式,即可求解.解答:解:∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上,O到该正四棱柱侧面的距离为,∴正四棱柱的底面边长为1,设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2,∴(2R)2=12+12+h 2,即4=2+h 2,∴h=,12√2A.x 2+2xB.x 2-2x C.-x 2+2x D.-x 2-2x∴该正四棱柱的体积为1×1×=.故选:B.√2√2(2024•香港)已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称,当0≤x≤1时,f(x)=x 2+2x,则当2≤x≤3时,f(x)=( )答案:B解析:根据题意,分析可得f(x+2)=f(x),当2≤x≤3时,有0≤x-2≤1,结合函数的解析式分析可得答案.解答:解:根据题意,f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),又由f(x)的图像关于直线x=1对称,则f(-x)=f(2+x),则有f(x+2)=f(x),当2≤x≤3时,有0≤x-2≤1,则f(x-2)=(x-2)2+2(x-2)=x 2-2x,则有f(x)=f(x-2)=x 2-2x.故选:B.(2024•香港)用1,2,…,9这9个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有 280个.答案:280.解析:根据排列数公式,先排个位,再排其余,即可求解.解答:解:∵1,2,…,9这9个数字中奇数共有5个,∴用1,2,…,9这9个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有•=280个.故答案为:280.A 51A 82(2024•香港)记等差数列{a n }的前n项和为S n ,若S 2=16,S 4=24,则a 8=-5.答案:-5.解析:根据等差数列的前n项和公式即可得.解答:解:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由S 2=16,S 4=24,得,即,解得.所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5.故答案为:-5.⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1.答案:[-2,].23解析:将不等式两边同时平方,再结合一元二次不等式的解法,即可求解.解答:解:2|x|≤|x-2|,则4x 2≤x 2-4x+4,化简整理可得,(3x-2)(x+2)≤0,解得-2≤x ≤,故所求解集为[-2,].故答案为:[-2,].232323(2024•香港)函数f(x)=e x -2x的最小值为2-2ln2.答案:见试题解答内容解析:f′(x)=e x -2,令f′(x)=e x -2=0,解得x=ln2.利用单调性即可得出.解答:解:f′(x)=e x -2,令f′(x)=e x -2=0,解得x=ln2.可得:函数f(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.∴x=ln2时,函数f(x)取得极小值即最小值,f(ln2)=2-2ln2.故答案为:2-2ln2.(2024•香港)已知函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)f(x+1)=x 2+4x+3,f(1)=3,则f(9)=11.答案:11.解析:利用函数的解析式,依次能求出f(3),f(5),f(7),f(9)的值.解答:解:函数f(x)的定义域为R,f(x-1)f(x+1)=x 2+4x+3,f(1)=3,∴f(1)f(3)=4+8+3=15,∴f(3)=5,f(3)f(5)=16+16+3=35,∴f(5)=7,f(5)(7)=36+24+3=63,∴f(7)=9,f(7)f(9)=64+32+3=99,则f(9)=11.故答案为:11.(2024•香港)已知二面角α-AB-β的大小为90°,正方形ABCD在α内,等边三角形ABF在β内,则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 .√244解析:由题意建立空间直角坐标系,设正方形的边长,求出直线BF,AC的方向向量BF ,AC 的坐标,进而求出两个向量的夹角的余弦值,进而求出异面直线所成的角的余弦值.→→解答:解:过F作FO⊥AB,在平面α过O作y轴⊥AB,因为二面角α-AB-β的大小为90°,所以FO⊥平面α,设正方形的边长为2,由题意OF=,可得F(0,0,),B(1,0,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),则BF =(-1,0,),AC =(2,2,0),所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2,|BF |==2,|AC |==2,所以cos<BF ,AC >==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos<BF ,AC√3√3→√3→→→√3→√(-1++()202√3)2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→44(2024•香港)已知△ABC中,A =,AC=ABtanB.(1)求B;(2)求sinA+sinB+sinC.π3答案:(1);(2).π12+√3√62解析:(1)由题设及正弦定理,可得cosB=sinC,再根据诱导公式进行代换,即可求得角B;(2)根据角A,B,C的值,利用两角和的正弦公式即可求解.解答:解:(1)由AC=ABtanB,可得tanB =,由正弦定理,可得=,又B∈(0,π),sinB≠0,所以cosB=sinC,由诱导公式,可得cosB=sin(A+B)=cos[-(A +B )],所以B =-(A +B )+2kπ或B =(A +B )-+2kπ,k∈Z,又A =,所以B =+kπ,k∈Z,又B∈(0,π),故B=;(2)由(1)知,A =,B=,则C =,sin +sin =+sin (-)+sin (+)=+2sin cos2=.b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62(2024•香港)记数列{a n }的前n项和为S n ,已知a 1=4,=(-1).(1)证明:数列{}是等比数列;(2)求{a n }的通项公式.a n +14(n +1)2n -1S n -1S n 2n -1答案:(1)证明见解答;(2)a n =4n•3n-1,n∈N *.解析:(1)根据数列的和与项的转化关系,等比数列的定义,即可证明;(2)根据数列的和与项的转化关系,分类讨论,即可求解.解答:解:(1)证明:∵=(-1),∴-=(-1),∴(2n-1)S n+1-(2n-1)S n =4(n+1)S n -4(n+1),∴(2n-1)S n+1=(6n+3)S n -4(n+1),∴(2n-1)(S n+1-1)=(6n+3)S n -(6n+3),∴(2n-1)(S n+1-1)=3(2n+1)(S n -1),∴=3(),又=a 1-1=3,∴数列{}是以首项为3,公比为3的等比数列;(2)由(1)可得=,∴-1=(2n -1)×①,当n≥2时,-1=(2n -3)×②,①-②可得=(2n -1)×-(2n -3)×=4n•3n-1(n≥2),又a 1=4,也满足上式,∴a n =4n•3n-1,n∈N *.a n +14(n +1)2n -1S n S n +1S n 4(n +1)2n -1S n -1S n +12n +1-1S n 2n -1-1S 12×1-1-1S n 2n -1-1S n 2n -13n S n 3n S n -13n -1a n 3n 3n -1(2024•香港)已知椭圆C :+=1(a >b >0)的左焦点为F,点A(-a,0),B(0,b),过F的直线x-y+1=0交C于B,P两点.(1)求P的坐标;(2)若点R(-2,y 0)在直线AB上,证明:FR是∠PFA的角平分线.x 2a 2y 2b 2答案:(1)P(-,-).(2)证明详情见解答.4313解析:(1)直线方程中x-y+1=0,分别令y,x为0,解得b,c,由a 2=b 2+c 2,解得a,即可得出椭圆的方程,联立直线x-y+1=0与椭圆的方程,即可得出答案.(2)由(1)知A(-,0),B(0,1),写出直线AB的方程,进而可得Q点坐标,推出tan2∠RFA=tan∠RFA,即可得出答案.√2解答:解:(1)因为直线x-y+1=0过焦点F和点B,所以令y=0,得x=-1,即-c=-1,则c=1,令x=0,得y=1,即b=1,又a 2=b 2+c 2=2,所以椭圆的方程为+y 2=1,联立,解得x=0或x=-,所以x P =-,y P =x P +1=(-)+1=-,所以P(-,-).(2)证明:由(1)知A(-,0),B(0,1),令x=-2,得y=1-,所以R(-2,1-),tan∠RFA==-1,tan2∠RFA==因为直线x-y+1=0的斜率为1,所以tan∠RFA=1,所以tan2∠RFA=tan∠RFA,所以FR是∠PFA的角平分线.x 22{x -y +1=0+=1x 22y 2434343134313√2√2√2|1-|√2-1-(-2)√22tan ∠RFA 1-ta ∠n 2√2。
2023届港澳台数学寒假作业(五)一、单选题1.已知{}1,2,4,8,16A =,{}2|log ,B y y x x A ==∈,则AB =( )A .{}1,2B .{}2,4,8C .{}1,2,4D .{}1,2,4,8 2.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )A .4B .3C .2D .3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A .2sin y x x =+ B .2cos y x x =- C .122x xy =+D .sin 2y x x =+ 4.为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象( ) A .向左平移6π个单位长度 B .向左平移3π个单位长度 C .向右平移6π个单位长度 D .向右平移3π个单位长度 5.已知()cos 4cos2f x x =-,则()0f 的值为( ) A .3 B .4 C .5 D .8 6.已知向量,a b ,满足()()26a b a b +-=-,且1,2a b ==,则a 与b 的夹角为( )A .4π B .3π C .6πD .23π7.已知0.80.7a =, 1.1log 0.9b =,0.91.1c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .a c b <<C .b a c <<D .c a b <<8.在正项等比数列{}n a 中,若3788a a a =,2105a a +=,则公比q =( ) A .122B .122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C .142D .142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭9.在ABC 中,有一个内角为30︒,“30A ∠>︒”是“1sin 2A >”的( )条件 A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要10.在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,2AB =,E 为PB 的中点,若3cos ,3DP AE =,则PD =( ) 11. A .1B .32C .3D .211.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60和45,则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为( ) A .64B .63C .26D .2312.已知函数()()()[)()222,,0,44ln 1,0x x x f x g x x x x x ⎧+∈-∞⎪==--⎨+∈+∞⎪⎩,,若存在实数a ,使得()()0f a g x +=,则x 的取值范围为( )A .[]1,5-B .(][),15,-∞-+∞C .[)1,-+∞D .(],5-∞ 二、填空题 13.已知,若,则实数k 的值是____________.14.已知2sin 23α=,则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.15.已知命题:p 函数()()log 201a y ax a a a =+>≠且的图象必过定点()1,1-;命题:q 如果函数()3y f x =-的图象关于原点对称,那么函数()y f x =的图象关于点3,0对称,则命题p q ∨为__________(填“真”或“假”).16.函数()20.4log 34y x x =-++的值域是________.17.已知函数()212log 26y x ax =-+在()1,2上单调递增,则a 的范围为___________.18.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ,其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=,则ABC 的顶点C 的坐标__________.三、解答题19.设函数()f x a b =,其中向量()()2cos ,1,cos ,3sin 2,a x b x x x R ==∈.(1)若()1f x =,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,求x 的值; (2)若函数2sin 2y x =的图象按向量(),2c m n m π⎛⎫=< ⎪⎝⎭平移后得到函数()y f x =的图象,求实数,m n 的值.20.设函数()()21(0)x f x ax x e a =+-<. (1)当1a =-时,函数()y f x =与()321132g x x x m =++的图象有三个不同的交点,求实数m 的范围;(2)讨论()f x 的单调性.21.如图,在平面四边形ABCD 中,23D π∠=,5sin cos 13BAC B ∠=∠=,13AB =. (1)求AC ;(2)求四边形ABCD 面积的最大值.22.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[)160,180,[)180,200,[)200,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户?参考答案1.C【解析】由已知可得{}0,1,2,3,4B =⇒A B ={}1,2,4,故选C .2.C 【解析】,故选C .3.A【解析】选项B 是偶函数,选项C 、D 是偶函数,故选A . 4.D【详解】将函数cos 2y x =的图象向右平移3π,可得2cos 2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D . 5.C【解析】()222cos 4(2cos 1)52cos (0)5205f x x x f =--=-⇒=-⨯=,故选C .6.B【解析】()()222122112cos 22623a b a b a a b b cos πθθθ+-=+•-=+⨯-⨯=-⇒=⇒=,故选B .7.C【详解】0.8000.70.71a <=<=; 1.1 1.1log 0.9log 10b =<=;0.901.1 1.11c =>=.得到b a c <<故选C 8.D【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===,即62a =.22106()4a a a ∴==,又2105a a +=,解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩,0q >,11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:D.9.C【解析】在ABC ∆中,有一个内角为030000150A ⇒<<,故030A >⇔1sin 2A >,故选C . 10.D【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直,所以以D 为原点,建立如图所示的坐标系, 设(0)PD a a =>,则(0,0,)P a ,(2,0,0)A ,连接BD 取中点F ,连接EF ,所以//EF PD ,EF ⊥平面ABCD , 所以(1,1,)2a E ,所以(0,0,)DP a =,(1,1,)2a AE =-,由3cos ,3DP AE =,得2232cos ,3114a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++, 解得2a =.故选:D. 11.A【详解】如图所示:∵1B B ⊥平面ABCD ,∴1BCB ∠是1B C 与底面所成角, ∴160BCB ∠=.∵1C C ⊥底面ABCD , ∴1CDC ∠是1C D 与底面所成的角,∴145CDC ∠=.连接1A D ,11A C ,则11//A D B C . ∴11A DC ∠或其补角为异面直线1B C 与1C D 所成的角. 不妨设1BC =,则112CB DA ==,113BB CC CD ===,∴16C D =,112A C =.在等腰11AC D 中,1111162cos 4C DA DC A D ∠==, 所以面直线1BC 和1CD 所成角的余弦值为64.故选:A . 12.A【解析】当()20,(1)11x f x x <=+-≥-,当()0,ln(1)ln10()x f x x f x ≥=+≥=⇒的值域是22[1,)()()1441450g x f a x x x x -+∞⇒=-≤⇒--≤⇒--≤⇒x 的取值范围为[]1,5-,故选A .13.1-【解析】(2,1),(3,12)2(12)(3)01a b a kb k k k k k -+=--+=+--⇒+++=⇒=-.14.16【解析】21cos 2()1sin 214cos 4226παπαα++-⎛⎫+=== ⎪⎝⎭. 15.真 【解析】()log (1)21,a y a a =-+=∴命题p 为真;()3y f x =-的图象关于原点对称,则函数()y f x =的图象关于点3,0对称成立,∴命题q 为真,因此命题p q ∨为真.16.[)2,-+∞【详解】解:由题可知,函数()20.4log 34y x x =-++,则2340x x -++>,解得:14x -<<,所以函数的定义域为()1,4-,设()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭,()1,4x ∈-,则31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()f x 为增函数,3,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()f x 为减函数,可知当32x =时,()f x 有最大值为254,而()()140f f -==,所以()2504f x <≤, 而对数函数0.4log y x =在定义域内为减函数,由复合函数的单调性可知,函数()20.4log 34y x x =-++在区间31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数,在3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数, 0.425log 24y ∴≥=-,∴函数()20.4log 34y x x =-++的值域为[)2,-+∞.故答案为:[)2,-+∞. 17.52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】令226t x ax =-+,则()12log y f t t ==,0t >,因为()12log f t t =在()1,2上是减函数,函数()212log 26y x ax =-+在()1,2上单调递增,所以226t x ax =-+在()1,2上是减函数,因为函数226t x ax =-+对称轴为x a =,开口向上,所以222460a a ≥⎧⎨-+≥⎩,解得522a ≤≤,a 的范围为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故答案为:52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.(4,0)-【详解】设(),C m n ,由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭, 代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①, 因为AB 的中点为()1,2,40202AB k -==--,所以AB 的中垂线的斜率为12, 所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=,联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,∴ABC 的外心为()1,1-, 则()()()222212111m n ++-=++②,联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==,当0,4m n ==时,点B 、C 两点重合,舍去; ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-.故答案为:()4,0-. 19.(1)4x π=-;(2),112m n π=-=.【解析】(1)依题设,()22cos 3sin 212sin 26f x a b x x x π⎛⎫==+=++⎪⎝⎭, 由12sin 2136x π⎛⎫++=- ⎪⎝⎭,得3sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 因为33x ππ-≤≤,所以52266x πππ-≤+≤, 所以263x ππ+=-,即4x π=-.(2)函数2sin 2y x =的图象按向量(),c m n =平移后得到函数()2sin 2y x m n =-+的图象,即函数()y f x =的图象.由(1)得()2sin 2112f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为2m π<,所以,112m n π=-=. 20.(1)3116m e --<<-;(2)当12a =-时,函数()f x 在R 上单调递减,当12a <-时,函数()f x 在上递减,在21,0a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增,在()0,+∞上递减;当102a -<<时,函数()f x 在(),0-∞上单调递减,在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 【解析】试题解析:(1)当1a =-时,()()()23211132xf xg x x x e x x m ⎛⎫-=-+--++ ⎪⎝⎭,故()23211132xm x x e x x ⎛⎫=-+--+⎪⎝⎭,令()()23211132x h x m x x e x x ⎛⎫==-+--+ ⎪⎝⎭,则()()()()()2211x x h x x x e x x x x e =-+-+=-++',故当1x <-时, ()0h x '<;当10x -<<时, ()0h x '>;当0x >时, ()0h x '<; ()3116h e -=--,()01h =-,故3116m e --<<-.(2)因为()()21x f x ax x e =+-,所以()21xa f x ax x e a +⎛⎫ ⎝'=+⎪⎭. 当12a =-时, ()0f x '≤恒成立,故函数()f x 在R 上单调递减; 当12a <-时, 21a x a +<-时, ()0f x '<, 210a x a+-<<时,()0f x '>,当0x >时, ()0f x '<, 故函数()f x 在上递减,在21,02a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增,在()0,+∞上递减;当102a -<<时, 0x <时, ()0f x '<, 210a x a +<<-时, ()0f x '>,当21a x a+>-时, ()0f x '<; 故函数()f x 在(),0-∞上单调递减,在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上,当12a =-时,函数在R 上单调递减,当12a <-时,函数在上递减,在21,02a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增,在()0,+∞上递减;当102a -<<时,函数在(),0-∞上单调递减,在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 21.(1)12;(2)12330S =【详解】(1)5sin cos 13BAC B ∠=∠=,则由同角三角函数关系式可得12cos sin 13BAC B ∠=∠==, 则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠ sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+,则2BCA π∠=,所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. (2)设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠,代入可得22144x y xy =++,由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥,即48xy ≤,当且仅当x y ==1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠14822≤⨯⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=,所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =. 22.(1)0.0075;(2)230,224;(3)5.【详解】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025)×20=1得: x =0.0075,所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分 (2)月平均用电量的众数是2202402+=230. ------------- 5分 因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内, 设中位数为a ,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a -220)=0.5 得:a =224,所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25户, 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15户, 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100=10户, 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100=5户, -------------10分 抽取比例=112515105+++=15,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5户.-- 12分考点:频率分布直方图及分层抽样。
北京博飞--华侨港澳台培训学校综合练习五一、选择题1.321lim 1x x x x →--()B A.等于0B.等于1C.等于3D.不存在2.下列函数中,周期为π2的是()DA.sin 2x y =B.sin 2y x=C.cos 4x y =D.cos 4y x=3.若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cot α等于()AA.2-B.12-C.12D.24.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y 轴上,一条渐近线的方程为20x y -=,则它的离心率为()A5B.523D.25.已知两条直线m n ,,两个平面αβ,.给出下面四个命题:①m n ∥,m n αα⇒⊥⊥;②αβ∥,m α⊂,n m n β⊂⇒∥;③m n ∥,m n αα⇒∥∥;④αβ∥,m n ∥,m n αβ⇒⊥⊥.其中正确命题的序号是()C A.①、③B.②、④C.①、④D.②、③6.若集合{}012M =,,,{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈,≥且≤,,,则N 中元素的个数为()C A.9B.6C.4D.27.设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31xf x =-,则有()BA.132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ,所得的线段与抛物线交于点A ,设点O 为坐标原点,则三角形OAM 的面积为()B北京博飞--华侨港澳台培训学校A.12-+B.32C.12+D.32+9.设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数,则使()0f x <的x 的取值范围是()AA.(10)-,B.(01),C.(0)-∞,D.(0)(1)-∞+∞ ,,10.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次..成等差数列的概率为()BA.19B.112C.115D.11811.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数,则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为()BA.15-B.0C.15D.512.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=,右焦点为(0)F c ,,方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ,则点12()P x x ,()CA.必在圆222x y +=上B.必在圆222x y +=外C.必在圆222x y +=内D.以上三种情形都有可能二、填空题13.设函数24log (1)(3)y x x =+-≥,则其反函数的定义域为.[5)+,∞14.在平面直角坐标系中,正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ,,(11)B ,,则AB AC =115.函数3()12f x x x =-在区间[33]-,上的最小值是.16-16.224(1)ii ++的共轭复数是2i+17.用(2)(1)x x +-除多项式6532()23p x x x x x =++-+所得的余式为_-3x +9.18.在空间直角坐标系o xyz -中,经过点(3,1,0)p 且与直线{2224x y x y z +=-+=垂直的平面的方程为___x -2y -5z =1___.三、解答题1.已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间(01),内连续,且29()8f c =.(1)求实数k 和c 的值;(2)解不等式2()18f x >+.解:(1)因为01c <<,所以2c c <,由29()8f c =,即3918c +=,12c =.又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续,所以215224f k -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,即1k =.(2)由(1)得:4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩ ≤由2()18f x >+得,当102x <<时,解得2142x <<.当112x <≤时,解得1528x <≤,所以2()18f x >+的解集为2548x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.2.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若42a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦,即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin 2sin 2b A B a ==.由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(222325255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为2cos 2BA B =3.若数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意正整数n 都有612n n S a =-,记12log n n b a =.(1)求1a ,2a 的值;(2)求数列{}n b 的通项公式;(3)若11,0,n n n c c b c +-==求证:对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++< 都有.【答案】(1)1211,832a a ==;(2)21n b n ∴=+;(3)详见试题解析.4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点(0)C c ,任作一直线,与抛物线2y x =相交于A B ,两点.一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ,.(1)若2OA OB =,求c 的值;(2)若P 为线段AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线;(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.解:(1)设直线AB 的方程为y kx c =+,将该方程代入2y x =得20x kx c --=.令2()A a a ,,2()B b b ,,则ab c =-.因为2222OA OB ab a b c c =+=-+= ,解得2c =,或1c =-(舍去).故2c =.(2)由题意知2a b Q c +⎛⎫- ⎪⎝⎭,,直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--.又2y x =的导数为2y x '=,所以点A 处切线的斜率为2a ,因此,AQ 为该抛物线的切线.(3)(2)的逆命题成立,证明如下:设0()Q x c -,.若AQ 为该抛物线的切线,则2AQ k a =,又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--,所以202a aba a x -=-,得202ax a ab =+,因0a ≠,有02a bx +=.故点P 的横坐标为2a b+,即P 点是线段AB 的中点.法二:设直线AB 的方程为y kx c =+,将该方程代入2y x =得2x kx c --=.得验证:2AQ Ak x =AB C PQOxyl法三:法四:验证点Q在过A点的切线上。